专题04 平移重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

该初中数学平移专题复习讲义通过知识框架图系统梳理平移核心内容，涵盖定义、三要素、性质及作图步骤，突出对应点连线平行且相等、对应线段相等的性质重点，构建“知识点-题型-拓展”的递进知识脉络。 讲义亮点在于“生活情境-性质应用-动态探究”的阶梯式题型设计，如用甲骨文平移现象培养几何直观，通过荷塘小桥问题发展推理意识，拓展训练中的动态探究题提升创新意识。分层检测题满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题04 平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 平移(作图) 题型五 利用平移解决实际问题 题型六 利用平移的性质解决多结论问题 拓展训练一 根据平移的性质证明 拓展训练二 平移的动态探究 知识点一：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即时训练】 1．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的应用， 根据平移的性质，轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：图A可以通过平移变换得出，所以符合题意； 图B，C，D是通过轴对称变化得到的，所以不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．根据平移的性质可知，图形平移后对应点所连线段平行且相等，所以平移得到的过程中，对应点所连线段的长度等于平移的距离． 【详解】解：∵经过平移得到，点与点是对应点，且， ∴平移的距离为． 故答案为：． 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移就是它的下边线，那么改造后小路的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可判断出小路的面积变化． 【详解】由平移的性质可得笔直小路和弯曲小路的面积相等， 故选：C 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，正确理解题意，灵活运用平移的性质是解决问题的关键． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）平移变换不仅和几何图形联系密切，而且在汉字中也存在着平移变换现象．如：“林”“田”“众”．请你开动脑筋，写出三个可由平移变换得到的汉字： ． 【答案】答案不唯一，如羽，朋，圭等 【分析】根据题意明确汉字平移的实质是具有相同的部分,即可解题. 【详解】解：根据平移定义,汉字中的平移要求汉字的组成部分要相同, 例如：羽，朋，圭等 【点睛】本题考查了平移的定义,属于简单题,熟悉平移的概念是解题关键. 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元 【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案； （2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1） （平方米） 答：种花草的面积为42平方米； （2）（元） 答：每平方米种植花草的费用是110元． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算． 【经典例题二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出变化规律，三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化进而得出答案，根据已知图形得出图形的变与不变是解题的关键． 【详解】解：如图所示，小人的移动规律是三个小人依次向左移动，最前面的移到最后面，移动的同时，每个小人手上的动作，以上中下的顺序循环变化， 故选一个小人放到图中问号的位置最合适的是： 故选：． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 【答案】 射线（或）的方向 线段的长（或的长） 【分析】本题考查了平移的方向、距离、性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移的方向、距离、性质等知识点解答即可． 【详解】解：是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点， 平移的方向是射线（或）的方向，平移的距离是线段的长（或的长）， 故答案为：；射线（或）的方向；线段的长（或的长）． 1．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及平移，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意即可得到点向右平移2格即可围成平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的定义可知， 需将点向右平移2格即可围成平行四边形． 故选D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【答案】不能，最少剩余2个方格，平移方式见解析 【分析】本题考查图形的平移，根据平移不改变图形的形状和大小，可知只能沿水平方向（向左或向右）或垂直方向（向上或向下）移动，由于图形的形状和网格的边界限制，可知不能将所有方格填满． 【详解】解：不能将所有方格填满．最少剩余2个方格， 平移方式为：向右平移到底，向上移一格，然后向左平移到底，再向上移一格，然后向右平移到底，再向上移一格，然后向左平移到底，最后只剩下左上角和右上角2个小格无法填充．如图： 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中阴影部分的面积等于长方形的面积，再用长方形的面积减去阴影部分的面积即可得图中空白部分的面积． 【详解】解：根据题意可得：，扇形的面积扇形的面积， 又扇形的面积阴影部分的面积扇形的面积长方形的面积， 故阴影部分的面积长方形的面积， 所以图中空白部分的面积为． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 2．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得，，，即得，再根据梯形的面积公式解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， ∵为中点， ∴， ∴， 解得， ∴平移距离为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 【经典例题四 平移(作图)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 3．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)线段扫过的图形的面积是32 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；      （2）解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过的图形的面积是32． 【经典例题五 利用平移解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选B． 【例2】（24-25七年级下·湖北·期中）夏季荷花盛开，为便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可知，小桥的总长为长方形周长的一半，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知： 小桥的总长为长方形周长的一半，即：， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．    【答案】 【分析】楼梯长度的和等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和． 【详解】解：如下图，过点，，作，，交于点，，，过点，，作，，交于点，，，    由图可知：，，，， ，，，， 折线， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平移的知识，与实际生活相联系，熟练掌握平移的知识并灵活运用是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 【经典例题六 利用平移的性质解决多结论问题】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，三角形的面积，根据三角形平移性质逐项判断即可． 【详解】解：对选项A，由平移的性质得：， ∴当点D为的中点时，，故选项A不一定正确，符合题意； 对于选项B，由平移的性质得：，故选项B正确，不符合题意； 对于选项C，由平移的性质得：， ， ， 即，故选项C正确，不符合题意； 对于选项D，由平移的性质得，则， 故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图所示，将周长为13的沿直角边所在直线向右平移个单位，得到．则有下列结论：①且；②且；③和的周长和为13；④；⑤若，则边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得，根据，，即可判断结论④；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等． 【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且；， 故结论①②正确； ∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴，， ∴和的周长和为：， 故结论③正确； ∵， 又∵，， ∴， 故结论④错误； 根据平移可知，， 则边扫过的图形的面积为： ， 即边扫过的图形的面积为， 故结论⑤错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 1．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、平行线的判定与性质、平移的性质． ①根据平移的性质判断即可； ②根据平移的性质计算即可； ③根据的面积求出平行线与之间的距离，设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则，根据和分别写出、、之间的等量关系，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵将三角形沿AB方向平移，得到三角形， ∴， ∴①正确，符合题意； ∵，， ∴若，则四边形的周长为（）， ∴②不正确； 设平行线与之间的距离为， 则， 解得， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则， 根据和，得， ，得， 解得， ∴③正确，符合题意． 综上，①③正确． 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH=2cm，EF=4cm．下列结论：①BH∥EF；②AD=BE；③∠C=∠BHD；④阴影部分的面积为6cm．正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据平移的性质一一判断即可． 【详解】解：∵将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH=2cm，EF=4cm， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF，BE=2cm，BC=EF=4cm，AB=DE，BC∥EF，AC∥DF， ∴BH∥EF，∠C=∠BHD，①③正确； ∴AB-DB=DE-DB， ∴AD=BE，②正确； ∵BC=4cm，CH=2cm， ∴BH=BC-CH=2cm， 阴影部分的面积=△ABC的面积-△DBH的面积 =△DEF的面积-△DBH的面积 =梯形BEFH的面积 =（BH+EF）•BE =×（2+4）×2 =6（cm2）．④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．也考查了平行线的性质． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图，将沿射线方向平移到的位置，连接，． (1)与的位置关系为______；； (2)设，，试探索与，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移性质解答即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：； 根据平移性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论： 过点A作，交于点D，    根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 【点睛】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． 【拓展训练一 根据平移的性质证明】 【例1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平移的性质： （1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【答案】实践与操作：见解析；推理与证明：（1）对应点连线平行且相等；（2）见解析 【分析】此题考查作图—平移变换，关键是利用平移的性质解答． 实践与操作：根据平移变换的定义画图可得． 推理与证明：（1）根据平移变换的性质可得答案； （2）根据平移的性质得，推出即由可得结论 【详解】解：实践与操作： 如图所示，即为所求， 推理与证明： （1）由平移可知，且． 其依据是：对应点连线平行且相等； 故答案为：对应点连线平行且相等； （2）证明：由， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴． 2．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可；作，根据平移的性质和平行线的判定和性质求解即可； （2）①由平移的性质得，，推出，，进而得到，设，则，，，然后根据直线，可知，求得，据此求解即可得到；②同①理即可得到． 【详解】（1）解：补全图如图所示， 作， ∴， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下， ∵将线段沿平移得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②， 如图， ． 设， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵直线， ∴， ∴，即． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（________） 因为折叠， 所以，__________， 所以________=_________，（等量代换） 所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)正确，证明见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，折叠的性质等等： （1）根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程证明即可； （2）由平行线的性质先证明，再由折叠的性质证明，即可证明； （3）由平移的性质得到，由折叠的性质可得，再由得到，进而得到，再结合的长均为整数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（两直线平行，内错角相等） 因为折叠， 所以，， 所以，（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） （2）解：正确，证明如下： ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （3）解：由平移的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∵的长不少于，且不大于， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵都是整数， ∴符合题意的的最小值为7，此时的值为4． 【拓展训练二 平移的动态探究】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）按要求作图 (1)在图1中过A点画直线l的垂线段，垂足为点D． (2)在图2中画出△ABC平移后的图形△，使点A运动到点A'． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形即可． （2）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可． 【详解】（1）解：如图1，线段AD即为所求作． （2）解：如图2，△A′B′C′即为所求作． 【点睛】本题考查作图﹣平移变换、垂线段的定义等知识，解题的关键是理解并灵活应用相关概念． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将三角形向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形； (2)在（1）的运动过程中，请计算出三角形扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握平移性质和作图，网格图形面积，是解题的关键． （1）A、B、C三点分别向下平移3单位长度，得三点，首尾顺次连接即得； （2）平移扫过的面积等于的矩形面积减去周围3个三角形面积，为． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求．    （2）解：平移前后两个三角形在一个的矩形内， ∴平移扫过的面积为：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°． (1)请说明AEBC的理由． (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数． ③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①∠Q＝15°；②∠Q＝50°或150°，③∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠EDQ＝∠Q+∠E． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论； ②过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论． ③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵DEAB， ∴∠BAE+∠E＝180°， ∵∠B＝∠E， ∴∠BAE+∠B＝180°， ∴AEBC； （2）①如图2，过D作DFAE交AB于F， ∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ， ∴PQAE， ∴DFPQ， ∴∠DPQ＝∠FDP， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝180°－∠E＝105°， ∵DE⊥DQ， ∴∠EDQ＝90°， ∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°， ∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°， ∴∠Q＝180°﹣165°＝15°； ②如图3，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝50°； 如图4，过D作DFAE交AB于F， ∵PQAE， ∴DFPQ， ∴∠QDF＝180°﹣∠Q， ∵∠Q＝2∠EDQ， ∴∠EDQ∠Q， ∵∠E＝75°， ∴∠EDF＝105°， ∴180°﹣∠QQ＝105°， ∴∠Q＝150°， 综上所述，∠Q＝50°或150°， ③如图3，∵DFAE，DFPQ， ∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q， ∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q， 即∠EDQ＝∠E－∠Q； 如图4，∵DFAE，DFPQ， ∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q， ∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E， 即∠EDQ＝∠Q－∠E； 同理，当PQ在BC下方时，∠EDQ＝∠Q+∠E 综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E或∠EDQ＝∠Q+∠E． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止平移．连接AE，DC，在整个过程中，图中阴影部分面积和的变化情况是（  ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减少后增大 D．一直不变 【答案】B 【分析】根据平移的性质，判断△AEC和△DEC的高和它们的底的变化，即可作答． 【详解】平移过程中，△AEC和△DEC的高不变，而它们的EC随着平移的进行，一直在减小，则△AEC和△DEC的面积也在一直减小，因此可知由△AEC和△DEC组成（不含重叠部分）的阴影部分的也在一直减小，据此即可作答， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移判断出△AEC和△DEC的高不变，而它们的EC一直在减小，是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图是一块长方形的场地，长，宽，从、两处入口的中路宽都为，两小路汇合处路宽为，其余部分种植草坪，则草坪面积为（     ）    A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 【答案】B 【详解】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米． 所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）． 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面所说的“平移”，是指只沿方格的格线（即左右或上下）运动，并将图中的任一条线段平移一格称为“1步”．通过平移，使得图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动的步数是（　　） A．7步 B．8步 C．9步 D．10步 【答案】B 【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数. 【详解】 所画图形如下图所示: 其中移动方案为: AB向下移动2格，EF向右1格再向.上2格，CD向左3格，共应8格.共走了8步.故选B. 【点睛】本题考查图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形. 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． B 提高训练 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面的图形是由一个基本图案利用平移方法得到的，请你在横线上画出这个基本图案： . 【答案】 【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可得该图形不能单纯用1个“”或“”作基本图案.根据图形的规律即可得答案. 【详解】∵平移与方向有关， ∴不能单纯用1个“”或“”作基本图案. ∴这个基本图案是， 故答案为： 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．熟练掌握平移的性质是解题关键. 7．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）下列几种运动中，水平运输带上砖的运动；笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；升降机上下做机械运动；足球场上足球的运动．属于平移的有 (填上所有你认为正确的序号) 【答案】 【分析】根据平移的性质，对各小题进行分析判断即可求解． 【详解】解：（1）水平运输带上砖的运动，是平移变换； （2）笔直的高速公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动），是平移变换； （3）升降机上下做机械运动，是平移变换； （4）足球场上足球的运动，是旋转运动． 所以属于平移的有（1）（2）（3）共3种． 故答案是：（1）（2）（3）． 【点睛】本题考查了生活中的平移变换，熟记平移变换的性质是求解的关键． 8．（2025·湖北鄂州·模拟预测）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 ．    【答案】28 【详解】由矩形性质可知∠B=90°，对角线AC=10，BC=8可运用勾股定理得AC=6；再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现5个小矩形的周长之和是矩形ABCD的周长=（6+8）×2=28． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将四边形沿方向平移得到四边形，已知，，，，阴影部分的面积为28，则的长为 ． 【答案】4 【分析】由平移的性质可得，则可得．再证，，，则可得四边形是直角梯形，平移的性质可得．由，根据梯形的面积公式求出的长，则可得长． 本题主要考查了平移的性质和梯形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ， 由平移的性质得,，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·山西·期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：如图所示： 由平移的性质可知：∠2=∠3． 又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠1． ∴EF∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键． C 培优训练 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 12．（24-25七年级下·广东东莞·月考）△ABC在网格中如图所示，请根据下列提示作图． （1）向上平移2个单位长度得△A1B1C1； （2）再向右移3个单位长度得△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】根据平移作图的方法作图即可．（1）把△ABC的各顶点向上平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A1B1C1；（2）把△A1B1C1的各顶点向右平移3个单位，顺次连接各顶点即为△A2B2C2． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求图形； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求图形． 【点睛】本题考查的是平移变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形. 13．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图将直角三角形沿点B到点C的方向平移得到直角三角形，，，， (1)求平移的距离的长度是多少？ (2)求平移后，图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答； （2）根据平移的性质得到，三角形的面积三角形的面积，根据等量代换可得阴影部分的面积等于梯形的面积，再利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得，， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴平移的距离的长度是； （2）解：由平移的性质得，，三角形的面积三角形的面积， ∴， ∴梯形的面积， ∴阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 三角形的面积三角形的面积 梯形的面积 ， ∴阴影部分的面积为． 14．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，在正方形网格中有一个三角形（三角形的顶点均在小正方形网格的顶点上），按要求进行下列作图（只借助于网格，需写出结论）： （1）过点B画出的平行线，其中要求点Q是网格的格点； （2）先将三角形向右平移5格，再向上平移3格后得到三角形，其中点A落在点D，点B落在点E，点C落在点F； （3）连接，，请直接判断线段与线段的关系：_________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）过点B连接一个长为5高为2的长方形的对角线，即可满足与AC平行； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （3）根据题意连接，，由图即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， 直线BQ即为所求； （2）如图， 即为所求； （3）如图， 根据平移的性质可知，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移变换的特点，准确找出平移后各点的位置． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若在方格(每小格正方形边长为上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位)，则把有序数对，叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”，可平移至点． （1）从点按“平移量”　　　　，　　　　可平移到点； （2）若点依次按“平移量”，、，平移至点， ①请在图中标出点；(用黑色水笔在答题卡上作出点 ②如果每平移需要2.5秒，那么按此方法从点移动至点需要多少秒？ ③观察点的位置，其实点也可按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”，、，、，平移至点，则相当于点按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点． 【答案】（1），；（2）①答案见解析；②25秒；③2，；，． 【分析】（1）根据“平移量”的定义即可得； （2）①根据“平移量”的定义得出点B的平移方式，再描点即可得； ②先求出点B平移至点D的平移总距离，再乘以即可得； ③根据“平移量”的定义即可得，观察点B平移至点D的规律即可得出答案． 【详解】（1）从到，向左平移2个单位，向下平移1个单位 所以平移量为 故答案为：； （2）①由题意得，先将点向右平移4个单位，向下平移3个单位；再向左平移2个单位，向上平移1个单位即可达到点D，标出点D如图所示： ②点B平移至点D的平移总距离为 则所需时间为（秒）； ③由图可知，从点直接平移至点，向右平移2个单位，向下平移2个单位 所以平移量为 观察可知：， 则点直接平移至点的平移量为，即 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平移的应用，理解新定义，找出平移规律是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 平移(作图) 题型五 利用平移解决实际问题 题型六 利用平移的性质解决多结论问题 拓展训练一 根据平移的性质证明 拓展训练二 平移的动态探究 知识点一：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即时训练】 1．（2025·贵州黔东南·二模）甲骨文是一种象形文字，是我国汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移变换来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，经过平移得到，连接、，若，则平移的距离为 ． 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移就是它的下边线，那么改造后小路的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）平移变换不仅和几何图形联系密切，而且在汉字中也存在着平移变换现象．如：“林”“田”“众”．请你开动脑筋，写出三个可由平移变换得到的汉字： ． 1．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 3．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【经典例题二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点 ，平移的方向是 ，平移的距离是 ． 1．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，长方形中，，，弧是以点A为圆心以2为半径的圆弧，将扇形沿向右平移1个单位得到扇形，则图中空白部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为 ． 1．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【经典例题四 平移(作图)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 1．（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 3．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【经典例题五 利用平移解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北·期中）夏季荷花盛开，为便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，，试着计算出折线（即楼梯表面）的长度为 ．    3．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【经典例题六 利用平移的性质解决多结论问题】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向下平移得到三角形，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图所示，将周长为13的沿直角边所在直线向右平移个单位，得到．则有下列结论：①且；②且；③和的周长和为13；④；⑤若，则边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有 ．（填序号） 1．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 2．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH=2cm，EF=4cm．下列结论：①BH∥EF；②AD=BE；③∠C=∠BHD；④阴影部分的面积为6cm．正确的有 ．（填序号） 3．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图，将沿射线方向平移到的位置，连接，． (1)与的位置关系为______；； (2)设，，试探索与，之间的数量关系，并证明你的结论． 【拓展训练一 根据平移的性质证明】 【例1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 2．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）【综合与实践】 如图1是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图2，他们先在纸上画一条线段，利用三角尺和直尺将平移，得到线段，连接，，裁出四边形，连接，在上取点E，F，将三角形，三角形分别沿折叠，得到三角形，点G，H均在上，则有，，，． (1)以下是组员小新证明与平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全． 由画法可得，，（同位角相等，两直线平行） 所以，（________） 因为折叠， 所以，__________， 所以________=_________，（等量代换） 所以（________） (2)组员小潘的说法（）正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由． (3)在制作过程中，小组发现，当的长不少于，且不大于时，闪电形态较美观，若的长均为整数，当最短时，求的长． 【拓展训练二 平移的动态探究】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·月考）按要求作图 (1)在图1中过A点画直线l的垂线段，垂足为点D． (2)在图2中画出△ABC平移后的图形△，使点A运动到点A'． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将三角形向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形； (2)在（1）的运动过程中，请计算出三角形扫过的面积． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°． (1)请说明AEBC的理由． (2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ． ①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数； ②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数． ③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的等量关系． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止平移．连接AE，DC，在整个过程中，图中阴影部分面积和的变化情况是（  ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减少后增大 D．一直不变 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图是一块长方形的场地，长，宽，从、两处入口的中路宽都为，两小路汇合处路宽为，其余部分种植草坪，则草坪面积为（     ）    A．m2 B．m2 C．m2 D．m2 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面所说的“平移”，是指只沿方格的格线（即左右或上下）运动，并将图中的任一条线段平移一格称为“1步”．通过平移，使得图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要移动的步数是（　　） A．7步 B．8步 C．9步 D．10步 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法判断 B 提高训练 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面的图形是由一个基本图案利用平移方法得到的，请你在横线上画出这个基本图案： . 7．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）下列几种运动中，水平运输带上砖的运动；笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动)；升降机上下做机械运动；足球场上足球的运动．属于平移的有 (填上所有你认为正确的序号) 8．（2025·湖北鄂州·模拟预测）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 ．    9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将四边形沿方向平移得到四边形，已知，，，，阴影部分的面积为28，则的长为 ． 10．（24-25七年级下·山西·期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是 ． C 培优训练 11．（25-26七年级下·全国·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    12．（24-25七年级下·广东东莞·月考）△ABC在网格中如图所示，请根据下列提示作图． （1）向上平移2个单位长度得△A1B1C1； （2）再向右移3个单位长度得△A2B2C2． 13．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图将直角三角形沿点B到点C的方向平移得到直角三角形，，，， (1)求平移的距离的长度是多少？ (2)求平移后，图中阴影部分的面积． 14．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，在正方形网格中有一个三角形（三角形的顶点均在小正方形网格的顶点上），按要求进行下列作图（只借助于网格，需写出结论）： （1）过点B画出的平行线，其中要求点Q是网格的格点； （2）先将三角形向右平移5格，再向上平移3格后得到三角形，其中点A落在点D，点B落在点E，点C落在点F； （3）连接，，请直接判断线段与线段的关系：_________． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若在方格(每小格正方形边长为上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为(向右为正，向左为负，平移个单位)，沿竖直方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移个单位)，则把有序数对，叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”，可平移至点． （1）从点按“平移量”　　　　，　　　　可平移到点； （2）若点依次按“平移量”，、，平移至点， ①请在图中标出点；(用黑色水笔在答题卡上作出点 ②如果每平移需要2.5秒，那么按此方法从点移动至点需要多少秒？ ③观察点的位置，其实点也可按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点依次按“平移量”，、，、，平移至点，则相当于点按“平移量”　　　　，　　　　直接平移至点． 学科网（北京）股份有限公司 $