精品解析：山东济南市钢城区2025-2026学年七年级（五四学制）上学期期末数学试题

2025－2026学年度上学期期末诊断性评价 初二数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数分类及无理数定义，熟记实数分类及常见无理数是解决问题的关键． 无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，从而判断选项A、C、D均为有理数，选项B为无理数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是负的平方根，是无理数，故也是无理数，符合题意； C、是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 2. 下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列描述中，能确定位置的是（ ） A. 钢城区文化路 B. 电影院1号厅 C. 南偏西 D. 北纬， 东经 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】解：A、钢城区文化路，不能确定具体位置，故本选项不合题意； B、电影院1号厅，不能确定具体位置，故本选项不合题意； C、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意； D、北纬， 东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根，解题的关键是掌握算术平方根的概念和立方根的性质． 根据算术平方根的概念和立方根的性质逐一判断即可得． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、无意义，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 如图， ， 则 的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 根据三角形全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知，在中，，，的对边分别是a，b，c，满足，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理．由非负数的性质，求得a、b、c的值，再判断三角形的形状，进一步求得该三角形的面积． 【详解】解：， ∴，，， 解得：，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积是． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】解：A、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误； B、由函数y=kx的图象，得k＜0，由y=-k的图象，得k＜0，故B正确； C、由函数y=kx的图象，得k＞0，由y=-k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误； D、由函数y=kx的图象的图象经过原点，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题． 9. 如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 根据作图得垂直平分，得出，，根据的周长为16，推出，再根据的周长求解即可． 【详解】解：根据作图可得：垂直平分， 则，，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①乙无人机上升速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，甲无人机距离地面高度是；④当乙无人机距离地面高度时，．⑤当两架无人机距离地面高度差为时，或．以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：乙无人机的速度为：，故①错误； 由函数图象可知，甲无人机上升的速度为， 由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离地面的高度都为，则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误； 时，甲无人机距离地面高度是；故③正确； 当乙无人机距离地面高度时，，故④正确； 当两架无人机距离地面高度差为时， 或， 此时或，故⑤错误； 故选：C． 第Ⅱ卷 （非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 一个正方形面积为3，则它的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据开平方的意义，可得答案． 【详解】解：一个正方形的面积是3，则它的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根． 12. 已知，是直线上的两个点，则的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 根据一次函数中，可知函数值中随的增大而减小，比较，即可得到． 【详解】解：一次函数中， 的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 14. 如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：5 15. 如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 三、解答题 （本题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： 【答案】-2 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义以及立方根的定义解题的关键是掌握相关的运算法则． 原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义以及立方根的定义计算即可求出值． 【详解】解：原式 17. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， 的平方根是． 18. 已知： 如图，，，． 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 先由平行线的性质得，从而利用判定，再根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 已知在平面直角坐标系中的点． （1）若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； （2）若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； （3）点， 轴， 求点 P坐标． 【答案】（1） （2）二 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征： （1）根据点在x轴的坐标的特征可得，从而得到m的值，即可求解； （2）根据题意可得关于m的方程，即可求解； （3）根据轴，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点 P坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵点 的纵坐标比横坐标大8， ∴， 解得：， ∴点 P坐标为， ∴点 P在第二象限； 故答案为：二； 【小问3详解】 解：∵点，，轴， ， ， 点坐标为． 20. 如图，在 中， 的平分线交于点 D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求 的大小； （2）若， 求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定及性质、角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及余角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定及性质得出，再根据等边对等角得出，然后根据角平分线得出，最后根据余角的概念即可得出答案； （2）根据角平分线的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，然后根据等量代换及线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 解：，且为的中点， 垂直平分， ， ， 是的平分线， ， ， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：是的平分线，，， ， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，求四边形的面积； （3）若点E在x轴上，且满足是以为腰的等腰三角形，则点E所有可能坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查坐标系中描点，勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称等，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）在坐标系中描出、、，顺次连接即可； （2）用割补法即可求出四边形的面积； （3）因为，分两种情况：和，分别求出坐标即可． 【小问1详解】 解：在坐标系中描出、、，顺次连接即可，如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知： 四边形的面积为：． 【小问3详解】 解：∵， 若， ∵点E在x轴上，， ∴点E或， 若， 此时点E与点关于直线对称， ∴点E． 故答案为：或或． 22. 理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）如图1，求的长； （2）如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 【答案】（1）的长为 （2）物体C升高 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，． 设，则， 中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：，， 故， 由滑块B向左滑动，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：物体C升高． 23. 为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． （1）求， 与之间的函数表达式； （2）当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】（1）， （2）方案一更划算，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：当时，， ， 方案一更划算． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、点B，直线与轴交于点C，与轴交于点，直线与交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）点G是轴上的一个动点，连接，，求的最小值； （3）在直线上是否存在一点 P，使得的面积等于6，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）代入点到直线，求出的值，得到，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，即为所求最小值，再利用勾股定理即可求解； （3）设点的坐标为，分2种情况：①当点在点左侧时；②当点在点右侧时，根据三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：代入点到直线，得， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时， 即为所求最小值， 过点作轴于点 ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ①当点在点左侧时， ∵ ∴ 解得， ∴点的坐标为； ②当点在点右侧时， ∵ ∴ 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、轴对称的最短路径问题、勾股定理、三角形的面积公式，运用数形结合思想是解题的关键． 25. 已知：在中，点D在直线上，连接，在的右侧作连接． （1）发现问题：如图1， ①当点D在边上时，线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． ②线段，，之间的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2，点D在B右侧．上述①②结论是否仍然成立，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）①成立②不成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定； （1）①由，，可证明，即可得出线段和线段的数量关系和位置关系； ②由可得，即可得出线段，，之间的数量关系； （2）①成立②不成立，正确应为，证明可得，即可得出，； （3）过点作交于，设与相交于点，则，可证明可得出，，再由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 解：（1）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； ②∵，点D在边上， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①成立②不成立，正确应为， 理由如下： ， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交于，设与相交于点，则， ∴， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期末诊断性评价 初二数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷 （非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列描述中，能确定位置的是（ ） A. 钢城区文化路 B. 电影院1号厅 C. 南偏西 D. 北纬， 东经 4. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ， 则 的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在中，，，的对边分别是a，b，c，满足，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①乙无人机上升速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，甲无人机距离地面高度是；④当乙无人机距离地面高度时，．⑤当两架无人机距离地面高度差为时，或．以上结论正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷 （非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 一个正方形面积为3，则它的边长是_____． 12. 已知，是直线上的两个点，则的大小关系是_______． 13. 如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 14. 如图，已知的面积为15，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，长方形纸片， 将这张长方形纸片翻折，点D落到边点H处， 点C落到点G处，折痕交于点E，F，若，则的长为_______． 三、解答题 （本题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： 17. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 18. 已知： 如图，，，． 求证： 19. 已知在平面直角坐标系中的点． （1）若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； （2）若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； （3）点， 轴， 求点 P坐标． 20. 如图，在 中， 的平分线交于点 D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求 的大小； （2）若， 求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，求四边形的面积； （3）若点E在x轴上，且满足是以为腰的等腰三角形，则点E所有可能坐标为 ． 22. 理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）如图1，求的长； （2）如图2，若滑块B向左滑动，求物体C升高的距离． 23. 为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． （1）求， 与之间的函数表达式； （2）当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 24. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、点B，直线与轴交于点C，与轴交于点，直线与交于点． （1）求值和直线的表达式； （2）点G是轴上的一个动点，连接，，求的最小值； （3）在直线上是否存在一点 P，使得面积等于6，若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 已知：在中，点D在直线上，连接，在的右侧作连接． （1）发现问题：如图1， ①当点D在边上时，线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． ②线段，，之间的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2，点D在B右侧．上述①②结论是否仍然成立，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $