专题02 勾股定理的应用（十三大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 勾股定理的应用（十三大题型） 【题型1 求梯子滑落高度】...................................................................................................1 【题型2 求旗杆高度】..........................................................................................................5 【题型3 求小鸟飞行距离】...................................................................................................11 【题型4 求大树折断前的高度】...........................................................................................15 【题型5 解决水杯中筷子问题】............................................................................................18 【题型6 解决航海问题】.......................................................................................................20 【题型7 求河宽】..................................................................................................................25 【题型8 求台阶上地毯长度】................................................................................................28 【题型9 判断汽车是否超速】................................................................................................29 【题型10 判断是否受台风影响】.........................................................................................31 【题型11 选址使到两地距离相等】......................................................................................36 【题型12 求最短路径】........................................................................................................37 【题型13 折叠问题】...........................................................................................................43 【题型1 求梯子滑落高度】 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 3．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 4．一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理列式运算即可； （2）求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， 在中，， ∴这个梯子的顶端距地面； （2）根据题意，得，， ∴， 在中，， 所以， 即梯子的底端在水平方向滑动了． 5．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 【题型2 求旗杆高度】 6．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 米， 焊接的钢索的长为米． 7．综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）， 另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理即可解答； （2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，根据勾股定理列方程即可解答； （3）设米，米，根据题意列出方程组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为米， 故答案为：； （2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米， 依题意可得：， 解得：． 答：旗杆b的高度为12米． （3）解：设米，米， 则可得： ， 解得：． 答：旗杆c的高度为12米． 8．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是． 10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为8米； (2)小明需后退2米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出米，，由勾股定理得米，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为8米； （2）解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴米，， 米， 米，米， 在中，， 由勾股定理得：米， 米 答：小明需后退2米． 【题型3 求小鸟飞行距离】 11．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 12．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 13．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 14．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 15．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【题型4 求大树折断前的高度】 16．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解： ， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 19．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长， （3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ∵， ∴， 又∵米， ∴， ∴米； （2）解：∵D点距地面米， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图 20．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】尺 【分析】设折断处离地的高度为尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设折断处离地的高度为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得， 答：折断处离地的高度为尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【题型5 解决水杯中筷子问题】 21．池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 【答案】这株荷花的茎长为 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：由题意可得：设，则， ∵， ∴， 则， 解得：， 答：这株荷花的茎长为． 22．如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 23．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可； （2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵O是的中点 ∴ ∵ ∴； （2）设，则． ∵， 尺寸 ∴ 解得： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键． 【题型6 解决航海问题】 24．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 25．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 26．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 【答案】(1)出发时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据勾股定理即可求解． （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，出发时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴出发时，遥控信号不会产生相互干扰． （2）解：设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， ∴出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰． 27．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 28．如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【题型7 求河宽】 29．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 30．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 31．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，. 根据勾股定理得：． 答：A,B两点间的距离为． 32．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 【题型8 求台阶上地毯长度】 33．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故答案为：7． 34．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米 因此，购买这种地毯至少需要的费用为元， 故答案为：． 35．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 【题型9 判断汽车是否超速】 36．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 37．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 38．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为 ， ∴此车超过的限制速度． 【题型10 判断是否受台风影响】 40．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 41．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．若A城到的距离为，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】遭受台风影响的时间是小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，设上点，，使千米，作，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】解：设上点，，使千米， 是等腰三角形， 作， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，160千米，由勾股定理得，（千米）， 则千米， 遭受台风影响的时间是：（小时）． 42．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 43．如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 【题型11 选址使到两地距离相等】 44．如下图，在笔直的公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为．现要在，两点之间建一个服务区，使得，两个村庄到服务区的距离相等，求的长． 【答案】 【分析】设的长为未知数，利用间的距离表示出的长；再分别在和中，用勾股定理表示和；结合的条件列方程，求解未知数得到的长． 【详解】解：设，则． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 由题意，得， ， ，解得， 的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握通过设未知数，利用勾股定理表示线段长度的平方，结合等量关系列方程求解是解题的关键． 45．如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 【题型12 求最短路径】 46．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键．将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， 半周长为， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 47．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 48．如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键． 【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短， ∵ ，M为的中点， ∴， ∴ ． 故选：B． 49．如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈灯的长度，最后乘2即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意把圆柱体的侧面展开， 由条件可知米，米， （米， 则这串装饰彩灯至少长为米． 故选：A． 50．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 51．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 52．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 【题型13 折叠问题】 56．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，解一元一次方程，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， 假设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴， 故选：C． 57．如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 【详解】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 58．如图所示，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在上的点处．设，则可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，据此求出的长，再在利用勾股定理可建立方程，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 59．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 1．如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 2．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为米， 长方形的宽为3米， 一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， 米， 故答案为：． 3．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 4．如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 5．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理的应用（十三大题型） 【题型1 求梯子滑落高度】...................................................................................................1 【题型2 求旗杆高度】..........................................................................................................3 【题型3 求小鸟飞行距离】...................................................................................................7 【题型4 求大树折断前的高度】...........................................................................................9 【题型5 解决水杯中筷子问题】............................................................................................11 【题型6 解决航海问题】.......................................................................................................12 【题型7 求河宽】.................................................................................................................14 【题型8 求台阶上地毯长度】................................................................................................15 【题型9 判断汽车是否超速】................................................................................................16 【题型10 判断是否受台风影响】.........................................................................................17 【题型11 选址使到两地距离相等】......................................................................................18 【题型12 求最短路径】........................................................................................................19 【题型13 折叠问题】...........................................................................................................21 【题型1 求梯子滑落高度】 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 3．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 4．一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 5．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【题型2 求旗杆高度】 6．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 7．综合与实践 【实践任务】测量旗杆高度． 【工具素材】卷尺，升旗的绳子． 【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度． 【实施方案1】 步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为； 步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为． （1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______． 【实施方案2】 步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长； 步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距． （2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度． 【实施方案3】 步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C）， 另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为； 步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态） （3） 结合方案3中的数据，求旗杆c的高度． 8．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【题型3 求小鸟飞行距离】 11．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 12．如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 13．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 14．如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 15．如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【题型4 求大树折断前的高度】 16．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 17．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 19．如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 20．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【题型5 解决水杯中筷子问题】 21．池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 22．如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 23．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长， (2)求门槛的长． 【题型6 解决航海问题】 24．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 25．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 26．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会产生相互干扰，，． (1)出发时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？ 27．如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 28．如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【题型7 求河宽】 29．如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 30．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 31．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离？ 32．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【题型8 求台阶上地毯长度】 33．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为 米． 34．如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要 元． 35．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【题型9 判断汽车是否超速】 36．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 37．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 38．超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【题型10 判断是否受台风影响】 40．台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 41．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．若A城到的距离为，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 42．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 43．如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【题型11 选址使到两地距离相等】 44．如下图，在笔直的公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为．现要在，两点之间建一个服务区，使得，两个村庄到服务区的距离相等，求的长． 45．如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【题型12 求最短路径】 46．如图，圆柱的底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿侧面爬行到点，则爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 47．如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 48．如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 49．如图，在底面周长约为的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底点A处沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶点C，且B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱高约，则这串装饰彩灯至少长为（   ） A． B． C． D． 50．如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（   ） A． B． C． D． 51．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 52．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是 ． 【题型13 折叠问题】 56．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 57．如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 58．如图所示，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在上的点处．设，则可得方程（    ） A． B． C． D． 59．如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为 ． 2．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 米． 3．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 4．如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 5．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $