专题03 勾股定理的逆定理及其应用（四大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版新教材）

专题03 勾股定理的逆定理及其应用 （四大题型） 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】..........................................................................1 【题型2 在网格中判断直角三角形】.................................................................................2 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】.............................................................................4 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】.............................................................................5 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A．B．C．D． 5．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【题型2 在网格中判断直角三角形】 6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 8．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 9．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点，则的度数为 ． 11．如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，连接．    （1）的大小为 ． （2） ． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，分别在格点（网格线的交点）上，连接，．试说明：是直角三角形． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 14．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 16．如图，的对角线与相交于点，，，，则为（    ） A． B． C．3 D． 17．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 18．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    20．如图，在四边形 中，，，，，，则 ． 21．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 23．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 25．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      26．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 27．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 28．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 1．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 2．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ． 3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，则以下结论中正确的有 （填序号） ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④ 4．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 5．数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： 如图，取边的中点P，剪下，将沿着射线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和．若，，则以为三边构成的新三角形面积，则a的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的逆定理及其应用 （四大题型） 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】..........................................................................1 【题型2 在网格中判断直角三角形】.................................................................................5 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】.............................................................................11 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】.............................................................................17 【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A选项：，以、、为边长的线段能构成直角三角形，故A选项符合题意； B选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D选项：，，，以、、为边长的线段不能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．已知的三个内角所对的三条边长分别为，则下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断A和C，根据三角形内角和定理可判断B和D． 【详解】解：A、， ， 能判定是直角三角形； B、∵， ∴ ， ， ， 能判定是直角三角形； C、设， ∵， ∴， 能判定是直角三角形； D、 ， 不能判定是直角三角形． 故选：D． 3．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 4．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 5．满足下列条件时，不是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算或推导判断三角形是否为直角三角形． 分别用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对每个选项判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、，，，是直角三角形，不符合题意； B、，设，，，无角，不是直角三角形，符合题意； C、，设，，，，是直角三角形，不符合题意； D、，即，，是直角三角形，不符合题意； 综上， 只有选项B不是直角三角形． 故选：B． 【题型2 在网格中判断直角三角形】 6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接，根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 8．已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 9．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】连接，，先利用证明，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得，最后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 在和中， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11．如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，连接．    （1）的大小为 ． （2） ． 【答案】 /90度 /45度 【分析】（1）根据勾股定理可以得到的长再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可得到的度数； （2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质，可以得到和的关系，从而可以得到的值． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为： （2）根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，分别在格点（网格线的交点）上，连接，．试说明：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是解题的关键；利用勾股定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】解：由勾股定理，得． 因为， 所以， 所以是直角三角形． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据勾股定理求出各边的长度即可得到周长，根据三角形面积公式即可求出四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案； （3）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， ， ∴四边形的周长, 四边形的面积； （2）∵， ∴， ∴是直角三角形，， （3）如图，即为所求， ∵， ∴， ∴ 【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】 14．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 15．如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 16．如图，的对角线与相交于点，，，，则为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，得，， 根据题意，得，得到，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，， 根据题意，得， ∴， 根据勾股定理，得． 故选：B． 17．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 18．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 19．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 20．如图，在四边形 中，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故四边形的面积为． 故答案为：． 21．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】 22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 23．如图，劳动课时，小星将的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路隔开，经测量，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若空地种植花卉的费用为50元/，则需花费多少元？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)需花费2700元 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键． （1）由题意可得，即可证得是直角三角形，进而证得； （2）由勾股定理证得，再由“种植花卉的费用为50元/”即可解出． 【详解】（1）解：． 理由：在中， ，，， ， 即， 是直角三角形， ． （2）由（1）得， 为直角三角形， ，， ， ， （元） 答：需花费2700元． 24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中，由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AB的长． 【答案】(1)为从村庄A到河边最近的路，见解析 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是从村庄A到河边最近的路，理由如下：     ∵千米，千米，千米， ∴， ∴， ∴，即， ∴为从村庄A到河边最近的路； （2）解：设千米， ∵， ∴千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴的长为千米． 25．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到，证明结论． 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 26．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出的长，则可证明得到，根据“远航”号的航向得到的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∴， ∵海里， ∴， ∴， ∴， ∵“远航”号沿北偏东方向航行， ∴， ∴， ∴“海天”号沿北偏西方向航行， 答：“海天”号沿北偏西方向航行． 27．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 28．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 1．在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件能判断是直角三角形的是 ． ①；②；③；④，， 【答案】①②③ 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【详解】解：①，结合内角和得， 由，解得， ∴为直角三角形； ②，则最大角， ∴为直角三角形； ③，展开得，即， ∴为直角三角形； ④，，，∵， ∴， ∴不能构成三角形； 综上，能判断是直角三角形的是①②③． 故答案为：①②③． 2．如图，点是内一点，且，若是等腰三角形，，，，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，则以下结论中正确的有 （填序号） ①是等边三角形；②是直角三角形；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据是等边三角形，得出，根据，得出，，求出，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得，判断②；根据是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若 则 如图，构建的直角三角形，作，证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴， 若 则 如图，构建的直角三角形，作    ， 与矛盾，所以④错误． 故答案为：①②③． 4．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 5．数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： 如图，取边的中点P，剪下，将沿着射线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和．若，，则以为三边构成的新三角形面积，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移变换综合题．熟练掌握平移性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，是解题是关键． 分别取的中点M、Q、N，连接，由，根据平移变换的性质，就有、和都是等腰三角形，就有．，由勾股定理就可以求出，从而得出新三角形三边的值，根据勾股定理的逆定理得新三角形是直角三角形，根据三角形面积公式，从而得出结论． 【详解】如图，分别取的中点M、Q、N，连接， ∵中，， 根据平移变换的性质，、和都是等腰三角形， ∴． ， 在中，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴新三角形为直角三角形，长为斜边长． ∵，，新三角形面积为， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $