安徽宿州市2025-2026学年高二上学期2月初期末质量检测数学试题（人教A版）

2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（人教A版）试题 本议卷分第1卷（遮摔题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第】卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要 皮r B.(L,+o) D.(2,to∞) 求的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 1.已知椭烟C:号+上 42 =1，则其离心率e=（) 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知空间向盘a=(2,4,-),b=(-2,l,0),c=(0,-5,),则( ) .2 5 A.a⊥b B.a.c=46.c D. 2 2 C.(a+b)∥c D.cos<b,e>130 之若数列a}满足a40…g=”22.则a=()》 26 10.在数学中，为了方便书写，通常引人求和符号（记作∑），表示连续相加.例如： B. 6 c 5 4 D. 享=4+女+场++6，种空6表示从1=1到=n所有乌的和已知数列a,)的前n项 3.已知直线4：2x-y+1=0,:a2x+2y+2=0(aeR),则“4⊥4”是“a=1”的( ) A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 和为3，若，=4，且1+元22=a,则( ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 台3坑-2 4.在空间直角坐标系中，若40,2,3)，B3,5,7),C(们，1,1)三点共线，其钟1eR,则入=() A.4=7 B.数列(a,}为等差数列 A.13 B.11 C.9 D.7 C.S。=150 D.满足Sn>2a的n的最小值为5 5.已知正项等比数列{a,}的前n项和为S.,若aa,=8,a=马+2，则S,=（) 11.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线I与抛物线C交于M,N两点，且W=6, A.127 B.63 C.255 D.31 点P(2,9),m,-),则( 6.已知圆C:x2+y2+8x-6y+9=0,lC2:(x+1)2+0y+1)=a2(a>0).若C与C2有且仅 有2条公切线，则实数a的取值范围为() A直线！的斜率为士三 2 A.(2,10) B.1,10) C.(2,9) D.1,9) B.PM+MF的最小值为10 亿已知双曲线C:。-发=(@>0，b>0)的左、右焦点分别为，乃，点M在双线C上，若 c若Mr>wS.则 =3+2 NF MM⊙，MF引成等比数列(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为() D.过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB过点F A.y=+2x B.y=±2x C.y=士x D.y=t 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 8.已知数列{a}的前n项和为S.,其中4=1，S=2a,+Sn+1,bn-a,-1=2(-l), 12.已知三棱锥P-ABC中，平面ABC的一个法向量为n=L,2,-),若AP=(3,4,-),则向量 若么<恒成立，则实数2的取值范围为() 厅在法向量n上的投影向量为一 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版)试题第1页共4页 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人数人版）试题第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人雕在用的日描APP 13,已知椭圆c:￡+上 18.(17分) =1的左、右焦点分别为F,E,若点P在罐圆上运动，则PFPF引的取 5 已抛物线C:y2=2x的焦点为F,过点F的直线/与抛物线C交于M,N两点，连接MU交 值范围为 14.已知首项为1的数列{a,}的前n项和为S,若2”aa1=1,则So%= 直线x=于点D,过点N引抛物线C的切线r 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1)若1的斜率为1，求MN的值： 15.(13分) (2)求OM.ON的值： 已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0,过原点0引圆的两条切线4,2，切点分别为M,N.其中 (3)若点P(0,y)在直线I上，比较DP与PF的大小关系，并说明理由. 直线4的倾斜角大于直线，的倾斜角. (1)求4,42的方程： (2)求四边形OMCN的面积 16.(15分) 已知等差数列{a,}的前n项和为S,其中4=9，=15，数列6，}携足五=_1 andn (1)求数列{a,}的通项公式及前n项和Sn; 19.(17分) (2)求数列{b}的前n项和T, 已知数列{a}为等差数列，数列化，}为等比数列 （1)求证：数列{a2}是等差数列： (2)若an=5n-2,b,=4",求数列{ab,}的前n项和2n: (3)已知数列(a》的公差不为0，将数列{a、他，}中的项交替排列得到数列{c:4,,4,b2, 若存在正整数m,n,使得cn,Cn+2,C3,Can成等比数列，求n的最大值 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,G中，AB=2AC=4,∠4BC=30°. (1)求证：△ABC为直角三角形： (2)若平面A4B与平面ABC所成角的正弦值为 10 ,求A4的值 2024级高二上学期2月初期宋质盘检测·数学（人数A版）试题第3页共4页 2024级高二上学期2月初物宋质量检测·数学（人校A版）试题第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人雕在用的日描APP 2024级高二上学期2月初期术质量检测 数学（人教A版)参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 2 3 4 5 7 8 答案 C 2 0 B 1.C由题意得.a2=4,=2,所以离心率e=1- 22 .故选C. 、6 2A由题意得，4a,4,=之4aa4=3,两式相除可得。a=号 故选A 3.B若l⊥，，则22-2=0，解得a=±1，故“1⊥12”是“a=1”的必要不充分条件.故选B. 4.B由题意知，AB=(2,3,4),AC=(6,1-2,12),因为A,B,C三点共线，所以AB=kAC.即 234到=61-212，解得k-写4=1.故选B 5.A由题意知，a3=42+2①，而a,a4=a243=8②，联立两式，解得a2=2,43=4(负值舍去)，故 g=4=2.则S, a, 1-2-127.故选A 1-2 6.D由题意得，C与C2相交；而圆C:(x+4)2+U-3)2=16,则CC=V(-3)2+42=5,故 a-4<5<a+4,解得1<a<9.故选D. 7.C由题意得.M-MF=2a①，2M+2ME'=4MO+EFE②（平行四边形四条边的 平方和等于两对角线的平方和).MO=MM③，联立三式，化简可得2a2=c2,则a=b, 故双曲线C的渐近线方程为y=土x.故选C. 8.B由题意得，1=2a,+1,侧a+1=20.+1),即+1=2.所以a,+1}是首项为a,+1=2. 9n+1 公比为2的等比数列，所以an+1=22-1=2”,即an=2”-1,所以bn=2”+2(-1)”,记 0-念=产经为，网号-+2之司 是关于n的单调递减函数，所以f(n)m=f(2)=1,即1>1；当n为奇数时， 0-品--)是关于的单港福数，所m宁即公兮综上所 述，1>1，故实数1的取值范围为(1，+∞).故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ACD AB ABD 9.ACDa·b=4+4=0,故a⊥b,故A正确；a·c=-21,bc=-5,故a·c≠4b·c,故B错误： b.c -5 a+b=(0,5,-1)=-c,故C正确；cos<b,c>= -a5V26=-26 ,故D正确.故 选ACD, 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第1页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.AB当n=1时.1+34=4，即4=1：当心2时，1+3a,+39+39++30=a, 47 3n-5 1+3a1 3+3++30+30,=0两式相减整理可得.=%习 4 7 3n-53n-2 3+13n”2,因为 0.故数列3m2为路数列.则.即0，-2.所7.故A 3-2 3n-2 8E确：S=1+3n-2)n-3”-”,所以So=145,故c错误： 2 8>2a,分3T-”>6n-4台3n-13n+8>0,可知满足该不等式的最小的n的值为4， 2 故D错误；故选AB. 1l.ABD由题意得，F(O,I),设直线I:y=x+1,联立 =4y,则-4你-4=0.设 y=x+1 M(x,y),N(x2,y2),故x+x2=4t,x63=4,则 k=引+乃+2=+)+4=+4=6，解得1=士，放A正衡：过点R,M分别 作抛物线C准线的垂线，垂足分别为P',M'.则PM+MF=PM+MM≥PP=10, 故B正确：由对称性，不坊设点M,N分别在第一、二象限，则=-点，将1=巨代入 NFx2 2 r-4r-4=0.解得5=6+5.5=5-6.则g-6+5=2+5,放c NF√6-√2 错误：设45好5)4)4B的方腿为)=如+6，由化红t6 r=4,得 x2-4-4b=0,所以△=16k2+16b>0,3+x1=4k,xx=4b,易知直线QA.QB 的斜率存在.设直线1的方程为y-号=m(x-.由一子=-).得 x2=4y x-4r+4m,-=0:由△=(-4m)2-4(4mx,-x)=0,解得m=点.所以直线QA 的方程为y=分-式，同4切=2x-巧：同现可得，直线0B的水程为=2-. 将Q(n,-l)代入直线QA、9B中，-4=2x-x,4=2-x,即x号-2x-4=0, x-2x,-4=0,所以x3,x,可看作方程x2-2m-4=0的两根，所以xx=4,又 xx,=-4b,所以b=1,所以直线AB的方程为y=kxr+1,故D正确：综上所述.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2,4,-2) 向餐亚在法向量m上的教影向量为。”n=21.2,-)=2,4-2)。 6 13.[5,9] 由题意得，PF+PF=6,则PF=6-PF.其中PF∈[1,5，故 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第2页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP IPFPF=PF(6-PF)E [5.9] 由题意得，an4n+1 1 2n,an+10n2= T,两式相除可得.2=而442=方·故4=亏·则 数列{an}的奇数项与偶数项分别是公比为二的等比数列，故 1 1111 S2026=1+5+5+ 210丽+20丽=210丽+11- 1 11- 2103 2244 11212、心 21013· 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) （1)由题意得，圆C:(x-2)2+(y-1)2=1;…(2分) 显然直线1，，的斜率存在，设直线，2的方程为y=x, 故侧心C2.,)到直线1的距离d=Pk-斗 =1,…(4分) V1+k2 4 解得k=0或k=行…（7分) 又直线的倾斜角大于直线的颜斜角。放直线.山的方程分别为y=号J=0.(8分) (2)由题意得.lOC=V22+1=5,故0N=0C-R2=2,…(11分) 而Skw=2Saoc=CW.ON=2X1=2.…(13分) 16.(15分) (1)记数列{an}的公差为d,则a=4+2d=9①， S3=a1+a2+43=3a,+3d=15,则a,+d=5②.…(3分) 联立①2②.解得a,=1,d=4,故an=4n-3,…（5分) S,=0+4n-3n=2m2-m.(7分） 2 (2)由题意得.，=1= 1=1-1 …(1川分)） a,1(4n-34n+1）44n-34n+1 …(15分)》 4n+1 17.(15分) (1)由题意得，∠AB,C=∠ABC=30°，AB=2AC,…(1分) 由E孩定理anc放21C81.期C4C8.…(3分 而AA⊥平面ABC,CBc平面ABC,故AA⊥CB,…（4分) 又AA∩AC=A,故CB⊥平面AAC;…（5分) 因为ACc平面AAC,故CB⊥AC,所以△A,BC为直角三角形 …(6分) (2)分别以CB,CA,CC所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第3页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 设AA=m,因为AB=2AC=4,所以BC=25. 故40,2,0)，C(0.0.0),B25,0,0.40,2,m). 故A=(0.0.m),4B=(25.-2,-m.CB=(2W5,0,0）.…(8分) 设平面A4B和平面ABC的法向量分别为n=(x,,)、3=(2,,22), 则%·所=m=0 440=25x-2%-G,=0令=1.则4=5.0叭.(10分) ,m2CB=23x2 =0 而 ,令2=m,则m2=(0,m,-2),…(12分) n24B=2W5x2-2y2-mz,=0 记平面AA,B与平面ABC所成角为0， 因为sin0=】 .所以cos0=5 4 则cos0Es<≥三一Ym=6.解科m=M=2.…(15分y nng2√m2+44 18.(17分) (1)由题意得 设M(x,,N(x,2)、 因为过点F的直线1的斜率为1，所以直线I的方程为y=x- 2， …（1分) 联立 吃，得-3x+日0，则5+=3.…(3分 1 =2x 所以MN=x+x2+p=3+1=4.…(4分) (2)显然直线I与y轴不垂直，设直线：x=my+ ,…(5分) 2 △=4m2+4>0 联立 x=mw+2.得y产2-2m心y-1=0,则4+4=2m ,…（7分) y2=2x y乃=-1 因tO.0N=+=2+Ww=-3 …（9分) 4 4 (3)结论：DP=PF,证明如下： 不妨设M在第一象限，N在第四象限，显然直线'的斜率存在， 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第4页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 设直线y-乃2=k(x-),联立 -.做号-yn-=0, y2=2x 则=-40-)=-4-60，第得= ,…(12分） 所以的方程为y-为=二(x-x),即y=工x+当 2 令=0.得⅓受.则P0空)月 …（14分) 又直线OM的方程为y=4x=2x=-2y,x, x …（16分) 又rG0小放丽=所-G之)lon=p ,…(17分) 19.（17分) (1)不妨设数列{an}的公差为d,则an=a+(n-1)d, 放a-2-an-2=a+3nd-a,-(3n-3)d=3d，…(2分） 故数列{am-2}是公差为3d的等差数列.…(3分) (2)由题意得，anbn=(5n-2)4；…（4分) 故2n=34+8.42+134+…+(5n-2)4”, 49,=3.42+8.43+13.4+…+(5n-2)41.…(6分) 两式相减可得，-3视，=5：4+5.42+5.43+…+5.4”-(5n-2)4+1-8,…(7分) 则-30.-54-20-5m-2)4-8,则0.-（智-号 (0-}4+ …（10分) 9 (3)令等比数列cm+,Cm+2,Cm+3,Cmn的公比为k(k≠土士)： 等差数列{an}的公差d≠0，则等比数列{bn}的公比为k2；…（11分) 92=b=k Cm+l ap [bp=kap (i)当cm1=a,时. 故 2=k ’d=(k2-1a Cm+2 bp 则4=出1=bk3 ak3 =k满足条件； Cmt3 apti ap+d ap+(k2-1)ap -92-9,+24_0,+2(k-42-22-1 Cma bptl bk2 apk3 k3 苦2状k,解得（舍去测当C=Q,时，n的最大值为4：一分 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第5页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP Cns2 =dnt =k C=k ap=kbp (i)当c1=b,时， Cm+3=于 ,故 Cm+2 ap d=(k'-k)br =0p2=0+d 放s=2=bk kb。 -=k满足条件， Cma am2 ap+d kbp+(k-k)bp 6-02-0+2d_h,+2k-kh_2k2-1 Cms bp+2 bnk小 k'bp k3, 由(i)可知，a6=k无解：则当cm1=b,时.n的最大值为5.…(16分) Cm+5 综上所述，n的最大值为5.…（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分， 2024级高二上学期2月初期末质量检测·数学（人教A版）参考答案第6页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP