3.7 切线长定理 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件围绕切线长定理展开，从圆内、圆上点作切线的问题切入，通过观察思考、动手操作建立切线长概念，经猜想与推理论证形成定理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过折叠、作图等实践培养几何直观，推理论证环节发展推理能力，合作探究与分层练习结合提升应用意识。学生能深化知识理解，教师可依托完整流程高效教学。

切线长定理 1 问题1：经过⊙O内一点Ｐ能作圆的切线吗？ ？ 提出问题 过圆上一点呢？如何作？能作几条？ 2 ①OB是⊙O的半径吗？ 问题2：在刚才画好的切线上取异于A的一点P，连结PO. 沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B，观察并思考： 观察思考 ②PB是⊙O的切线吗？ 经过圆外一点，可以作圆的 条切线 P A B 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 问题3：如何过⊙O外一点P作⊙O的切线？ 动手做一做 探索新知 O B P · · A · 切线长: 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长. 问题4：切线与切线长的区别？表示切线长线段的两个端点分别是哪两个？ 问题5：如图，过P点作⊙O的两条切线PA，PB，A,B分别是切点. 判断图中的PA与PB，∠OPA与∠OPB有何关系？ 探索新知 P A O B 猜想：已知任意的⊙O，取不同位置的圆外一点P，过P作圆的两条切线PA，PB，A，B分别为切点. 均有PA=PB，∠OPA=∠OPB 吗? 探索新知 P A O B 探索新知 推理论证 已知：从⊙O外的一点P引⊙O的两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： PA=PB，∠OPA=∠OPB. O P A B 切线长定理： ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB， ∠OPA=∠OPB 符号语言 B O P A 探索新知 O 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）若PA=4、PD=2，求半径OA （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 合作探究 例.如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P. 求证：AB＋CD＝AD＋BC 新知运用 2.如上右图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O的半径是 . 巩固练习 6 30° 1.如下图，PA、PB是⊙O的两条切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的度数是 . x 2x 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD与⊙O切于点E，分别交PA，PB于C、D. (1)图中相等的线段有几对？ C · O P B D A E 巩固练习 (2)已知△PCD的周长是14 cm，求PA； (3)已知PA=8 cm，△PCD的周长． （1）3对，分别是PA=PB，DA=DE，CE=CB； （2）7 cm； （3）16 cm. 1.知识总结： 2.思想方法：特殊到一般、构造基本图形解题. （1）切线长的概念； （2）切线长定理及应用. 反思小结，巩固提高 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据. 14 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连接圆心和切点 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 归纳：作辅助线方法： A P O B M 如图，⊙O的直径AB=12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C. 设AD=x，BC=y，求y与x的函数关系式. 课后思考 x y y-x F $