专题06 平面向量数量积的坐标表示8题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题6 平面向量数量积的坐标表示8题型分类 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . (3)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (4)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（2026高一·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【详解】由，可得， 则. 故选：D. 2．（2026高一·北京西城·期末）已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由题可求向量，，再利用向量数量积的坐标公式求解. 【详解】因为，，所以， ，所以. 故选：D. 3．（2026高一·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用数量积的坐标公式即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 故选：A. 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，设，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 5．（2026高一·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标示，求出相应的坐标，利用坐标运算求数量积即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 过点作点， ，，，， ，， ，，， ， 故选：B 题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 6．（2026高三·四川绵阳·开学考试）记向量，记函数． (1)求的最小正周期． (2)求在的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值. 【分析】（1）化简为形式，利用求解； （2）根据（1）的结论，结合的取值范围及正弦函数的性质可求函数的最大、最小值. 【详解】（1）. 所以的最小正周期为. （2）由（1），因为，令，则， 所以当，即时取得最小值； 当，即时，取得最大值. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 8．（2026高三·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系设，应用数量积的坐标运算得出，最后应用两角差的正切公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 9．（2026高三·福建福州·月考）已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先建立坐标系，然后求出点的坐标，并设出点的坐标，进而得到向量的坐标，用数量积公式求出，最后利用二次函数求出最值 【详解】已知，所以是等边三角形，边长为2， 以中点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立如图所示平面直角坐标系，    则，设， 所以，即， 因为，所以当时，有最大值2， 因此的最大值为2. 故选:B 10．【多选】（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则下列不是的最大值的是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】ABD 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，其中且，根据数量积的坐标表示得到，再由几何关系求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，其中且， 所以， 所以， 因为，当且仅当点或点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：ABD （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 11．（2026高一·新疆阿克苏·期末）已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】B 【分析】根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 12．（2026高一·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以. 故选：C 13．（2026高一·天津西青·月考）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 14．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 题型4：平面向量模的最值问题 15．（2026高三·河南南阳·期中）已知：，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量与的夹角为，由可得，进而结合平面向量的运算律可得，进而根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 由，得， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以的最大值为. 故选：B. 16．（2026·北京海淀·模拟预测）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 17．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，然后对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，最后得出答案． 【详解】因为，所以， 又，，，解得， ，且，， 即向量与的夹角为． 故选：A． 18．（2026·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 19．（2026高一·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解. 【详解】根据题意知O为坐标原点，，， 所以，， 则. 故选：C 20．（2026高三·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系求出，再利用向量夹角的坐标表示求得答案. 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 21．（2026高一·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 22．（2026高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 题型6：由平面向量夹角范围求参 23．（2026高一·山东潍坊·期末）已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， 的夹角为钝角； ，且不平行； ； 解得，且； 的取值范围为：． 故选：B． 24．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型7：平面向量的垂直问题 25．（2026高一·吉林长春·期末）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标法求解向量的数量积，若，则它们的数量积为0. 【详解】由，则,解得. 故选：B. 26．（2026高一·湖北武汉·期末）设，若，则实数（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的坐标运算求得，结合向量数量积的坐标运算可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：D. 27．（2026高一·全国·周测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标运算逐项计算判断即可得结论. 【详解】对于A，由，故与不平行，故A错误； 对于B，由，故与不垂直，故B错误； 对于C，由，则，故与不平行，故C错误； 对于D，由，则，故D正确． 故选：D． 28．（2026高一·天津·月考）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量，根据、的坐标运算可得答案. 【详解】设向量，则，， 因为，， 所以，，解得，， 则. 故选：A. 29．（2026高一·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示得出和，再结合向量线性运算的坐标表示得出，利用两向量垂直，数量积为0，即可解出实数的值. 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 即， 解得. 故选：B. （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型8：平面向量的投影问题 30．（2026高一·安徽合肥·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 31．（2026高一·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由投影向量的公式可知，结合条件可得. 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 32．（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量公式可求投影向量的坐标. 【详解】向量在方向上的投影向量为， 故选：A. 33．（2026高一·重庆江津·月考）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案. 【详解】因为， 所以，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C. 34．（2026高一·江西·期末）已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意根据投影向量公式可得，再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】由题知，所以， 所以，， 解得， 所以，又，所以． 故选：. 1．（2026高一·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B 2．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 3．【多选】（2026高三·福建泉州·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 4．（2026高一·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】由向量坐标运算及垂直的坐标表示可求. 【详解】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 故选：C. 5．（2026高一·海南海口·月考）如图，构成九宫格的各个正方形方格的边长为1，向量，，的起点和终点均在格点上，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】如图建系，写出向量，，的坐标，利用向量的加法运算及数量积运算计算即可得解. 【详解】   如图建立平面直角坐标系，则，，， 则，. 故选：B. 6．（2026高一·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解. 【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，则，故A正确； 故选：A. 7．（2026高一·山东临沂·月考）已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量加减法计算得出，应用数量积公式计算判断A，应用平行坐标表示判断B，应用夹角公式计算判断C，根据模长公式计算判断D. 【详解】因为平面向量，满足，，则， 对于A：，所以A错误； 对于B：因为，，则，B选项错误； 对于C：，所以，C选项正确； 对于D：，所以，D选项错误. 故选：C. 8．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 9．（2026高一·江西赣州·期中）已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意结合数量积的坐标运算求得，进而可求模长. 【详解】设，则，解得， 即，所以． 故选：A． 10．（2026高一·辽宁朝阳·期中）已知平面向量，满足，，若，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标得出，再利用得出，再代入中即可求解. 【详解】，， ，，即，， ， 故选：D. 11．（2026高一·广东深圳·期末）和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或， 故或，结合选项可知选项B即为所求. 故选：B 12．（2026高三·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量模长的求法，结合向量数量积及夹角公式，直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 13．（2026高一·江苏宿迁·期中）四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设正方形的边长为3，写出点的坐标，利用向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平间直角坐标系， 设正方形的边长为3， 则， 故， 所以. 故选：B 14．（2026高一·北京平谷·期末）已知向量满足，且的夹角为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，且的夹角为， 所以，， 所以. 故选：B 15．（2026高一·重庆·期末）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量的意义求得结论. 【详解】由已知可得，.因为，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 16．（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 17．（2026高一·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 18．（2026高一·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【详解】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 19．（2026高一·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题6 平面向量数量积的坐标表示8题型分类 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . (3)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (4)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. （一） 数量积的坐标运算 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 题型1：数量积的坐标运算 1．（2026高一·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026高一·北京西城·期末）已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2026高一·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·广东潮州·期末）在中，已知，，，点M为上的点，且，则（） A． B． C． D． 题型2：利用坐标求数量积的最值（范围） 6．（2026高三·四川绵阳·开学考试）记向量，记函数． (1)求的最小正周期． (2)求在的最大值和最小值． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026高三·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 9．（2026高三·福建福州·月考）已知中，,点在边上移动，满足向量，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．【多选】（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，分别为边上的动点，且，则下列不是的最大值的是（    ）    A．6 B．9 C．12 D．15 （二） 平面向量的模 1、若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2、若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 3、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 题型3：平面向量的模 11．（2026高一·新疆阿克苏·期末）已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 12．（2026高一·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ）． A．2 B． C． D． 13．（2026高一·天津西青·月考）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 14．（2026高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 题型4：平面向量模的最值问题 15．（2026高三·河南南阳·期中）已知：，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·北京海淀·模拟预测）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 （三） 平面向量的夹角 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项： 利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. 利用cos θ＝判断θ的值时：要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 题型5：平面向量的夹角问题 17．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高一·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高三·贵州·开学考试）设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026高一·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 22．（2026高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 题型6：由平面向量夹角范围求参 23．（2026高一·山东潍坊·期末）已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （四） 平面向量的垂直问题 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 题型7：平面向量的垂直问题 25．（2026高一·吉林长春·期末）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 26．（2026高一·湖北武汉·期末）设，若，则实数（   ） A． B．0 C．2 D． 27．（2026高一·全国·周测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 28．（2026高一·天津·月考）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 29．（2026高一·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． （五） 平面向量的投影问题 已知非零向量，是与的夹角，则向量在向量方向上的投影为 向量在向量方向上的投影为 题型8：平面向量的投影问题 30．（2026高一·安徽合肥·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 32．（2026高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·重庆江津·月考）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 34．（2026高一·江西·期末）已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为（   ） A． B． C． D． 1．（2026高一·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2026高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2026高三·福建泉州·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 4．（2026高一·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 5．（2026高一·海南海口·月考）如图，构成九宫格的各个正方形方格的边长为1，向量，，的起点和终点均在格点上，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026高一·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 7．（2026高一·山东临沂·月考）已知平面向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期中）设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 9．（2026高一·江西赣州·期中）已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高一·辽宁朝阳·期中）已知平面向量，满足，，若，则（   ） A．2 B．4 C． D． 11．（2026高一·广东深圳·期末）和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 13．（2026高一·江苏宿迁·期中）四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·北京平谷·期末）已知向量满足，且的夹角为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 15．（2026高一·重庆·期末）已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 16．（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 17．（2026高一·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 18．（2026高一·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 19．（2026高一·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $