专题08探索三角形全等的条件题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题08探索三角形全等的条件题型突破讲义 基础 过关题 1.用SSS证全等 2.用ASA(AAS)证全等 3.用SAS证全等 4.尺规作图作三角形 5.三角形稳定性及应用 6.四边形的不稳定性 能力 提升题 7.用SSS间接证全等 8.SSS与性质综合应用 9.ASA(AAS)与性质综合 10.用SAS间接证全等 11.SAS与性质综合应用 拓展 拔高题 12.灵活选用判定证全等 13.结合尺规作图全等题 14.利用全等求网格角度和 一、核心基础：全等三角形的定义与性质 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（判定与性质互逆，是解题关键依据）。 二、三角形全等的5 个判定定理（必背核心） 1. 三边对应相等（SSS） 文字：三边分别相等的两个三角形全等。 简写：SSS 关键：只要三边固定，三角形形状、大小唯一确定（三角形稳定性的原理）。 2. 两边及其夹角对应相等（SAS） 文字：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 简写：SAS 易错警示：必须是夹角，两边及其中一边的对角（SSA）不能判定全等。 3. 两角及其夹边对应相等（ASA） 文字：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写：ASA 4. 两角及其中一角的对边对应相等（AAS） 文字：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 简写：AAS 关联：由三角形内角和 180°，两角相等则第三角必相等，ASA 与 AAS 可相互推导。 5. 直角三角形专属（HL） 适用：仅Rt△（直角三角形）可用。 文字：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：HL 注意：普通三角形不能用 HL，HL 本质是直角三角形下的特殊判定。 三、关键判定规则（必考易错点） 1.能判定全等的组合：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）。 2.不能判定全等的组合：SSA、AAA（仅形状相同 / 两边非夹角，无法确定唯一三角形）。 3.对应关系核心：判定时必须是对应边、对应角相等，顺序和位置要一一对应。 四、三角形稳定性（拓展必掌握） 原理：三边确定（SSS），三角形形状、大小固定不变。 应用：桥梁、塔吊、自行车车架等结构设计（四边形易变形，无稳定性）。 五、解题核心步骤（通用答题逻辑） 1.找已知相等边 / 角（公共边、公共角、对顶角必相等）。 2.推隐藏相等条件（平行线得内错角 / 同位角、中点得等边、角平分线得等角）。 3.选对应判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），规范书写证明过程。 4.用全等性质：证得全等后，得剩余对应边、对应角相等。 【题型1.用SSS证三角形全等】 1．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件推断全等的依据即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用判定三角形全等的方法，逐一分析选项中两个三角形的三边是否对应相等． 【详解】解：A、在和中，已知，但与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； B、在和中，与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； C、在和中，，，，满足 ，可以判定全等，符合题意； D、在和中，，，但与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了判定三角形全等的知识点，解题关键是准确分析每个选项中三角形的三边对应关系，确认是否满足条件． 3．如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据判定三角形全等即可． 【详解】解：连接． 由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】A 【分析】连接EC，CD．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：连接EC，CD． 在△ODC和△OEC中， ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 解答题 5．如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)与不一定平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记全等三角形的判定方法，即如果两个三角形满足三条边分别相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先得出，再利用“边边边”即可求证； （2）先得出，再利用“边边边”即可求证； （3）先由已知条件不能判定全等，得出不能得出内错角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ． （2）解：成立， 理由：， ，即， 在和中， ， ． （3）与不一定平行， 理由：在和中，仅有不能判定它们全等，即不能得出， 故与不一定平行． 【题型2.用ASA(AAS)证全等】 .6．如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）． 【答案】 AAS 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是求出满足三角形全等的三个条件． 【详解】解：添加，利用AAS可得． 故答案为：；AAS． 7．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 8．如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 2 /角角边 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理． 利用证明，得． 【详解】解：由题意得， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：2；． 9．如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，也是典型的“一线三直角”的几何模型，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键. 解答题 10．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 【题型3.用SAS证三角形全等】 11．如图，如果，，那么，根据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法．注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件．和中，已知了，，隐含的条件是，因此可根据判断出． 【详解】解：∵，，， ∴， 即根据是， 故答案为：． 12．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； 已知点O分别为线段AC、BD的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据. 【详解】解：∵O为线段AC、BD的中点 ∴， ∴在和中， ∴ 故选：B. 13．如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 14．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 【详解】解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 解答题 15．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【题型4.尺规作图作三角形】 16．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）． 【答案】 【详解】解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点； ②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点； ③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；得到的∠CMD就是所求的角；由以上作角过程不难看出有三个对应边相等． ∴证明全等的方法是SSS． 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查用尺规作图作全等三角形，解题的关键在于理解作图过程中三边相等从而得到全等三角形这一过程． 17．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 18．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 19．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 【题型5.三角形稳定性及应用】 20．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 21．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 【答案】B 【分析】本题考查三角形的基本性质在实际生活中的应用．关键需理解各选项对应的几何性质及其适用场景． 【详解】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性． 故选：B． 22．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 【题型6.四边形的不稳定性】 23．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特点，三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性． 【详解】解：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，都是三角形，具有稳定性； 梯形不具有稳定性， 故选：C． 24．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的性质，掌握四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性是解题的关键． 观察伸缩校门的结构，它由多个四边形组成，能够伸缩变形，结合四边形的特性，判断其利用的性质． 【详解】解：伸缩校门可以通过改变形状实现伸缩，这是因为四边形具有不稳定性，容易发生变形，因此它利用的四边形的性质是：四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 25．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【题型7.用SSS间接证全等】 26．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 27．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 28．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8.SSS与性质综合应用】 29．如图，工人师傅用角尺平分．做法：在上取，同时保证与的刻度一致（即），则平分，这样做的依据是 （填全等三角形的一种判定方法）．    【答案】（或边边边） 【分析】由三边对应相等得，则，即由判定三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 即平分，这样做的依据是（或边边边）， 故答案为：（或边边边）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握三角形全等的判定方法． 30．三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 31．如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 解答题 32．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型9.ASA(AAS)与性质综合】 33．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC=CD，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED=3，CD=4，则A、B两点间的距离等于 ． 【答案】3 【分析】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE． 【详解】解：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键． 34．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选：D． 35．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 解答题 36．如下图，在中，D为BC的中点，．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握全等判定定理是解题的关键． 先利用D为中点得到对应边相等，再由得到内错角相等，结合对顶角相等的性质，通过判定定理证明两个三角形全等． 【详解】解：∵D为BC的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中： ∴． 【题型10.用SAS间接证全等】 37．如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE= ． 【答案】 【分析】根据题意和翻折的性质，可以得到然后可以求出结果． 【详解】解：∵D为的中点， ∴与的面积相等， ∵面积是面积的一半， ∴面积是面积的一半， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形全等，解答本题的关键是利用数形结合的思想解题． 38．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 39．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 【题型11.SAS与性质综合应用】 40．如图，点在一条直线上，，，则 ． 【答案】 【分析】根据边角边证明，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，理解并掌握三角形全等的判定条件，全等三角的性质是解题的关键． 41．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 42．已知的边、的长分别为、，则边上的中线的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长，取，连接证明得到，再利用三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长，取，连接，如下图所示：   ， 为边上的中线， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ． 故答案为：． 43．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均不可行 D．甲、乙的方案均可行 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ， ； 乙方案：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴甲、乙的方案均可行． 故选：D． 【题型12.灵活选用判定证全等】 44．两个三角形全等的判定方法除定义外，还有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ． 【答案】 SSS SAS ASA AAS HL 【分析】根据全等三角形的判定定理进行填空． 【详解】解：判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成 SSS、 AAS、 SAS、 ASA、 HL． 故答案是：SSS、 AAS、 SAS、 ASA、 HL． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 AAS、 SAS、 ASA、 HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与． 45．根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，构成三角形的条件，一般三角形全等的判定方法有 ，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法判定即可求解． 【详解】解：A、边边角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； B、∵，即， ∴原选项不能画出唯一，不符合题意； C、角边角()能唯一确定三角形，故原选项能画出唯一，符合题意； D、角角角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； 故选：C ． 46．如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上．则 ． 【答案】45°/45度 【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS） ∴∠3=∠1 ∵∠2+∠3=90° ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90° 故答案为：45° 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键． 47．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 【题型13.结合尺规作图全等题】 48．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个． 【答案】4 【详解】如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个 故答案为：4 【点睛】考点：作图题． 49．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 50．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 【题型14.利用全等求网格角度和】 51．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则 °．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 52．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 53．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08探索三角形全等的条件题型突破讲义 基础 过关题 1.用SSS证全等 2.用ASA(AAS)证全等 3.用SAS证全等 4.尺规作图作三角形 5.三角形稳定性及应用 6.四边形的不稳定性 能力 提升题 7.用SSS间接证全等 8.SSS与性质综合应用 9.ASA(AAS)与性质综合 10.用SAS间接证全等 11.SAS与性质综合应用 拓展 拔高题 12.灵活选用判定证全等 13.结合尺规作图全等题 14.利用全等求网格角度和 一、核心基础：全等三角形的定义与性质 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等（判定与性质互逆，是解题关键依据）。 二、三角形全等的5 个判定定理（必背核心） 1. 三边对应相等（SSS） 文字：三边分别相等的两个三角形全等。 简写：SSS 关键：只要三边固定，三角形形状、大小唯一确定（三角形稳定性的原理）。 2. 两边及其夹角对应相等（SAS） 文字：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 简写：SAS 易错警示：必须是夹角，两边及其中一边的对角（SSA）不能判定全等。 3. 两角及其夹边对应相等（ASA） 文字：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写：ASA 4. 两角及其中一角的对边对应相等（AAS） 文字：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 简写：AAS 关联：由三角形内角和 180°，两角相等则第三角必相等，ASA 与 AAS 可相互推导。 5. 直角三角形专属（HL） 适用：仅Rt△（直角三角形）可用。 文字：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写：HL 注意：普通三角形不能用 HL，HL 本质是直角三角形下的特殊判定。 三、关键判定规则（必考易错点） 1.能判定全等的组合：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）。 2.不能判定全等的组合：SSA、AAA（仅形状相同 / 两边非夹角，无法确定唯一三角形）。 3.对应关系核心：判定时必须是对应边、对应角相等，顺序和位置要一一对应。 四、三角形稳定性（拓展必掌握） 原理：三边确定（SSS），三角形形状、大小固定不变。 应用：桥梁、塔吊、自行车车架等结构设计（四边形易变形，无稳定性）。 五、解题核心步骤（通用答题逻辑） 1.找已知相等边 / 角（公共边、公共角、对顶角必相等）。 2.推隐藏相等条件（平行线得内错角 / 同位角、中点得等边、角平分线得等角）。 3.选对应判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），规范书写证明过程。 4.用全等性质：证得全等后，得剩余对应边、对应角相等。 【题型1.用SSS证三角形全等】 1．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 2．如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 3．如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是 ． 4．如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 解答题 5．如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 【题型2.用ASA(AAS)证全等】 .6．如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）． 7．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 8．如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ． 9．如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解答题 10．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【题型3.用SAS证三角形全等】 11．如图，如果，，那么，根据是 ． 12．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 13．如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 14．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 解答题 15．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【题型4.尺规作图作三角形】 16．用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）． 17．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 18．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 19．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【题型5.三角形稳定性及应用】 20．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 ． 21．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 22．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型6.四边形的不稳定性】 23．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 24．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 25．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【题型7.用SSS间接证全等】 26．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 27．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 28．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【题型8.SSS与性质综合应用】 29．如图，工人师傅用角尺平分．做法：在上取，同时保证与的刻度一致（即），则平分，这样做的依据是 （填全等三角形的一种判定方法）．    30．三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 31．如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 解答题 32．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【题型9.ASA(AAS)与性质综合】 33．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC=CD，作DE⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED=3，CD=4，则A、B两点间的距离等于 ． 34．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 35．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 解答题 36．如下图，在中，D为BC的中点，．试说明：． 【题型10.用SAS间接证全等】 37．如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE= ． 38．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 39．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【题型11.SAS与性质综合应用】 40．如图，点在一条直线上，，，则 ． 41．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 42．已知的边、的长分别为、，则边上的中线的取值范围为 ． 43．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． 下列说法正确的是（    ） A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均不可行 D．甲、乙的方案均可行 【题型12.灵活选用判定证全等】 44．两个三角形全等的判定方法除定义外，还有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ． 45．根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 46．如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上．则 ． 47．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【题型13.结合尺规作图全等题】 48．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个． 49．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【题型14.利用全等求网格角度和】 51．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则 °．      52．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 53．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $