第4讲 平面向量的数量积 讲义——2026届高三数学一轮复习

第四讲 平面向量的数量积第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、向量的夹角 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 2、平面向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做向量与的数量积，记作 ． 3、平面向量数量积的几何意义 设是两个非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，叫做向量在向量上的 ，记为 . 4、向量数量积的运算律 (1) (2)． (3) ． 5、平面向量数量积的有关结论：已知非零向量，，与的夹角为. 几何表示 坐标表示 数量积 模 夹角 的充要条件 与的关系 6、常用结论 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①； ②. (2)有关向量夹角的两个结论 ①若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. ②若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. (3)向量在向量上的投影向量为·. 二、典型例题 题型一 平面向量数量积的运算 例1 (1)已知向量，其中，若，则( ) A．40 B．48 C．51 D．62 (2)如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点，，则( ) A． B． C． D． (3)已知向量， ． 题型二 向量的模 例2 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ ． 题型三 向量的夹角 例3 已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝ ． 题型四 向量的垂直 例4 (1)已知向量，，若，则 ． (2)已知向量满足，且，则 ． 题型五 向量的投影 例5 已知平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量的坐标为( ) A． B． C． D． 三、课堂练习 1．向量满足，向量与的夹角为，则( ) A．0 B．8 C． D． 2．等边三角形的边长为1，，，，则( ) A．3 B． C． D． 3．已知正方形的边长为1，，，，则( ) A．0 B．3 C． D． 4．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A． B． C． D． 5．已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则k＝ ． 6．已知，，则与的夹角为 ． 四、课后作业 1．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A． B． C． D． 2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则( ) A．0 B．3 C．6 D．12 3．已知向量，则( ) A． B． C．2 D．4 4．已知平面向量，，，，则( ) A． B．1 C． D． 5．已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为( ) A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 7．设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为( ) A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，，则( ) A． B． C． D． 9．(多选)已知非零向量，则下列结论正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量垂直 10．(多选)若平面向量两两的夹角相等，且，则( ) A．2 B． C．5 D． 11．已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ． 12．已知圆的半径为是圆的两条直径，若，则 ． 13．如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． (1)用，表示，． (2)如果，，有什么位置关系？ 参考答案 1．D 【详解】因为是两个单位向量，所以，但两个向量的方向有可能不相同， 所以这两个向量不一定相等，故A不完全正确； 由数量积的定义，，所以B也不一定成立，故B不完全正确； 由数量积的定义，，，所以C错误，D正确. 2．D 【详解】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，， 则， ，， 所以. 3．B 【详解】因为， 所以，故． 4．A 【详解】由题意得，即，解得. 5．A 【详解】已知，则，所以，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 6．A 【详解】因为，，所以.因为，所以， 即，解得，所以，所以. 7．D 【详解】如图，设，四边形为平行四边形， 则，，因为为夹角是锐角的单位向量，所以四边形为菱形，故， 所以，则与的夹角为． 8．C 【详解】，因为，所以， 又因为，所以，所以. 9．ABD 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，，则，故D正确． 10．AC 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或. 当夹角为时，；当夹角为时， ， 所以或2. 11．或 【详解】设与垂直的单位向量为，则，解得或， ∴与垂直的单位向量的坐标为或． 12． 【详解】由题意可得，， . 13．(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1），. （2）.证明如下：由（1）得，， 所以，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $