专题6.3.3 解三角形（4大知识点+6大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.3 解三角形 知识点1： 测量距离问题 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 1、 两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 2、 两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 3、 两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 知识点2： 测量高度问题 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。 基本关系：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 1、 底部可达：利用直角三角形解 2、 底部不可达（仰角在不同位置测两次）： 设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 知识点3： 测量角度问题 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 题型一：平面几何计算问题 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长. 【例2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 【跟踪训练】 1.如图，在中，已知点在边上，，，，．A B C D （1）求的值； （2）求的长． 2.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD. 题型二：解三角形最值问题 【例3】已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状. 【例4】在中，角，，的对边分别为，，，且，的面积为，则周长的最小值为______. 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B＝a. (1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积； (2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围． 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B. (1)求cos B的值； (2)若a＋c＝2，求b的取值范围． 题型三：解三角形实际应用--测量距离 【例5】如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【跟踪训练】 1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(－1) m 2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，求这时船与灯塔的距离． 3．如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里. （1）求处距离航标灯的距离； （2）求的值. 4.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 题型四：解三角形实际应用--测量高度 【例6】在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9米(如图所示)，则旗杆的高度为(　　) A．9米 B．27米C．9米 D．9米 【跟踪训练】 1.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 2.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当 m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 题型五：解三角形实际应用--测量角度 【例7】如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于(　　) A. B.－2 C.－1 D.－1 【跟踪训练】 1.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为10海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以10海里／小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里／小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 题型六：解三角形实际应用--其他问题 【例8】某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【例9】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知，. (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 一、选择题 1.在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20 m B．30C．40 m D．50 m 4.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 5.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7.在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 8.在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角 . 3、 解答题 9.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 10.如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 11．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C. （1）求小岛A到小岛C的距离； （2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向. 12．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，. （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 13.如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 14.如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.3 解三角形 知识点1： 测量距离问题 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 1、 两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 2、 两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 3、 两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 知识点2： 测量高度问题 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。 基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 1、 底部可达：利用直角三角形解 2、 底部不可达（仰角在不同位置测两次）： 设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 知识点3： 测量角度问题 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 题型一：平面几何计算问题 【例1】如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝. (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长. 【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝. 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝×－×＝. (2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5×＝49.所以AC＝7. 【例2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 可得，因为，所以，可得， 又因为，可得． （2）由余弦定理可得，① 又在中，，设的中点为， 在中，，可得，可得，② 由①②可得，解得． 【跟踪训练】 1.如图，在中，已知点在边上，，，，．A B C D （1）求的值； （2）求的长． 【解析】：（1）在中，，， 所以． 同理可得，． 所以 ． （2）在中，由正弦定理得，． 又，所以． 在中，由余弦定理得， ． 2.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD. 【答案】（1）；（2） 【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－， 由正弦定理得＝， 即＝，② ①②两式相除，得＝， 即4(sin θ－cos θ)＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin2θ＋cos2θ＝1， 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝. 题型二：解三角形最值问题 【例3】已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状. 【答案】（1）；（2）有最大值，此时为等腰三角形. 【解析】（1）由正弦定理及已知得到， 又， 所以， 从而， 所以， 又在中，，所以. 又，所以. （2）由（1）及正弦定理知道， 所以，. 所以 . 因为，所以. 从而 . 因为，所以当时，有最大值， 此时，为等腰三角形. 【例4】在中，角，，的对边分别为，，，且，的面积为，则周长的最小值为______. 【答案】6 【解析】由， 得，即， 因为，所以，所以， 所以.由，得，（当且仅当时，“”成立），则，可得，故. 【跟踪训练】 1.已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B＝a. (1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积； (2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围． 解　(1)∵bsin C＋ccos B＝a， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)， ∴sin Bsin C＋sin Ccos B ＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴sin Bsin C＝sin Bcos C， ∵sin B≠0，∴sin C＝cos C， 又易知cos C≠0， ∴tan C＝， ∵0<C<π， ∴C＝. ∵a＝2，b＝，C＝， ∴S△ABC＝absin C＝×2××sin ＝×2××＝. (2)在△ABC中，c＝2，C＝， 由余弦定理得4＝a2＋b2－ab， ∴(a＋b)2－4＝3ab≤3·2， 即(a＋b)2－4≤(a＋b)2， 即(a＋b)2≤16， ∴0<a＋b≤4，当且仅当a＝b时等号成立， 又a＋b>c＝2， ∴2<a＋b≤4，∴4<a＋b＋c≤6， 故△ABC周长的取值范围是(4,6]． 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B. (1)求cos B的值； (2)若a＋c＝2，求b的取值范围． 解　(1)因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B， 所以－cos(A＋B)＋cos Acos B＝2sin Acos B， 即sin Asin B＝2sin Acos B， 因为sin A≠0， 所以sin B＝2cos B>0， 又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝. (2)由a＋c＝2，可得c＝2－a， 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac ＝a2＋(2－a)2－a(2－a) ＝(a－1)2＋， 因为0<a<2，所以≤b2＜4， 所以≤b<2， 所以b的取值范围为. 题型三：解三角形实际应用--测量距离 【例5】如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 【跟踪训练】 1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(－1) m 答案　C 解析　从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m， 所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°， 所以AB＝， 由正弦定理可得＝， 所以BC＝＝ ＝120(－1)． 2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，求这时船与灯塔的距离． 【答案】km 【分析】 根据示意图得出∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，从而在△AMB中，根据正弦定理可求得行驶后船与灯塔的距离． 【详解】 作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°， ∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°， 在△AMB中，由正弦定理，得， 解得BM＝ km，即行驶后船与灯塔的距离为 km. 3．如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里. （1）求处距离航标灯的距离； （2）求的值. 【答案】（1）海里；（2）. 【分析】 (1)利用余弦定理,即可求解. （2）利用正弦定理，即可求解. 【详解】 解析：（1）∵，，， ∴由余弦定理得，∴海里， （2），由正弦定理得， ∴. 4.如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【解析】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 题型四：解三角形实际应用--测量高度 【例6】在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9米(如图所示)，则旗杆的高度为(　　) A．9米 B．27米 C．9米 D．9米 答案　B 解析　依题意可知∠AEC＝45°， ∠CAE＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理可知＝， ∴AC＝·sin∠AEC＝18(米)， ∴在Rt△ABC中， BC＝AC·sin∠CAB＝18×＝27(米)． 【跟踪训练】 1.如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 2.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当 m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 【答案】 151.6 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 正切函数在上单调递增，而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：151.6； 题型五：解三角形实际应用--测量角度 【例7】如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ等于(　　) A. B.－2 C.－1 D.－1 答案　C 解析　由题知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°， 所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 又AB＝100 m，所以AC＝100 m. 在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m， 由正弦定理得＝， 所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝ ＝－1. 【跟踪训练】 1.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为10海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以10海里／小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里／小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 【答案】护航舰航行的方位角为，靠近货船需要1小时. 【分析】根据给定的图形，利用余弦定理列式求出靠近货船所需的时间，再求出即可得解. 【详解】设护航舰靠近货船所用时间为小时， 在中，由余弦定理有， 则，整理得， 而，解得，所以护航舰靠近货船需要1小时； 此时海里，海里，又海里，则， 所以护航舰航行的方位角为. 题型六：解三角形实际应用--其他问题 【例8】某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 【例9】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知，. (1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案； （2）利用三角形面积公式，结合三角函数恒等式，可得答案. 【解析】（1）在中， 在中， 则为定值. （2） ， 因为设 则， 所以，当时，取得最大值， 即时，的最大值为. 一、选择题 1.在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【解答过程】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故选：C. 2.如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m 答案　D 解析　由三角形内角和定理， 可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得＝ ⇒＝⇒AB＝50. 4.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高一下学期期末质量检查数学试卷 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 5.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省锡山高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省淮安市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 二、填空题 7.在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 所以， 由于，故， 故答案为： 8.在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求角. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 故答案为： 3、 解答题 9.在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 10.如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答. （2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，则， 整理得，而，即，又因为， 所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 于是，解得， 当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值. 11．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C. （1）求小岛A到小岛C的距离； （2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向. 【答案】 （1）海里 （2）游船应该沿北偏东的方向航行. 【分析】 (1)三边一角，由余弦定理可以求小岛A到小岛 C的距离； (2)两边两角，由正弦定理可以求角. （1） 解：(1)在中， ，根据余弦定理得：. . 所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里. （2） 解：(2)根据正弦定理得： 解得 在中， 为锐角 . 由得游船应该沿北偏东的方向航行 答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行. 12．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，. （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2） （3） 【分析】 （1）先求得，然后由正弦定理求得. （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值. （3）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意，， 在中，， 由正弦定理，得. 所以，索道AB的长为1040m. （2） 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d， 此时甲行走了，乙距离A处， 由余弦定理得 ， 因为，即， 则当时，甲、乙两游客之间距离最短. （3） 由正弦定理，得， 乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C， 设乙步行的速度为， 由题意得， 所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内. 13.如图，A、C两岛相距海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市. (1)求客轮的速度； (2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？（由小艇换乘客轮的时间忽略不计） (3)现测得，，已知速度为海里/时的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？ 【答案】(1)20海里/小时 (2)海里/小时 (3)至少需385元 【知识点】基本不等式求和的最小值、正弦定理解三角形、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题意可得，，，，由余弦定理可求得，进而可求客轮的航行速度； （2）由余弦定理可得，可求得，利用，可求小艇的速度的最小值； （3）由已知可得，进而可求得，利用正弦定理可得，小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为，可求费用的最小值. 【详解】（1）根据题意得：，，，. 在中，由余弦定理得， 所以客轮的航行速度（海里/小时） （2）因为，所以， 所以. 在中，由余弦定理得，， 整理得：，解得或（舍去）. 所以客轮从E处到岛A所用的时间小时， 小张若能赶上这班客轮，则满足，解得. 所以，小艇的速度至少为海里/小时. （3）在中，，， 所以. 由正弦定理，解得， 所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为 ， 当且仅当，即时，（元） 所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需385元. 14.如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【答案】(1) (2)选址方案满足，． 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】（1）由题意可求得，利用余弦定理可求的值，进而可求的值； （2）设，则，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可求到距离，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，， 可得， 可得， 所以． （2），设，则， 可得，可得， 到距离， 当，即，取得最大值为， 因此选址方案满足，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $