山西吕梁市2025-2026学年高三第一学期期末调研测试数学试卷

吕梁市2025-2026学年第一学期期末调研测试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 2 3 4 5 6 8 答案 A D A B C B C B 1.A.复数1-1的虚部为-1，故选A 2D双曲线方程可化为？-上=1所以其渐近线方程为y=士x,故选D 22 3A由a,+4+0,=3a,=9,得4=3，所以S,=7a+a)_7a,+a)_7×5+3》=28,故选A 2 4B由于三个力作用处于平衡状态，所以万=-匠+)=(2，)所以©os(,) E·E 6+42V5 5x5 5,故选B 5.C.由事件A与B相互独立，得P(AB)=P(A)P(B)=0.3,故P(B)=0.5,所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2, 故选C 6.B.由g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),得g(x)为奇函数，易得A,C,D均为奇函数，故选B 7.C.法一：如图，FL,0),过B作准线的垂线，垂足为D,由BC=2BF得BC=2BD, 所以∠CBD=写即直线AB的斜率角为了故1ay=V3(x-1设Ax,yB(,) 10 联立直线AB与抛物线，得3x2-10x+3=0,x1+x2= 35=1, 所以1=++2-，故圆的半径为 D 又AB中点到y轴距离d=+及=5， 23 2 所以以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 239 33 3 由对称性可知，∠CBD=2π时也成立，故选C 3 法二：记AB中点为M,分别过A,B,M作准线的垂线，垂足分别为A,B,M', 则MM1=H4+BB1_F+BA_48所以以AB为直径的圆与花物线准线相切， 2 2 4B=- p 4 16 由BC=2BF得BC=2BB1,所以∠CBB=T,即直线AB的斜率角为T, 3 故 2 第1页共8页 又M到y轴的距离d= AB_卫_三，所以以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 223 由对称性可知，∠CBD= 2π时也成立，故选C 8.B如图，按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为4,2√5,2v5, 25 [a2+b2=16 将该三棱锥补全到长方体中，设长方体的棱长分别为a,b,c,则{a2+c2=20, b2+c2=20 所以a2+b2+c2=28,即其外接球半径R= va2+b2+c2 -=√7，故外接球表面积为S=4πR2=28π，故选B. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 10 11 答案 AC ACD BCD 9.AC.对于A选项，由于6×25%=1.5，所以第25百分位数为2，故A正确； 对于B选项，由P(5≥-1)+P(5≥5)=1，得u=2,故B错误； 对于C选项，当x=2时，)=8，所以样本点(2,7)的残差为7-8=-1，故C正确： 对于D选项，在独立性检验中，随机变量x的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故D错 误；故选AC 10.ACD.对于A选项，由图易知an-am-1=n(n≥2)，故A正确： 对于B选项，由an-an-1=n(n≥2)，得a2-41=2,43-a2=3,an-an-1=n(n≥2)， 所以4，-1=a-2+m-m-1m+2n≥2)，即a.=m,+n≥2》，又a=L适合上式 2 2 2 n,女后2所u22,黄n 2’annn+1) a n+1 Fc6--交”-ag2,）-a收a2,数c 6 2 6 对于D选项， 1 6 =31 1 bnn(n+1)(n+2)n(n+1)(n+1)(n+2) 站点on以写号a+l4越n 1 3 第2页共8页 1BCD对于A法项由子+6osA=C+smB,得+cosA=x-4-B+snB 所以snB-B=sin了-小-（3-A 令f(x)=sinx-x,则f"(x)=cosx-1≤0，所以f(x)为减函数， 即B-受-A万以4+B=号即C-受迪2-c0s,得6=2c0sA,放A错误 21 2 对于B选项，由于sinB=cosA,所以sin2A+sin2B=sinA+cos2A=1=sinC,故B正确： 对于C选项，由于5ab≤十6=C】当且仅当Q=b时取等，故C正确 44 对于D选项，由a2+b2=c2,a<c,b<c,得a3+b3<a2c+bc=c(a2+b2)=c3,所以sin3A+sin3B<sin3C,故D 正确故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-1 因为0∈A,所以a=0或1-a2=0,即a=0或a=±1，由集合的互异性知a≠1且1-a2≠1，所以a=-1. 13.2V2 由3cos2a=7sin(a-)得3(2cos2a-)=-7cosa,所以，6cos2a+7cosa-3=0,解得cosa= 1 3 奥为&∈(0G所以sima=3，即ana=22 14.a<-1 f)=1-m-1-a=-(6x-1Xax+D(x>0) (1)当a≥0时，a+1>0,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故x=1为f(x)的极大值点，不合题 意： (2)当a<0时，令f(x)=0,则x=1或-1 a ①当-分1，甲-1<a<0时，在(Q,)和（一日）上单调谜墙，在-分上单调送减，故x=1为)的极 大值点，不合题意： ②当-】=1，即a=-1时，)=-少之0所以f)在(0，+)上单调递增，不合题意。 a ®当-<1，即a<-1时，fx)在(0，-和(L,+0)上单调递增，在(-)上单调递减，故x=1为f)的极小值 点，适合题意： 综上：a<-1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 皮新：0治恩壶强。为号吾专T=不，二 2π=2，…，3分 T 第3页共8页 又2x音+9-号+2x得0-号+2又水受0 3 …6分 所以fx)=2sin(2x+)+2(K∈R) 3 7分 8t)-2sn2ux-3+骨+2-2=2sn2x-7. 3 9分 若80，m止单调谜增，则2m子5受解得m≤ 沿故me0 12 13分 16.解析：(1)由已知2×(0.02+0.03+0.05×3+0.15+a+0.04+0.01)=1解得a=0.13分 (2)阅读时间的平均数为t=1×0.04+3×0.06+5×0.1+7×0.1+9×0.3+11×0.2+13×0.1+15×0.08+17×0.02=9.16小时..7分 (3)这500名社区居民的阅读时间分配在[10,12)与[12,14)这两组内的学生分别有500×0.2=100人，500×0.1=50人， 所以分层随机抽样可知这6人中在[10,12)内的人数为6× 10+504人，2,14)内的人数为6-4=2人，…9分 100 所以随机变量X的可能取值有1,2,3 12分 故随机变量的分布列为 X 1 2 3 1 3 5 5 5 13分 随机变量X的数学期望E(X)=1×:+2x2+3×!=2 3 5 5 15分 17.解析：(I)证明：平面PAB⊥平面ABCD,且面PABO面ABCD=AB 42 且PA⊥AB:.直线PA⊥面ABCD故PA⊥AC 2分 又AB∥CD,∠ABC=90°，AB=BC=2,.AC=2√2，AD=2V2,CD=4 B.i0 .AC2+AD2=CD2,从而CA⊥AD, 4分 又PAAD=A,PA,ADC面PAD 第4页共8页 所以AC⊥面PAD 6分 (2)以AB的中点为原点O,Ox∥BC,OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴， P0,0,V3),B(0,-1,0),40,1,0),C(2,-1,0),D2,3,0) 7分 则CD=0,40,PC=(2,1-3) 8分 由题知平面PAB的一个法向量为m=(1,0,0), 10分 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), n-CD=04y=0 即 n-PC=02x+y-3= 令x=√3，解得z=2,故n=(5,0,2)12分 所以平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值 m·n 3√21 cos m,n > 1×√77 14分 m n 故平面PAB与PCD的夹角0的正弦值sin0=27 15分 7 31 a+6=1 18.解析：(1)由题意，得{a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2, e=. (a3 ∴椭圆C的方程为+ -=1. 62 4分 (2)D因为精圆C的方程为￥+亡=1，c=2,5(2,0), 62 当直线AB的斜率存在且不为0时， 设A(x,y),B(x2,2),直线AB的方程为y=k(x-2), 代入C的方程中整理得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0, *0安 .12k2 6分 “xw=+五=63 1+322)=26 21+3X2w=x-2)=k,6k3 1+30,M6k.2% 1+32’1+3k27分 :AB⊥DE,则直线DE的方程为y=-(x-2), k 第5页共8页 月理，用代换可用M军写与 8分 当k≠1时，k=y-丝= 4k xM-xN 3(k2-1) 2k 4k ∴直线MN的方程为y+ .6k2 1+3=32-)x-1+3: 9分 由对称性知，若MN过定点，此定点一定在X轴上 当y=0时， 230--x-6 1+3k24k +3欢解得x=30+3.3 2(1+3k2)2 直线恒过定点（号0， 10分 时，直线MN的方程为：x=；,过定点 3 当k=0或k不存在时，直线MN的方程为：y=0,过定点(，0)， 综上：直线MW过定点（兮0）， 11分 2k 2kk2+1) 41+3k2k2+3(1+3k2)(K2+3) 12分 2+司 3++103++4 14分 21=2 风中22S74时+在+项 1 故当t=2,即k=±1时，(S5N)mx= 4 17分 19.解析：(1)当a=1时，fx)=ln(x+1)-x ,定义域为x∈(-l,+o), x+2 f0x)=1x+2-x.12 x+1(x+2)2x+1(x+2)2 1分 k=f0分0=0 3分 1 y=一x,整理得：x-2y=0 2 4分 2法-：=20-+22at,(x>0 x+1(x+2)2(x+1)(x+2)2 5分 令g(x)=(x+2)2-2a(x+1)=x2+(4-2a)x+4-2a,(x>0), 第6页共8页 ①当△≤0即0≤a≤2时，g(x)≥0，.f'(x)≥0，f(x)在(0，+o)上单调递增， 故f(x)>f(0)=0,满足条件 7分 ②当△>0即a<0或a>2时， 当a<0时，对称轴x=a-2<0,且g(0)=4-2a>0,故x>0时，g(x)>g(0)>0, ∴.f'(x)>0.f(x)>f(0)=0满足条件： 9分 当a>2时，△>0，且g(0)=4-2a<0, 故存在x>0,使得x∈(0，x)时，8(x)<0,即f'(x)<0,f(x)在(0，)单调递减，此时f(x)<0,不满足条件。 综上所述：a≤2 10分 法二：（参数分离）fx)≥0恒成立，即In(x+D.2≥0在x∈(0，o)止恒成立 x+2 (x+2)ln(x+1) ∴.a≤ 5分 min g)-+2)im(x+D)=(+2)+D)g=-2+inx+2x x2(x+1) 令h(x)=-2(x+1)ln(x+)+x2+2x,则h(x)=-2(In(x+1)-x)>0 所以h(x)在(0，+o)上单调递增，又h(0)=0,所以恒有h(x)>0即g'(x)>0 故g(x)在(0，+0)上单调递增 8分 (x+2)In(x+1)=lim ln(x+1)+x+2 由洛必达法则，得limg(x)=lim x+1=2 1 9分 r→0 x→0 x→0 所以a≤2即a的取值范围为(-o,2] 10分 法三：（必要性探路-端点效应） 由f)=n(x+1)-ax≥0在x∈(0，+o)止恒成立，且f(0)=0 x+2 12a x+1(x+1,故使f0)≥20得1-g≥0，即a≤2 又f'(x)= 2 5分 当a≤2时，f'6)=x+2-2a(x+1) 0+1Mx+2)2，令8=x+2)-2a(x+D g(x)2(x+2)2-4(x+)=x2>0故∫"(x)>0,即f(x)在x∈(0，+o)上单调递增，又f0)=0,因此f(x)>0恒成 立； 7分 第7页共8页 当a>2时，f'(0)=1-a<0,因此存在x,>0,使得x∈(0，xf(x)<0,所以fx)在(0，x)上单调递减，所以 2 f(x)<f(0)=0与f(x)≥0矛盾。 9分 综上所述，a的取值范围为(-0,2]. 10分 (2)由(2)知，取a=2时，f(x)=ln(x+I)- 2x≥0恒成立，即1n(x+)≥ 2x x+2 x+2 11分 1 令x=,有nn+ 2× n= 1 n n 1 1 +2 -+n n 2 _≤lnn+)-lnm, 故 13分 2* 11 1 2 2 n+1 1 一+1 +In3-In2+In4-In3+...+In(n+1)-Inn= +In 12 ++1 3 +2 3 2 -+n 2 2 综上， 12 n+l +In 之，≤3+n2 17分 i=i+ 2 第8页共8页2025-2026学年高三第一学期期末调研测试 数学试题 (本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答題卡上) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真茯对条形码上的姓名、准考证号，并将苏形码粘贴在答题卡的 指定位置上。 2.答题时使用05疮米的凰色中性（签字）笔成谈漱笔书写，字休工整、笔迹清楚。 3.请按题号在各题的容题区坡（瓜色覦枢）内作答，知出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清祜，不折径，不破损。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.复数1-i的虚部为 A.-1 B.1 C.-i D.i 2.双曲线x2-2=2的渐近线方程为 A.y=±√5x B.y=±√3x C.y=±√2x D.y=±x 3.等差数列la.中，a4+a+a6=9,a=5,则S,= A.28 B.56 C.63 D.67 4.若平面上的三个力F,F,F作用于一点，且处于平衡状态.已知F,=(3,4), F2=(-5,-5),则cos(F1,F3〉= A.⑤ B.2W5 C. 3 D.22 3 5.若事件A与B相互独立，P(A)=0.4,P(AB)=0.3,则P(AUB)= A.0.9 B.0.85 C.0.7 D.0.6 6.已知函数f(x)的定义域为R,若g(x)=∫(x)-∫(-x),则g(x)的解析式一定不是 A.g(x)=x B.g(x)=+2 C.g(x)=sinx D.g(x)=2-2 7.已知抛物线y=4x,过焦点F的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点A,B,C, 若CB=2B下，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 A.2W39 B.√39 C. 2√39 39 3 D. 高三数学 第1页（共4页） 8.现有一平行四边形纸片如图，已知AB=8,AD=2√5，an∠BAD=2,将其折成-个 三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥 的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A.112m D B.28m 2W5 C.14m D.7m 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.数据1,2,3,5.7.8的第25百分位数为2 B.若随机变量5-N(u,),且P(5≥-1)+P(5≥5)=1，则μ=1 C.变量y关于变量x的经验回归方程为=3x+2,则样本点(2,7)的残差为-1 D.在独立性检验中，随机变量X的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯 借误的概率越小 10.在2025年乒超联赛总决赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰 品，其中第1堆只有1层，就一个球：第2,3,4，…堆最底层（第一层）分别按图中所 示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆 第n层就放一个乒乓球.记第n堆第一层的乒乓球数为a,第n堆乒乓球的总数为 6,则（参考公式：1+2：+3+…+n=n（n+1)(2n+1) 6 A.an-a-1=n(n≥2) B. C.6.=n（n+1)(nt2) 6 3 :=2-(n+1)(n+2) 1.已知△ABC中，角A,BC的对边分别为a,bc,且满足c=2,受+cosA=C+sinB,则 A.2=bcos A B.sin C=sin'A+sin'B C.△ABC面积的最大值为1 D.sin'A+sin'B<sin'C 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知集合A=11,a,1-a2|,0∈A,则a= 13.已知ae(0.)且3cos2a=7sin(&-2,则ana= 14. 已知函数f(x)=lnx- ar-(1-a)x(a∈R),若x=1是∫(x)的极小值点，则实数 a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知函数(x)=2sin(ax+p)+2(w>0,lp<牙)的部分图象如图所示. (1)求∫(x)的解析式： (2)将函数y=了(x)的图象先向右平移？个单位长度，再向下平移2个单位长度得 到函数y=g(x)的图象，若g(x)在[0，m]上单调递增，求实数m的取值范围. 频平 纽距 0.15 2 0.05 003 001 0T1 1123 024681012141618时间（小时） (第15小题图) (第16小题图) 16.(本小题满分15分) 为深入贯彻落实党的二十大关于“深化全民阅读活动”的重要精神和二十届四中 全会关于“激发全民族文化创新活力”的战略部署，推进书香社会建设，某社区随 机调查了500名居民每周的阅读时间（单位：小时），将全部样本数据分成[0,2)， [2,4),[4,6),….[16,18]九组，得到频率分布直方图，如图所示. (1)求a的值； (2)根据频率分布直方图，估计该杜区居民每周阅读时间的平均值（同一组数据用 该组区间的中点值作代表)： 高三数学第3页（共4页） (3)为进一步了解居民阅读偏好，从阅读时长在[10,12)和[12,14)的居民中，采用 等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行深度访 谈，记阅读时长在[10,12)内的人数为X,求X的分布列和数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯 形，AB∥CD,∠ABC=90°，2AB=2BC=CD=4,平 面PAB⊥平面ABCD. (1)若∠PAB=90°，求证：AC⊥平面PAD: (2)若△PAB是等边三角形，求平面PAB与平面 (第17小题图) PCD夹角的正弦值. 18.(本小题满分17分) 三知椭圆C+Ia>6>0的离心率为3，且过点(W3,),F,分别9 椭圆C的左、右焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过F,作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于点A,B和D,E,弦AB和DE的中 点分别为M,N. (i)证明直线MW过定点； (i)求△F,MN面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数∫(x)=ln(x+1)-ax x+21 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程： (2)若∫(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围： (3)求证立1s名+ .1 F3+h+1 i+ 2-nEN. 2 高三数学第4页（共4页）