专题07 平面向量的应用9题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题07 平面向量的应用9题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 三、向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 2．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    3．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 4．（2026高一·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 5．（2026高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型2：用向量证明平行问题 6．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 7．（2026高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 8．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 9．（2026·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 12．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 题型4：平面几何的角度问题 13．（2026高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 15．（2026高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 16．（2026高一·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 17．（2026高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 题型5：判断三角形的形状 18．（2026高一·江苏·课后作业）已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 19．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 20．（2026高一·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 21．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型6：平面几何中的最值问题 22．（2026高三·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026高三·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（2026高三·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 26．（2026高三·天津滨海新区·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则 .若是线段上的一个动点，则的最小值为 . 27．（2026高三·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为 . 28．（2026高三·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . （三） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型7：力的合成 29．（2026高一·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 31．（2026高二·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 33．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    34．（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 题型8：速度、位移的合成 35．（2026高一·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 36．（2026高一·全国·课后作业）某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 37．（2026高一·广东惠州·开学考试）已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 38．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 39．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 题型9：功、动量的计算 40．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 41．（2026·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 42．（2026高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 43．（2026高一·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 44．（2026高三·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 1．（2026高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 2．（2026高一·上海·期中）已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（2026高一·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 5．（2026高三·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 6．（2026高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 7．（2026·湖南娄底·模拟预测）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 9．（2026高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·浙江金华·模拟预测）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 11．（2026高三·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 13．（2026高一·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 14．（2026高三·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题07 平面向量的应用9题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． 三、向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 2．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 4．（2026高一·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1）. （2）， ，. 5．（2026高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型2：用向量证明平行问题 6．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 7．（2026高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为中点，为上靠近点的三等分点，求证：三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据三点共线要求，证明即可. 【详解】∵， ∴． ∵是上靠近点的三等分点， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴．① ∵为的中点，∴．② 由①②可得． 由向量共线定理知．又∵与有公共点， ∴三点共线． 8．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度问题 9．（2026·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可. 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 10．（2026高一·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 11．（2026高一·河北沧州·月考）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，，，，计算得到答案. （2），，计算得到答案. 【详解】（1）； ， ，故， . （2）， . 12．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 【答案】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 题型4：平面几何的角度问题 13．（2026高一·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 14．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 15．（2026高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 16．（2026高一·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 17．（2026高一·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 题型5：判断三角形的形状 18．（2026高一·江苏·课后作业）已知A（2，1），B（3，2），C（－1，4），则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】利用向量运算求得，由此判断出正确答案. 【详解】， 由于，所以， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 19．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解. 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 20．（2026高一·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 21．（2026高一·浙江温州·期中）已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 题型6：平面几何中的最值问题 22．（2026高三·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 23．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，两边平方，结合向量数量积公式和，得到，求出答案. 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 24．（2026高三·北京通州·期末）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以. 故选：C 25．（2026高三·北京海淀·月考）在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，表达出其他各边长度，利用计算出数量积为，从而求出最小值. 【详解】设，， 因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 故答案为： 26．（2026高三·天津滨海新区·月考）如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则 .若是线段上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值. 【详解】①， 又，， 则：，且 原式， 解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 27．（2026高三·陕西咸阳·月考）在平面四边形中，点，分别是和的中点，且，向量与的夹角为，若，，则的最大值为 . 【答案】16 【分析】根据平面向量的线性运算，以向量与为基底，表示出向量，进而根据向量模长的概念，求出参数的关系式，根据基本不等式，求出参数范围，进而根据二次函数性质，求出结果. 【详解】 如图所示，可知，且， 两式相加得， 由，得，即， 由向量与的夹角为，，，代入得，化简得， 可得，即， 由基本不等式可知时，，当且仅当时取等号， 即，代入得，解得， 由得， 由得，即，得， 可知， 令， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 则在函数单调递增，即在时取最大值， 此时，，最大值为. 故答案为：16. 28．（2026高三·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 取中点为，如图， 则， 此时. 所以的最小值为7. 故答案为：7 （三） 向量在物理中的应用 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 题型7：力的合成 29．（2026高一·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 30．（2026高一·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答. 【详解】根据力的平衡，的合力为，如图所示： 由于，且的夹角为， 则为等边三角形，则， 则与重物重力之间的夹角为. 故选：C 31．（2026高二·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 32．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 33．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 34．（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据，先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得. 故答案为： 题型8：速度、位移的合成 35．（2026高一·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 36．（2026高一·全国·课后作业）某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【详解】设石子的落地时间为，则，解得， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小． 故选：B    37．（2026高一·广东惠州·开学考试）已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“上北下南左西右东”建立直角坐标系，结合题意标出各点位置，从而在与中依次求得，从而得解. 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，        由已知可得，为正三角形，，所以． 又，，则， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：D. 38．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 39．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 题型9：功、动量的计算 40．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 41．（2026·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 42．（2026高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 43．（2026高一·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 44．（2026高三·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 1．（2026高一·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 2．（2026高一·上海·期中）已知非零向量与满足，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由，利用数量积运算化简得，得解. 【详解】由条件，即, ，展开并整理得， 故三角形为等腰三角形. 故选：C. 3．（2026高一·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得． 【详解】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 5．（2026高三·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 6．（2026高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 7．（2026·湖南娄底·模拟预测）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 8．（2026高三·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 9．（2026高三·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 10．（2026·浙江金华·模拟预测）设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 11．（2026高三·山东·期中）已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，表示出，再求取值范围即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，设， 则，， 可得， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，即. 故选：A. 12．（2026高一·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 13．（2026高一·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 14．（2026高三·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $