第5讲 一元二次方程及其应用（综合检测）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一元二次方程其应用 一、选择题 1．（2024•浙江模拟）若x＝﹣1是方程x2+cx＝c的一个根，则c＝（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 2．（2025•嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 3．（2025•富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3 4．（2025•温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36 5．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 6．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 7．（2025•西湖区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根，x1﹣x2＝2，则m的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．±4 8．（2025•衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864 9．（2025•三台县模拟）已知关于x的方程x2+4x+k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．0＜k≤4 C．0≤k＜4 D．k＞0 10．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm 11．（2025•宁波一模）解方程4x2﹣1＝0得 　 ． 12．（2025•浙江模拟）若x＝4是关于x的方程ax2﹣bx＝8的解，则2025﹣8a+2b的值为 　 　 ． 13．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　 　 （用百分数表示）． 14．（2025•宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　　 ． 15．（2025•西湖区校级模拟）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　　 ． 16．解方程： （1）（2025•滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2024•钱塘区二模）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； 17．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 18．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框： 小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 19．（2024•萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 20．（2025•新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0． （1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值． 21．（2023•宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含a，b的代数式表示AD的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由． 22．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第5讲 一元二次方程其应用 一、选择题 1．（2024•浙江模拟）若x＝﹣1是方程x2+cx＝c的一个根，则c＝（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 【点拨】把x＝﹣1代入一元二次方程得到x2+cx＝c，然后解一次方程即可． 【解析】解：把x＝﹣1代入方程x2+cx＝c得1﹣c＝c， 解得c＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（2025•嵊州市模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2025的值为（　　） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【点拨】根据已知易得：m2﹣2m﹣2＝0，从而可得m2﹣2m＝2，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解析】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， ∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2025•富阳区二模）利用“配方法”解方程x2﹣4x﹣7＝0，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝11 D．（x﹣4）2＝3 【点拨】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解析】解：x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4．（2025•温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．﹣36 B．﹣9 C．9 D．36 【点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得c＝9， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 5．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 【点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36． 【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 6．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 【点拨】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解析】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x＝﹣或x＝1． 故选：C． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法． 7．（2025•西湖区二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根，x1﹣x2＝2，则m的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．±4 【点拨】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解析】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2﹣mx+15＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m，x1x2＝15． 又因为x1﹣x2＝2， 所以， 则， 即m2﹣4×15＝4， 解得m＝±8， 所以m的值为±8． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8．（2025•衢州三模）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864 【点拨】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（2025•三台县模拟）已知关于x的方程x2+4x+k＝0有两个同号的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．0＜k≤4 C．0≤k＜4 D．k＞0 【点拨】首先根据有两个实数根得到Δ＝42﹣4k≥0，求出k≤4，然后由两根同号得到，求出k＞0，即可求解． 【解析】解：由题意得，Δ＝42﹣4k≥0， 解得：k≤4， 由条件可知x1x2＝k＞0， ∴0＜k≤4， 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 10．（2022•浦江县模拟）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A．24cm B．30cm C．32cm D．36cm 【点拨】设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米，根据包装盒的容积为200cm3，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200，解方程即可． 【解析】解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，宽为2x厘米， 根据题意，得5（5x﹣10）•（2x﹣10）＝200， 解方程，得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝6， ∴这张长方形纸板的长为30厘米， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键． 11．（2025•宁波一模）解方程4x2﹣1＝0得x1＝，x2＝﹣　 ． 【点拨】这个式子先移项，变成x2＝，从而把问题转化为求的平方根． 【解析】解：由原方程，得 x2＝， 开平方，得 x＝±， 解得x1＝，x2＝﹣． 故答案为：x1＝，x2＝﹣． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 12．（2025•浙江模拟）若x＝4是关于x的方程ax2﹣bx＝8的解，则2025﹣8a+2b的值为 　2021　 ． 【点拨】将x＝4代入方程得到6a﹣4b＝8，再根据2025﹣8a+2b＝2025﹣2（4a﹣b），将数值代入即可求出答案． 【解析】解：将x＝4代入方程， 得：6a﹣4b＝8， ∴4a﹣b＝2． ∴2025﹣8a+2b ＝2025﹣2（4a﹣b） ＝2025﹣2×2 ＝2021． 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握运算法则进行计算． 13．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　 （用百分数表示）． 【点拨】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解析】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0）， 依题意得：100（1+x）2＝169， 解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）． 0.3＝30%， ∴新注册用户数的年平均增长率为30%． 故答案为：30%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．（2025•宁波一模）使得方程x2+3x+c＝0有实数根的最大的整数c＝　2　 ． 【点拨】由方程有实数根，得Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0，解得，这样就很快得到满足条件的c的非负整数值． 【解析】解：由题意得，Δ＝32﹣4c＝9﹣4c≥0， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 15．（2025•西湖区校级模拟）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　6　 ． 【点拨】直接根据根与系数的关系求解． 【解析】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣， ∴3m2﹣4m+n2 ＝2m2﹣4m+m2+n2 ＝1+（m+n）2﹣2mn ＝1+22﹣2×（﹣） ＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 16．解方程： （1）（2025•滨江区一模）x2+2x﹣1＝0． （2）（2024•钱塘区二模）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； 【点拨】（1）先利用配方法得到（x+1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得； 【解析】解：（1）x2+2x﹣1＝0， x2+2x＝1， x2+2x+1＝2， （x+1）2＝2， x+1＝±， 所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）（x﹣2）2+2x﹣4＝0， （x﹣2）2+2（x﹣2）＝0； （x﹣2）（x﹣2+2）＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 17．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可． 【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c， ∴②③均可， 选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； 选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0， ∴x1＝，x2＝． 【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解． 18．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框： 小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【点拨】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：两个都错：×；× 2（x﹣2）＝（x﹣2）2， 2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， （x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0， （x﹣2）（4﹣x）＝0， x1＝2，x2＝4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 19．（2024•萧山区二模）已知关于x的方程x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0． （1）若方程的一个实根是3．求实数m的值． （2）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根． 【点拨】（1）将x＝3代入列出关于m的方程，解关于m的方程求得m的值； （2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况； 【解析】（1）解：当x＝3时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0． 解得m＝1， ∴m的值为1． （2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有实数根． 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0方程没有实数根． 20．（2025•新昌县一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1＝0． （1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设α，β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值． 【点拨】（1）根据Δ＞0求得m的取值范围，再进一步在范围之内确定m的一个整数值； （2）根据根与系数的关系，对α2+β2+αβ进行变形求解． 【解析】解：（1）根据题意，得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜5． ∴只要是m＜5的整数即可． 如：令m＝1． （2）当m＝1时，则得方程x2+4x＝0， ∵α，β是方程x2+4x＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣4，αβ＝0， ∴α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ＝（﹣4）2﹣0＝16． 【点睛】（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系： ①Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； ②Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ＜0⇔方程没有实数根． （2）一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于． 21．（2023•宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含a，b的代数式表示AD的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由． 【点拨】（1）由勾股定理求出AB的长，即可得出结论； （2）设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，由勾股定理得出方程，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝＝＝＝， ∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝； （2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下： 设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2， 整理得：x2+ax＝b2， ∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及数学常识，弄清题意是解本题的关键． 22．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【点拨】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为（300﹣2x）米、宽为（200﹣2×2x）米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出（5000+100y）平方米草莓，利用总利润＝销售利润﹣承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【解析】解：（1）根据题意得：5≤x≤12； （2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000+×500＝（5000+100y）平方米草莓， 根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $