精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

昆明市第三中学高2027届高二年级上学期期末考试 数学试题卷 命题人：俞纲 杜罗云 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以复数对应点坐标为，该点在第四象限. 故选：D 2. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公差，进而求出． 【详解】是等差数列，设首项是，公差是， ，， ，， ， ，故A正确． 故选：A． 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】解：向量，，， 所以，解得 故选：D 5. 若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解. 【详解】由直线的方向向量为知，直线的斜率， 设直线方程为， 则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 故选：B 6. 的内角的对边分别为，若 ，， 的面积为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得,又，所以， 又，故， 故选：C 7. 将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得． 故选：B 8. 刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款，其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前项和公式列出方程求出结果． 【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以， 解得. 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极大值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，令得到，确定，再根据导数的运算法则，结合极值点、零点、导数的性质逐一判断即可. 【详解】由， 求导得，令，得， 即， 则. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极小值点，因此B错误； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 4与9的等比中项为 C. 在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D. 等比数列是递增数列，则的公比 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由等比数列的性质可知，即可求解；D选项举反例可判断. 【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确； 对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确； 对于C选项，由等比数列的性质可知，且， 所以，的可能值为，或，或，或，或，， 则，或，或，故C正确； 对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误. 故选：ABC 11. 如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（　　） A. 与是相似椭圆 B. 为中点 C. D. 为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】求两椭圆的离心率，可判断A；设，写出过点的切线方程，与方程联立，利用韦达定理求出弦的中点并与坐标比较，即可判断B；利用B的结论，结合平面向量数量积的定义，可判断C；举特例说明D是错误的. 【详解】对于A，，故与是相似椭圆．故A正确； 对于B，设，则，与联立， 消去得， 所以，由于，代入化简得， 又点为直线与的切点，故为的中点．故B正确； 对于C，由可知为中点，同理为中点，故 且和相似，所以， 因为， 而，故．故C正确； 对于D，如下左图，若取，则易得为上、下顶点，不妨取，此时； 若取，则易得为左、右顶点，不妨取，此时，即； 如下右图，再取，此时围成一个矩形，其中， 有，即不是定值．故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填写在答题卡相应横线上． 12. 展开式的常数项为______. 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线的概念和双曲线离心率的概念，列出方程，求出离心率即可. 【详解】双曲线的渐近线为，即，右焦点， 则到渐近线的距离为， 对于双曲线，其焦点到渐近线的距离为， 所以，已知双曲线中，则，则离心率. 故答案为：. 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，然后利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】设，则，因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得，则，因为得， 所以， ， 所以. 所以，前个三角形，，，的面积和为 . 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请将解答过程或步骤写在答题卡相应位置． 15. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【小问1详解】 因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可； （2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所有， ， ， 作差可得， 所以. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）①若，求实数的值； ②设，求证：. 【答案】（1）函数的单调增区间为, 单调减区间为. （2）①； ②见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可. （2）①首先根据题意得到,从而将题意等价为,再结合的单调性分类讨论求解即可; ②根据（1）知:,从而得到,再化简得到,累加即可证明. 【小问1详解】 由已知的定义域为. 令, 有两根, 因为， 时,单调递减; ,时,单调递增， 故函数的单调增区间为， 单调减区间为. 【小问2详解】 ①因为,所以等价于. 由（1）知:, 当时,,故满足题意. 当时,时，单调递减，故不满足题意. 当时,时, 单调递增，故不满足题意. 综上可知：. ②证明:由（1）可知:时,,即,当且仅当时取等号. 故当时,可得 即， 即. 故 故 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限． （1）直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围； （2）直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且． 若，证明：为定值． （3）若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）证明：因为为重心，所以， 由（1）可得 设，， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 由直线：，则，，， 所以， 由，则，即， 又， ， 因此时，为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）设直线：，与抛物线联立，得到根与系数的关系，再由，得到关于的不等式，求解即可得到横坐标的取值范围； （2）求出直线，的斜率，结合，可得，再结合，求出为定值； （3）求出切线，切线的方程，再求出切点弦的方程，再把的面积看成同底的两个三角形的面积和，利用基本不等式即可面积的最小值. 【小问1详解】 设，，由题意知，设直线：， 又直线与正半轴交于，与负半轴交于， 则，， 联立，整理得， 所以，， 则， ， 若，则， 解得，， 又，则横坐标的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设过点的切线方程为， 则联立方程，化简可得， 因为直线与抛物线相切，则，得， 而为抛物线上一点，则， 代入可得，得， ，则，即， 即过点的切线方程为． 因此过的切线：, 过的切线： , 又切线与切线的交点在直线上，可设， ，， 即，的坐标都满足方程， 所以，直线方程为， 故直线过定点，因此, 由联立可得，, 可得，， 则， 当且仅当时取等号. 所以面积的最小值为. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2027届高二年级上学期期末考试 数学试题卷 命题人：俞纲 杜罗云 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 7 B. 9 C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 的内角的对边分别为，若 ，， 的面积为 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 8. 刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元． A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. 是函数的极大值点 C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 4与9的等比中项为 C. 在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D. 等比数列是递增数列，则的公比 11. 如果两个椭圆的离心率相等，我们称这两个椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆和椭圆为上一点，过点作的两条切线交于，切点分别为，，则（　　） A. 与是相似椭圆 B. 为中点 C. D. 为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填写在答题卡相应横线上． 12. 展开式的常数项为______. 13. 已知双曲线的右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为____________． 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请将解答过程或步骤写在答题卡相应位置． 15. 已知函数在处有极值. （1）求a的值； （2）求在上的最值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）①若，求实数的值； ②设，求证：. 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：．，为上两点，且，分别在第一、四象限． （1）直线与正半轴交于，与负半轴交于，若，求横坐标的取值范围； （2）直线与正半轴交于，与负半轴交于，记的重心为，直线，的斜率分别为，，且． 若，证明：为定值． （3）若过，作抛物线的切线，，交点在直线上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $