专题08 余弦定理7题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题08 余弦定理7题型分类 一、余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 二、余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （一） 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 题型1：已知两边及一角解三角形 1．（2026高一·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算即可得出结论. 【详解】由余弦定理，可得， 解得. 故选：A 2．（2026高一·新疆喀什·月考）在中，已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】由余弦定理，， . 故答案为：. 3．（2026高一·天津·期末）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可. 【详解】由余弦定理得，代入得， 计算得； 故答案为： 4．（2026高一·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 5．（2026高二·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 6．（2026高一·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. （二） 已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 题型2：已知三边解三角形 7．（2026高一·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 故答案为：． 8．（2026高一·北京·开学考试）在中，，则 . 【答案】 【分析】利用余弦定理，可得答案. 【详解】由余弦定理可得. 故答案为：. 9．（2026高一·重庆长寿·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 【答案】 【分析】由余弦定理的变形公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 10．（2026高一·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题可得， 因为，所以. 故选：B 11．（2026高三·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 12．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 13．（2026高一·天津宝坻·月考）在中，若，，，则的最小角为 ． 【答案】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以. 故答案为：. 14．（2026高一·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 故选：A 15．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形边的特点及边角关系，结合余弦定理即可求解. 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是. 故选：C （三） 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 题型3：利用余弦定理判断三角形的形状 16．（2026·陕西汉中·模拟预测）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求. 【详解】在中，因为，，，则，所以， 由余弦定理可知：， 所以角为钝角，则是钝角三角形. 故选：C. 17．（2026高一·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 18．（2026高一·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 19．（2026高一·山东·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求出，继而利用余弦定理求出，即可判断出三角形形状. 【详解】由余弦定理可知，． 因为，所以，得，即， 则， 则，从而△ABC是钝角三角形． 故选：C （四） 余弦定理的应用 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 题型4：利用余弦定理求边 20．（2026高一·安徽六安·期中）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理知，， 解得. 故选：D. 21．（2026高三·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【分析】设，根据和余弦定理得到方程，求出，从而得到，，相加可得答案. 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 22．（2026高三·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长 【答案】 【分析】在中，求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由，且知，又，则， 所以中，由为斜边，则， 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： 23．（2026高三·黑龙江吉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，得到，分别在和，利用余弦定理，求得和，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设，则， 在 中，得， 在中，得， 因为，所以， 即，解得或（舍），所以. 故选：C.    24．（2026高一·四川雅安·月考）已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 【答案】A 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由于，故， 因此是三角形中最大的边，因此, 由可得， 化简可得，由于，故， 故选：A 25．（2026高二·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 题型5：利用余弦定理求角 26．（2026高一·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 27．（2026高一·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 28．（2026高一·湖北荆州·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 29．（2026高一·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 30．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 31．（2026高一·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 题型6：求边或角的取值范围 32．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理及基本不等式计算可得. 【详解】由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：A. 33．（2026高二·湖北·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：C. 34．（2026高一·江苏南京·月考）在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先运用余弦定理求出角C，再运用辅助角公式求解. 【详解】由余弦定理知： ，由条件： ， ，即 ，   ，   ，   ， 时取最大值1； 故选：B． 35．（2026高三·全国·中职高考）的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件变形结合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由得， 根据余弦定理可得， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 36．（2026高一·广东江门·月考）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答. 【详解】因是钝角三角形，，且是最大边， 则由余弦定理得：， 于是得，，解得， 又有，即， 所以最大边的取值范围是：. 故选：D 37．（2026高一·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据两角互补余弦值之和等于，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 题型7：余弦定理与平面图形结合 38．（2026高一·湖南湘潭·期中）如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出再求出，结合两角和的余弦公式即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角且， 所以． 故选：A. 39．（2026高一·上海·期末）在中，，，点满足，，则 【答案】2 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 40．（2026高一·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】（1）在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 41．（2026高一·河南洛阳·月考）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全等以及余弦定理得，结合平方关系以及商数关系即可得解. 【详解】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点， 所以，又， 在中有余弦定理得：， 在中，利用余弦定理得：， 在中利用同角间的三角函数关系可知：． 故选：D. 42．（2026高一·安徽·月考）如图，是边长为2的正三角形，直线围成一个正三角形，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得出，然后结合余弦定理、同角三角函数关系分别求出，进一步结合两角差的余弦公式可得的余弦值，从而结合数量积的定义即可运算求解. 【详解】如图所示： 延长射线交于点，点在射线上，， 设，由题意，所以， 由题意可设，在三角形中，，， 由余弦定理有，解得， 在三角形中，由余弦定理有，所以， 从而， 由上述分析结合题意可知， 从而由数量积的定义可知. 故选：A. 43．（2026·天津红桥·模拟预测）如图，四边形ABCD中，，，，，，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先求得以及，然后结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】设， 由于，所以， 依题意四边形ABCD中，，，，， 设，则， 所以， 所以， 由得， 所以， 在三角形中，由余弦定理得， 依题意，设，则，其中， 所以， 当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：A 1．（2026高一·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2026高一·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求角，再利用余弦定理可得答案. 【详解】根据题意可得， 则，． 故选：B 3．（2026高一·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算即可求解. 【详解】因为，所以, 所以，所以. 故选：B. 4．（2026高一·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式，得到，不妨设，验证能构成三角形，然后结合余弦定理，求得，即可求解. 【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为， 由三角形的面积公式，可得， 不妨设，其中，则的最大角为角， 由余弦定理，可得， 又因为， 所以能构成三角形， 因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 5．（2026高一·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 6．（2026高三·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 7．（2026高三·山西大同·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 8．（2026高三·河南周口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得，所以， 因为，则， 可得，由正弦定理可得， 由余弦定理可得． 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以，且， 则，可得， 所以的最大值是. 故选：A. 9．（2026高三·福建厦门·专题练习）的内角所对的边分别是，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将整理变形为，再结合余弦定理及已知的，确定，最后结合三角形的内角和即可得解. 【详解】因为，所以有， 即，所以， 所以， 所以或（此时，故舍去）， 所以， 故选：C. 10．（2026高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 11．（2026高一·黑龙江大庆·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，通过对进行变形，从而求出边的长度. 【详解】已知余弦定理，因为， 所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：， 所以. 故选：B. 12．（2026高一·河北唐山·期中）中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，再根据计算得到结果. 【详解】根据题意，， 所以，则. 故选：B. 13．（2026高一·重庆·期末）设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 14．（2026高一·山东潍坊·期末）在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由定义法用边和角表示已知条件中的向量数量积，利用余弦定理化简，再利用不等式的性质求的最小值，可得角的最大值. 【详解】中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 由，得， 由余弦定理得，即 则 ，当时，取到最小值， 所以角的最大值为. 故选：C 15．（2026高一·山西吕梁·期末）已知中，为的内心，，则周长的最大值为（   ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由题意得，结合余弦定理、完全平方公式及基本不等式即可求解. 【详解】因为O是的内心 所以， 由于， 所以，故. 中，由余弦定理，得， 所以（当且仅当时，取“=”） 即，即周长的最大值为6. 故选：. 16．（2026高一·湖南·期中）在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得 ， 故答案为：. 17．（2026高二·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 . 【答案】2 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，由余弦定理, 即，则， 解得：或(舍去负值)， 所以， 故答案为： 18．（2026高二·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用余弦定理可得，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或. 经检验，，均符合题意. 故答案为：或. 19．（2026高三·山东枣庄·月考）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】由， 故， 则，故. 故答案为：3. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题08 余弦定理7题型分类 一、余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 二、余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 三、解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （一） 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 题型1：已知两边及一角解三角形 1．（2026高一·浙江杭州·期中）在中，，则a等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·新疆喀什·月考）在中，已知，则的值为 . 3．（2026高一·天津·期末）在中，若，则 ． 4．（2026高一·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（2026高二·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 6．（2026高一·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则 ． （二） 已知三边解三角形 已知三角形的三边解三角形的方法：利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角. 题型2：已知三边解三角形 7．（2026高一·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，则 ． 8．（2026高一·北京·开学考试）在中，，则 . 9．（2026高一·重庆长寿·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 10．（2026高一·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 11．（2026高三·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·天津宝坻·月考）在中，若，，，则的最小角为 ． 14．（2026高一·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． （三） 利用余弦定理判断三角形的形状 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 题型3：利用余弦定理判断三角形的形状 16．（2026·陕西汉中·模拟预测）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 17．（2026高一·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 18．（2026高一·山西·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 19．（2026高一·山东·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 （四） 余弦定理的应用 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形. 题型4：利用余弦定理求边 20．（2026高一·安徽六安·期中）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 21．（2026高三·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 22．（2026高三·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长 23．（2026高三·黑龙江吉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，，，为边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（2026高一·四川雅安·月考）已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 25．（2026高二·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型5：利用余弦定理求角 26．（2026高一·黑龙江绥化·期中）已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·湖北荆州·期中）中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 29．（2026高一·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 30．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 31．（2026高一·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 题型6：求边或角的取值范围 32．（2026高一·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 33．（2026高二·湖北·月考）已知满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（2026高一·江苏南京·月考）在 中，角、、所对的边分别为、、，设为的面积，且，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 35．（2026高三·全国·中职高考）的内角所对的边满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．（2026高一·广东江门·月考）是钝角三角形，内角所对的边，则最大边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（2026高一·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 题型7：余弦定理与平面图形结合 38．（2026高一·湖南湘潭·期中）如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 39．（2026高一·上海·期末）在中，，，点满足，，则 40．（2026高一·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 41．（2026高一·河南洛阳·月考）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 42．（2026高一·安徽·月考）如图，是边长为2的正三角形，直线围成一个正三角形，且，则（   ） A． B． C． D． 43．（2026·天津红桥·模拟预测）如图，四边形ABCD中，，，，，，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 1．（2026高一·贵州铜仁·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·浙江丽水·期中）在中，已知分别为三个内角的对边，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 5．（2026高一·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．（2026高三·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·山西大同·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·河南周口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．4 9．（2026高三·福建厦门·专题练习）的内角所对的边分别是，且，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 11．（2026高一·黑龙江大庆·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 12．（2026高一·河北唐山·期中）中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·重庆·期末）设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 14．（2026高一·山东潍坊·期末）在中，已知，则内角的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·山西吕梁·期末）已知中，为的内心，，则周长的最大值为（   ） A．4 B．6 C．16 D．18 16．（2026高一·湖南·期中）在中，，则 . 17．（2026高二·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 . 18．（2026高二·上海·开学考试）在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 19．（2026高三·山东枣庄·月考）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $