专题01 勾股定理（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题01 勾股定理（七大题型） 【题型1 用勾股定理解三角形】...........................................................................................1 【题型2 勾股数问题】..........................................................................................................5 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................8 【题型4 勾股定理的证明方法】...........................................................................................11 【题型5 以弦图为背景的计算题】.........................................................................................16 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】............................................................................21 【题型7 勾股定理与无理数】..............................................................................................26 【题型1 用勾股定理解三角形】 1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长． 【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4， ∴ 斜边长c满足 ， ∴． 故选：B． 2．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，运用几何计算思想，解题关键是准确应用勾股定理，易错点是忽略对称性质导致边长计算失误；解题思路是通过勾股定理求出拉后伸橡皮筋的边长，进而计算拉长的长度． 【详解】解：已知橡皮筋原长，是的中点，所以； 又因为是垂直向上拉伸得到的点，所以，且； 在中，由勾股定理，所以； 因为（对称性质），所以拉伸后橡皮筋的长度为，原长度为因，此拉长的长度为； 故选：B． 3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了勾股定理、长方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ； 故选C． 4．如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案． 本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出和的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，中，，平分，，，则的长是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形面积公式，角平分线性质等．根据题意作，即可得到，再利用勾股定理求得的长，后利用等面积法即可求出本题答案． 【详解】解：作， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， 故选：B． 6．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵箭经过的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 7．如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到高的长度，进而可以算出点的坐标． 本题考查了平面直角坐标系，等边三角形的性质，掌握概念是解题关键． 【详解】解：过点C作于点D， ∵等边三角形的边长为4， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 【题型2 勾股数（树）问题】 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是利用定义进行判断；勾股数需满足三个正整数且符合勾股定理，逐一验证各选项即可. 【详解】解：勾股数要求三个正整数且满足， 选项A：不是正整数，不符合； 选项B：中和不是整数，不符合； 选项C：均为正整数，且，，∴，符合； 选项D：均为正整数，但，，，不符合. ∴故选：C. 9．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A， 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 11．如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（  ）    A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件． 根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，故本选项不符合题意； B．，不是勾股数，故本选项不符合题意； C．是勾股数，本选项符合题意； D．，不是勾股数，本选项不符合题意． 故选：C． 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】 12．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 13．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据图形结合勾股定理可知：大半圆的面积等于两个小半圆的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为、、，则， 由图可知，，，， ， 故选：C． 14．如图，在直角三角形中，，分别以，为边向外作等边三角形，将它们的面积分别记为与．若 ，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的基本性质，勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理求出直角边． 先通过等边三角形的基本性质得到等边三角形的面积，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：是边长为的等边三角形，过点A作，垂足为D， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴等边三角形的面积边长的平方， 故此题中，， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 故选：B． 15．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算的面积，再利用割补法即可求出“希波克拉底月牙”的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 以为直径的半圆面积为； 的面积为， ∴“希波克拉底月牙”的面积是． 故选：C． 16．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，由得到，是直角三角形，根据勾股定理得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【题型4 勾股定理的证明方法】 17．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②23 【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证； （2）①将大正方形的面积代入得，将小正方形的面积代入得；②利用完全平方公式计算即可； 本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，一个直角三角形面积为，小正方形的面积为， ∴， 整理得， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①∵大正方形的面积为13， ∴， 又∵， ∴， ∵小正方形的面积为3， ∴， 即， 将代入得， 解得， ∴． ②由①知，， ∴． 18．请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【详解】（1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 19．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 20．如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理． 先证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得，， 直角梯形的面积为 则， 化简可得，，即可求证． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 22．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再利用勾股定理求得，从而可求得“数学风车”的周长． 【详解】解：如图， ∵小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的，， ∴，，“数学风车”的周长为， ∵，， ∴， ∴“数学风车”的周长为， 故选：D． 23．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且， 由题意可知： ，，， 因为，即 ， ， 所以， 的值是8， 故选：B． 25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【详解】解：， ， 设， 则， ， ， 根据题意可知： ，， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故选：B． 26．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①； ②； ③； ④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定①；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断④． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由，得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 27．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键； 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径， 故选：B． 28．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 29．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解： ，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 30．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知： ，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 31．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 32．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知，，则矩形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理列式求出的值，结合矩形面积公式即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据两个式子加减得到及整体代换的思想． 33．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵ ，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【题型7 勾股定理与无理数】 34．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 35．如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ∴点所表示的数为：． 故答案为：． 36．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得，求出，由即可求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上的点、对应的实数分别是、，，长为个单位长度， ∴，，， ∴在中，， ∵以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点， ∴， ∵数轴上的点对应的实数是， ∴点表示的实数是． 故选：D． 37．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．利用勾股定理求出，根据点A表示的数是1，求出点C表示的数即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴点表示的数为， 故选：C． 38．阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2025年9月22日                                              天气：晴 无理数与线段长 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，……的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为 ，的长为 ；点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点，以及表示的点． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，数轴上的点与实数一一对应，也考查了勾股定理，理解题意正确作出对应图形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算出正方形的对角线长为，从而得到、的长，然后利用数轴表示数的方法得到点和点表示的数； （2）构建直角三角形，点表示的数为，使，则利用勾股定理得到，然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于，交数轴的正半轴于N即可． 【详解】（1）解：以边长为的正方形的对角线为半径画圆，半径为， 以表示的数为的点为圆心时，圆的半径也为， ，， 位于原点右侧，位于原点左侧， 表示的数为，表示的数为， 故答案为：，，，； （2）构建直角三角形，点表示的数为，使，   ， 然后以点为圆心，的长为半径作圆，交数轴的负半轴于点，交数轴的正半轴于点N，则点表示的数为，点N表示的数为． 1．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理及折叠的性质．根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再在中，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是折叠而成， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得， 则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 2．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理，可得，从而，进而求出，再根据阴影部分的面积与的关系，即可求解． 【详解】解：在中，，即，， ， ，解得， ，则图中阴影部分的面积为． 故选：D． 3．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 4．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　） A．48 B．72 C．90 D．96 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质与判定，将阴影面积转化为是解题的关键． 先由勾股定理推出，再证，得出，则，得出，然后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 5．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据小正方形的面积可判断②正确 根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断③正确，即可． 【详解】解：设大正方形的边长为c， 根据勾股定理得： ∵大正方形面积为49， ∴，故①正确； 根据题意得：小正方形的边长为， ∵小正方形面积为4， ∴小正方形的边长为， ∴，故②正确； ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成， ∴，故③正确； 故选：D 6．如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解题关键．先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点P表示的数即可． 【详解】解：正方形的边长为1， 正方形的对角线长为， 以数轴上表示数1的点为圆心， 点P表示的实数为， 故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理（七大题型） 【题型1 用勾股定理解三角形】...........................................................................................1 【题型2 勾股数问题】..........................................................................................................3 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】.................................................................4 【题型4 勾股定理的证明方法】...........................................................................................5 【题型5 以弦图为背景的计算题】........................................................................................7 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】............................................................................9 【题型7 勾股定理与无理数】..............................................................................................11 【题型1 用勾股定理解三角形】 1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 2．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 5．如图，中，，平分，，，则的长是（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 6．如图是一个弩箭模型，箭经过的中点．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，等边三角形的边长为4，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【题型2 勾股数（树）问题】 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B． C． D． 9．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 10．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 11．如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答正确的是（  ）    A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】 12．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 13．如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为，和，则为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在直角三角形中，，分别以，为边向外作等边三角形，将它们的面积分别记为与．若 ，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 15．如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（    ） A．18 B．20 C．24 D．48 16．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（  ） A．5 B． C． D． 【题型4 勾股定理的证明方法】 17．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 18．请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 19．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 20．如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 21．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 22．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则“数学风车”的周长为（    ） A．40 B．42 C．48 D．56 23．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、．若，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．6 25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 26．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①； ②； ③； ④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 27．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　） A． B． C． D． 28．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 30．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 31．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 32．数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小明在学了数学实验《拼图中的数学奥秘》一课后，用2个边长为m的正方形和8个边长分别为m、n的矩形拼出如图所示的图形，已知，，则矩形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D． 33．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【题型7 勾股定理与无理数】 34．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 35．如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ． 36．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 37．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 38．阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2025年9月22日                                              天气：晴 无理数与线段长 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，……的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为 ，的长为 ；点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点，以及表示的点． 1．如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（   ） A． B． C．5 D． 2．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 3．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（　　） A．48 B．72 C．90 D．96 5．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴交于点R，则点P表示的实数为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $