专题03 直角三角形（6个高频易错考点训练共18题）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册满分培优讲练测

本讲义聚焦直角三角形核心知识点，系统梳理锐角互余性质、判定定理、命题与逆命题、互逆定理及证明等内容，构建从性质应用到逻辑推理的知识支架，衔接前后知识脉络。 资料以6个高频易错考点为核心，通过选择、填空、解答题分层训练，结合【易错点梳理】强化推理意识，培养几何直观。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，实现日常积累到冲刺备考的系统提升。

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题03 直角三角形 （6个高频易错考点训练共18题） 目录 考点一直角三角形的两个锐角互余 3 考点二锐角互余的三角形是直角三角形 5 考点三写出命题的逆命题 7 考点四判断是否为互逆命题 9 考点五定理与证明 11 考点六互相逆定理 13 考点一直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案． 【解答】解：在中，，， ，， 于点，， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为 ． 【答案】135 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余和三角形的外角性质，先拆分为与的和，再结合已知的两组角度关系、，代入求和即可得到结果． 【解答】解：如图，点是延长线上一点，则． 由图可知，，即； 在中，. ， ∴； 故答案为：． 3．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的高的定义及外角的性质等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）由，是的两条高得出，即可得出，，从而得出结论； （2）先求出，利用外角即可求出，根据即可求出． 【解答】（1）证明：，是的两条高， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 考点二锐角互余的三角形是直角三角形 4．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【解答】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【解答】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 6．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点三写出命题的逆命题 7．下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的真假判断，需写出每个选项的逆命题，并基于初中数学知识判断其真假即可． 【解答】解：A: 逆命题为“相等的角是对顶角”，∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴ 是假命题，不符合题意； B: 逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，∵ 锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴ 是假命题，不符合题意； C: 逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”，∵ 绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴ 是假命题，不符合题意； D: 逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”，∵ 根据全等三角形的判定定理，对应边相等则三角形全等，∴ 是真命题，符合题意． 故选：D． 8．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换后即可得逆命题． 【解答】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余， 交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 9．写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (2)已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． (3)偶数一定能被2整除． 【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，假命题．反例：两个角都是，它们相等但不是直角． (2)逆命题：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角，假命题．反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． (3)逆命题：如果一个数能被2整除，那么它是偶数，真命题．证明见解析． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”，互换后逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角． （2）原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”，互换后逆命题为：已知两个角，如果它们的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角． （3）原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被2整除”，互换后逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数． 【解答】（1）解：原命题的“条件”是“两个角是直角”，“结论”是“这两个角相等”， 逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 逆命题为假命题， 反例：若两个角都是，它们相等但不是直角． （2）解：原命题的“条件”是“一个角是锐角，另一个角是钝角”，“结论”是“它们的和是平角”， 逆命题为：如果两个角的和是平角，那么一个是锐角，另一个是钝角， 逆命题为假命题， 反例：两个角都是，它们的和是平角，但两个都是直角． （3）解：原命题的“条件”是“一个数是偶数”，“结论”是“这个数能被 2 整除”， 逆命题为：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数， 逆命题为真命题， 证明：偶数的定义是能被2整除的整数叫偶数， 若一个数能被 2 整除，则它符合偶数的定义，这个数是偶数． 考点四判断是否为互逆命题 10．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【解答】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 11．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【解答】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 12．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 考点五定理与证明 13．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【解答】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 14．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【解答】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 15．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【解答】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 考点六互相逆定理 16．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【解答】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 17．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【解答】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 18．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【解答】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测》。本书专为北师大版八年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年八年级数学下册同步满分培优讲练测 专题03 直角三角形 （6个高频易错考点训练共18题） 目录 考点一直角三角形的两个锐角互余 3 考点二锐角互余的三角形是直角三角形 4 考点三写出命题的逆命题 5 考点四判断是否为互逆命题 5 考点五定理与证明 6 考点六互相逆定理 7 考点一直角三角形的两个锐角互余 1．如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为 ． 3．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 考点二锐角互余的三角形是直角三角形 4．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 6．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 考点三写出命题的逆命题 7．下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应边相等 8．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 9．写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (2)已知两个角．如果一个是锐角，另一个是钝角，那么它们的和是平角． (3)偶数一定能被2整除． 考点四判断是否为互逆命题 10．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 11．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 12．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 考点五定理与证明 13．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 14．下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 15．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 考点六互相逆定理 16．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 17．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是 三角形． 18．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $