20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时 勾股定理的逆定理的应用）课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第二课时 勾股定理的逆定理的应用 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1. 理解勾股定理与其逆定理的区别和联系． 2. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识． 利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题. 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧. 教材P36 例题 例1 如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5h 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 解：根据题意，PQ = 16 × 1.5 = 24， PR = 12 × 1.5 = 18，QR = 30. 因为 24² + 18² = 30²，即 PQ² + PR² = QR²， 所以 ∠QPR = 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此 ∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行. 1 2 N E P Q R 1.如图，南北方向的领海线PQ以东为我国领海区域，以西为公海．某日22 点30 分，我边防反偷渡巡逻号艇A发现其正西方向有一可疑船只C正向我国的领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注意其动向.经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距离为10 n mile，A，B两艇之间的距离为6 n mile，B艇与可疑船只C之间的距离为8 n mile．若该可疑船只的航行速度为12.8 n mile/h，则它最早在何时进入我国的领海区域？ 解：∵ AC＝10，AB＝6，BC＝8，∴ AB2＋BC2＝36＋64＝100＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 由题可知PQ⊥AC，∴ S△ABC＝AB·BC＝AC·BD， 即6×8＝10×BD，解得BD＝4.8． ∵ PQ⊥AC，BC＝8，BD＝4.8，∴ CD＝6.4． ∵该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，∴从C到D所需的时间为＝0.5(h)＝30(min)． 因此，该可疑船只最早在23点进入我国领海区域． 变式训练 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，AD = ，DC = . 如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由. 分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断 △ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD. 解：因为 AC ⊥ BC，所以 ∠ACB = 90°. 在 Rt△ABC 中，AC² = AB² - BC² = 5² - 3² = 16. 所以 AC = 4.在 △ACD 中， AC² + AD² = 4² + ()² = ， CD² = ()² = ，所以 AC² + AD² = CD². 因此 △ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD. 教材P36 例题 5 3 2.如图20.2－4，已知AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝24，DA＝26. 求四边形ABCD的面积. 解：如图20.2－4 ，连接AC. 在Rt△ABC中， 由勾股定理得AC＝＝＝10. 在△ACD中，AC2＋CD2＝102＋242＝262＝AD2. ∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴ S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144. 变式训练 教材P37 练习 课内练习 1. A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？ B A C 5 km 12 km 13 km 解：设 A，B，C 三地分别对应点 A，B，C，则在 △ABC 中， ∵ BC² + BA² = 5² + 12² = 169，AC² = 169， ∴ BC² + BA² = AC²， ∴ △CBA 为直角三角形，且 ∠B = 90°. ∴ C 地在 B 地的正北方向. 2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10，d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合. 解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676， ∴a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2， ∴所有可能的钢条组合有 2 种，长度（单位：dm）分别为 6，8，10 和10，24，26. 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，∠B = 90°.求四边形 ABCD 的面积. 解：∵ ∠B = 90°，∴ △ABC 是直角三角形. 依据勾股定理，得AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 25 = 5²，∴ AC = 5. 在 △ACD 中，AD² = 13² = 169，CD² + AC² = 12² + 5² = 169，∴ AD² = AC² + CD². ∴ △ACD 是直角三角形，且 ∠ACD = 90°. ∴ S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD = × 3 × 4 + × 5 × 12 = 6 + 30 = 36. ∴ 四边形 ABCD 的面积为 36. B C A D 1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？ 解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169， AC2 = 132 = 169， ∴ BC2 + AB2 = AC2. 即△ABC 是直角三角形， ∠B = 90°. 答：C 在 B 地的正北方向． A B C 5 cm 12 cm 13 cm 基础巩固题 2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m， ∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵ AC2＝92＝81， ∴ AB2＋BC2≠AC2. ∴ ∠ABC≠90°， ∴ 该农民挖的不合格． 3.如图，在四边形中， ，， ， ，，求四边形 的面积. 【解】连接 ，如图. ,为直角三角形. ，， 根据勾股定理得， . 在中，， ， ， 为直角三角形， ， . 能力提升题 4.【2025辽宁营口期末】如图，四边形 为某景区观光区域， 经测量米，米，且 ． （1）求 的度数； 【解】连接，如图.米， ， ．在中，由勾股定理得 米. 米， 米，且 , ， ， ． （2）若直线 为景区观光车的行驶道路（道路宽度忽略不计），景区管理部门想要在 处安装一个监控摄像头来监测观光车行驶情况，已知摄像头能监控的最远距离为70米， 求被监控到的道路长度． 【解】过点作于，作点关于的对称点，连接 ，如图.由轴对 称的性质，得米， . 由（1）得 ， , 是等腰直角三角形， , , 米， 米. 15 5.[2025台州期中]某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ 解：海港C受台风影响．理由如下：如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC·BC＝ CD·AB，∴CD＝240 km. ∵240 km<260 km，∴海港C受台风影响． (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 8 h，求台风中心的移动速度． 解：如图②，设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港．由题意，得CE＝CF＝260 km. ∵CD＝240 km，CD⊥AB，∴ED＝FD＝＝100 km， ∴EF＝2ED＝200 km.又∵受台风影响持续8 h，∴移动速度为＝25(km/h)． 答：台风中心的移动速度为25 km/h. 16 6.如图①②均为4×2的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1． (1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的关系，并说明理由； 解：AB⊥BC且AB＝BC.理由如下： 如图①，连接AC.由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5， BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. ∴AB与BC的关系为AB⊥BC且AB＝BC. 解：如图②，由图易知∠CAD＝∠α.由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5， BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠CAD＋∠β＝45°，∴∠α＋∠β＝45°. (2)求图②中∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图并写出过程)． 17 勾股定理的 逆定理的应用 应用 解决实际问题 认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题. 结合勾股定理解决面积、线段长、角度等问题. 方法 课堂小结 教科书第37页练习 第1，2，3题 布置作业 $