1.3.三角函数的计算课后培优提升训练 2025—2026学年北师大版数学九年级下册

1.3.三角函数的计算课后培优提升训练北师大版2025一2026学年九年级下册 一、选择题 1.在ABC中，所对的边分别为a,b,c,且∠B和∠C均为锐角，若c·cosB=b.cosC, 则ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 2,在ABC中，若cosA),1anC=,则∠B的度数是（ A.75 B.45° C.60° D.30 3.如图，在矩形OABC中，OA=6,OC=3,将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形 DEFC,若DE经过点B,则∠DCO的度数为() A.30° B.45° C.50° D.60° 4.我们规定：若a是锐角，则tang sina 1-cosa 已知sin2B= 2 21+c0s0 2 ,且2B为锐角， sing 根据这个规定求tanB的结果是() A.1-② B.2-1 C.√2+1 D.√2-1 2 5.若锐角u满足tan(a+20）=1,则锐角a的度数为() A.40 B.30 C.25 D.10° 6.一次函数y= 3 x-1的图象与x轴正方向所夹锐角为a,则a的度数是() A.30° B.45° C.60° D.75° 7.如图，在ABC中，cosB=5,∠A=100,则∠C的度数为() 2 C A.25 B.35 C.45° D.55 8.如图，点A为反比例函数y=k≠0图像上一点，B、C分别在、y轴上，连接4B与 y轴相交于点D,己知sin∠CAD=cos∠DBO=5 ,且△ABC的面积为2，则k的值为() B A.2 B.-2 C.-4 D.4 二、填空题 9.若，B是一个三角形的两个锐角，且满足 5 cosa- 2 +(5-tanB)2=0,则此三角形 的形状是 10.关于x的一元二次方程V3x2-2x+tana=0有两个相等的实数根，则锐角a等于 11.在ABC中，∠C=90°，若AC=V5BC,则∠A=_ l2.如图，在矩形ABCD中，BC=4a,CD=a,E是AD上一点，且BE⊥EC,则 ∠ECB= E A B 三、解答题 13.计算： (1)sin30°+c0s45°； (2)√2sin45°+tan30°-2cos60°. 14.己知ABC中的∠A与∠B满足(1-tanA)2+sinB- 2 =0 (I)试判断ABC的形状. (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 15.)已知∠a,B均为锐角，tanc,tamp行求∠a+∠B的度.数如图1，小 亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD(点A,B,C,D都在格点上)，请 你按照这个思路求∠o+∠β的度数. 2》已斑a,∠B均为锐角anu=5,amB-9.测<a+2B=一。 (3)已知∠a,∠B,∠0均为锐角，ana-写amB=行∠a+∠B=∠0，请在图2中 自行构图求tan0的值. B 图1 图2 16.计算与求值： (1)sin30°-tan45°+cos60°； (2)已知2sina-10)°=√2，求a的值. 17.如图，在ABC中，AB=AC,点P,D分别在边BC,AC上，∠BAP=∠CPD. (I)求证：△ABP∽△PCD: (②)若AB=AC=1,BC=V5,求∠APD; (3)若AB=6,AD=2,求AP的长. I8.如图，在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边 上点F处。 D 图1 图2 图3 (1)如图1，若BC=2BA,求∠AFB的度数； (②)如图2，当AB=6,且AF,FD=12时，求DE的长： 3)如图3，延长EF,与LABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AD时， 2 米 的值 AB 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 二、填空题 9.直角三角形 10.30°/30度 11.30° 12.15 三、解答题 13.【详解】(1)解：5in30+cos45°=1+V2 22 (2)解：√2sin45°+tan30°-2cos60° 5x5,5- 23 -1+5-1 3 3 14.【详解】解：(1)：1-an4+5inB-5-0, 2 am4=ksm8-5h=452B=60 ∠C=180°-∠A-∠B=75°， △ABC是锐角三角形. (2):∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， :原式=2× -1+V3)}2+1=1-0+25+3)+1=-2-25. 2 15.【详解】解：(1)如图所示，取格点E、F,连接BC, ◆D 图1 在Rt△ABE中， tan∠BAE=BE-1 AE-2 在Rt△AFC中，tan∠FAC= CF 1 :∠=∠BAE,∠B=∠CAF 由网格的特点和勾股定理可得AB=V2+22=√5，BC=V2+22=√5， AC=V1+32=10, AB=BC,AB2+BC2=5+5=5+5=10,AC2=(10)2=10, .AB2+BC2=AC2, .∠ABC=90°， .ABC是等腰直角三角形， .∠BAC=∠BAE+∠FAC=∠+∠B=45°： (2):∠a,∠B均为锐角，ana=5,anB=5 ∠a=60°，∠B=30°， .∠a+∠β=90°； (3)如图所示，tan∠HDG=2-L, 63 tan ZHDF三， G ◆H tan∠HDG=tand,tan∠HDF=tanB, ∠HDG=∠a,∠HDF=∠B, .∠a+∠B=∠HDF+∠HDG=∠GDF: 由网格的特点和勾股定理可得DG=√22+62=2V0,FG=V2+32=√10， DF=V12+72=5√2， :DG2+FG2=(2W10+(V10=40+10=50,DF2=(52)=50, DG2+FG2=DF2, .∠FGD=90°， .tan∠FDG= FG1 DG2' :∠a+∠β=∠0， .∠0=∠FDG, tan9=tan∠FDG= 2 16.【详解】(1)解：sim30°-tan45°+cos60°=-1+=0. 2 (2)解：：2sina-10)°=√2， ÷sim(a-10=V2 2 :sim45= 2 .a-10)°=45°， .a=55. 17.【详解】(1)证明：：AB=AC, ∠B=∠C, ∠BAP=∠CPD, :△ABP∽△PCD; (2)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M, AB=AC,BC=3, .CM=8c= 2 6 .cosC=CM 2 5, AC 1 2 ∠C=30°， :△ABPn△PCD, :∠APB=∠CDP, :∠DPB=∠C+∠CDP=LAPB+∠APD, ∠APD=∠C=30°； (3)解：：△ABPn△PCD, .∠APB=∠CDP, :∠DPB=∠C+∠CDP=∠APB+∠APD, :ZAPD=ZC, 又∠CAP=∠PAD, :△APCn△ADP, :AP、AC AD AP' AB=AC=6,AD=2, :4P6 2 AP' AP=25, 18.【解】(1)：四边形ABCD是矩形， .AD=BC,AB=CD,∠BAD=LBCD=90°， :△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， D 图1 .BC=BF,EC=EF,∠BFE=∠BCD=90°，∠FBE=LCBE, .BC=2AB, BF=2AB,即sim∠AFB=) .∠AFB=30°， (2):∠BFE=∠BAF=∠ADC=90°， .∠ABF=∠DFE, .△DFE∽△ABF, DF:AB=DE:AF,即ABDE=DF·AF, :AB=6,且AF.FD=12, 6DE=12,解得DE=2: F E 图2 (3)过点N作NG⊥BF,垂足为G, :BM平分∠ABF, .AN =GN .:∠FGN=∠FAB=90°，∠GFN=∠AFB, M F ⊙ 图3 .△GFN∽△AFB, :GN:AB FN:FB, NF=AD,BC=BF=AD, 2 .GN:AB=1:2, .AB=2GN =2AN, ..N1 'AB 2