第10讲 复数及其运算寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 复数及其运算 教学目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．理解复数的概念、相关运算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：理解复数的概念、表示法及相关概念，掌握复数代数形式的加减运算法则； 难点：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 教学内容 复数及其运算 1、复数的概念：z＝a＋bi（a，b∈R） 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2、复数相等的充要条件：设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3、复数的分类 z＝a＋bi（a，b∈R） 4、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 5、复数的几何意义 6、复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝ 7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 8、复数加法与减法的运算法则 （1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i ②z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i （2）对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1 ②（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3） 9、复数的乘法法则 （1）复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. （2）复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 （z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3） 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3 10、复数代数形式的除法法则 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 11、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型一：复数的有关概念与分类 【例1】复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】（1）或（2）且（3） 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【详解】（1）由复数z为实数，得， 解得或 （2）由复数z为虚数，得， 解得且 （3）由复数z为纯虚数，得 解得. 【变式训练】 1．（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 2．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0. 【解题思路】根据复数的类型列式求参. 【解答过程】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 题型二：复数相等 【例2】已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以，. 故选：B. 【变式训练】 1．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】由复数相等可列出方程组求解. 【解答过程】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 题型三：复数的几何意义 【例3】如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【详解】复数对应的点，则复数. 故选：D. 【变式训练】 1．设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求出共轭复数，再写出该复数对应复平面内的点的坐标，最后判断位于第几象限 【详解】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 2．已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. （2）因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 题型四：复数的模 【例4】已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】利用复数的模的公式计算求解即可 【详解】因为复数，所以. 故选：B. 【变式训练】 1．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 2．已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 题型五：复数的加减运算及其几何意义 【例5】复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解. 【详解】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 【变式训练】 1．复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用复数的加法以及复数相等可求出、的值，可得出复数，即可得出结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 2．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】B 【分析】设，求出，列出方程求出即可求出z的虚部. 【详解】设，则， 即，解得， 故， 则z的虚部为. 故选：B. 题型六：复数的乘除法运算 【例6-1】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数除法、乘法、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】， 所以，所以. 故选：C 【例6-2】已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算，求出复数z，再利用模长公式即可求得结果. 【详解】，因为复数的模为， 所以，解得：． 故选：A 【变式训练】 1．已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是. 故选：A 2．（多选）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 3．i是虚数单位，则 . 【答案】/ 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可. 【详解】 . 故答案为：. 题型七：复数范围内方程的根 【例7-1】在复数范围内解方程： （1）； （2）. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【详解】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 【例7-2】已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 【变式训练】 1．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（    ） A． B．或 C． D． 【解题思路】根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解. 【解答过程】因为是关于的方程在复数范围内的一个根， 所以关于的方程的另一个根为， 由韦达定理，得，解得，或（舍）， 所以. 故选：A. 2．已知关于的方程，. （1）当时，在复数范围内求方程的解； （2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 【解题思路】（1）代入，配方得到，开方即可得出答案； （2）由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案. 【解答过程】（1）当时，方程为， 配方可得，， 两边开方可得，， 所以，方程的解为. （2）要使方程有虚根，则， 所以，所以. 又，所以， 所以，. 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【解答过程】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 2．已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据复数相等求解即可. 【解答过程】依题意，得，解得， 所以. 故选：A. 3．若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数运算和共轭复数定义进行计算，求解虚部. 【解答过程】，故的虚部为2. 故选：B. 4．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【解答过程】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解. 【解答过程】由题意知， 所以. 故选：B. 6．已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【解答过程】由，，, 由复数的几何意义，可知对应的是第一象限.故选：A. 7．（多选）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【解题思路】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【解答过程】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 8．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【解答过程】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 9．复数是纯虚数，则实数的值为 . 【解题思路】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【解答过程】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 10．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 【解题思路】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标. 【解答过程】因向量所对应的复数是， 所以， 因，所以. 故答案为：. 11．已知，，，则 . 【解题思路】设出复数的代数形式，结合复数模的意义列式求解即得.. 【解答过程】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为：. 12．已知，复数，. （1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； （2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【解题思路】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【解答过程】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 13．已知复数，. （1）若为实数，求； （2）若为虚数，求的取值范围； （3）若为纯虚数，求. 【答案】（1）或5（2）且（3） 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 复数及其运算 教学目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．理解复数的概念、相关运算； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：理解复数的概念、表示法及相关概念，掌握复数代数形式的加减运算法则； 难点：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 教学内容 复数及其运算 1、复数的概念：z＝a＋bi（a，b∈R） 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集． 2、复数相等的充要条件：设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 3、复数的分类 z＝a＋bi（a，b∈R） 4、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？ 5、复数的几何意义 6、复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝ 7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 8、复数加法与减法的运算法则 （1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 ①z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i ②z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i （2）对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1 ②（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3） 9、复数的乘法法则 （1）复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. （2）复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 （z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3） 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3 10、复数代数形式的除法法则 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 11、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型一：复数的有关概念与分类 【例1】复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 【变式训练】 1．（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 2．求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0. 题型二：复数相等 【例2】已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型三：复数的几何意义 【例3】如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 题型四：复数的模 【例4】已知复数，则（   ） A． B． C． D．20 【变式训练】 1．若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 2．已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五：复数的加减运算及其几何意义 【例5】复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】 1．复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 题型六：复数的乘除法运算 【例6-1】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6-2】已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 3．i是虚数单位，则 . 题型七：复数范围内方程的根 【例7-1】在复数范围内解方程： （1）； （2）. 【例7-2】已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 【变式训练】 1．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（    ） A． B．或 C． D． 2．已知关于的方程，. （1）当时，在复数范围内求方程的解； （2）已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围. 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数，，则在复平面内表示复数的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（多选）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 8．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 9．复数是纯虚数，则实数的值为 . 10．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 . 11．已知，，，则 . 12．已知，复数，. （1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； （2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 13．已知复数，. （1）若为实数，求； （2）若为虚数，求的取值范围； （3）若为纯虚数，求. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $