3.7 切线长定理（导学案）数学北师大版九年级下册

3.7切线长定理 导学案 1.理解切线长的定义。 2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题。 学习重点：切线长的概念与切线长定理。 学习难点：灵活运用切线长定理进行几何综合推理与计算。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①切线的判定定理：过半径外端且 半径的直线是圆的切线. ②与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的 .三角形的内心就是三角形的 的交点． ③三角形的内心到三角形的 相等.如图，即OD= = . 2.情景引入 问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2:过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示） 直径所对的圆周角是直角. 新知自研：自研课本第94--95页的内容． 【学法指导】 自研课本P94-95页的内容，思考： ●探究一：切线长的定义 1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线， 和 之间的线段的长叫作切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ●探究二：切线长定理 ◆1.议一议 PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 问题：已知：PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. 求证：PA = PB. ◆2.知识归纳 切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 . 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ . 注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. ◆3.想一想 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中与∠OAC相等的角； （3）写出图中所有的全等三角形； （4）写出图中所有的等腰三角形. ◆4.练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=____; （2）若∠BPA=60 °,则OP=_____. ●探究二：切线长定理的应用 ◆1.做一做 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°. (1) 求△PDE的周长；(2)求∠DOE的度数. ◆2.知识归纳 切线长问题辅助线添加方法: （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. ◆3.想一想 ①如图所示，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流． ②图中线段还有其他的等量关系吗？ ③归纳：圆的外切四边形的两组 相等． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝10，BC＝24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论切线长定理的证明过程和切线长常见的辅助线作法； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是(　　) A．10 B．12 C．5 D．10  2.如图，PC，PB分别切☉O于点C，B，若AB是☉O的直径，∠P=70°，则∠A的度数为（ ） A. 55 ° B.60° C.70° D.80° 3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是(　　) A.∠APO =∠BPO B.PA = PB C.AB ⊥OP D.PA = PO 4.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(　 　) A.7 B.14 C.10.5 D.10 5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是______度． 6.如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝_____ °． 7. 如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC=_____. 8.如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长． 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径． 题型一： 利用切线长定理求角度 1．如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（　　） A．50° B．60° C．25° D．90° 2．如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 3．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　． 4．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 题型二： 利用切线长定理求线段长度 5．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 　 　． 6．如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 7．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（　　） A．5 B．5.5 C． D．6 8．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12． （1）求BF的长； （2）求⊙O的半径r． 题型三： 利用切线长定理求周长 9．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 10．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（　　） A． B．6 C． D． 题型四： 利用切线长定理求面积 12．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A．18﹣3π B． C． D． 13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 14．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E． （1）求弦AB的长； （2）求阴影部分的面积． 题型五： 利用切线长定理进行证明 15．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA． （1）求证：∠POA＝2∠PCB； （2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值． 16．如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． ▲1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线， 和 之间的线段的长叫作切线长． ▲2.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 . 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7切线长定理 导学案 1.理解切线长的定义。 2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题。 学习重点：切线长的概念与切线长定理。 学习难点：灵活运用切线长定理进行几何综合推理与计算。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. ②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点． ③三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，即OD=OE=OF. 2.情景引入 问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ 问题2:过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示） 直径所对的圆周角是直角. 新知自研：自研课本第94--95页的内容． 【学法指导】 自研课本P94-95页的内容，思考： ●探究一：切线长的定义 1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． 2.切线长与切线的区别在哪里？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ●探究二：切线长定理 ◆1.议一议 PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 解：这个图形是轴对称图形，它的对称轴是点P，O所在的直线． （2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. 解：PA＝PB，因为这个图形是轴对称图形，根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA＝PB．也可以利用三角形全等来证明. 问题：已知：PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. 求证：PA = PB. 证明：如图，连接OA，OB. ∵PA，PB是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°， 在Rt△POA和Rt△POB中， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)， ∴ PA = PB. ◆2.知识归纳 切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA =PB. 注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. ◆3.想一想 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系； 解：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （2）写出图中与∠OAC相等的角； 解：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. （3）写出图中所有的全等三角形； 解：△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. 解：△APB， △AOB ◆4.练一练 PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=____; （2）若∠BPA=60 °,则OP=_____. 解：5,6 ●探究二：切线长定理的应用 ◆1.做一做 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°. (1)求△PDE的周长；(2)求∠DOE的度数. 解：接OA、OB、OC、OD和OE. ∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点， PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. 又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB. =PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. ∵OA=OC，OD=OD， ∴△AOD≌△COD， ∴∠DOC=∠DOA=∠AOC. 同理可得∠COE=∠COB. ∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+∠COB）=70°. ◆2.知识归纳 切线长问题辅助线添加方法: （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. ◆3.想一想 ①如图所示，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流． 解：∵ 四边形ABCD为圆外切四边形， 根据切线长定理可得：AH＝AE，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH． ②图中线段还有其他的等量关系吗？ 解：AH+DH+BF+CF＝AE+DG+BE+CG, 即AD+BC=AB+CD． ③归纳：圆的外切四边形的两组对边之和相等． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝10，BC＝24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径． 解：如上图，连接OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF，设OD＝r． 在Rt△ABC中，AC=10，BC=24， ∴ ． ∵ ⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，CE＝CF． 又∵ ∠C=90°， ∴ 四边形OECF为正方形． ∴ CE＝CF＝r， ∴ BE＝24－r， AF＝10－r， ∴ AB＝BD＋AD＝BE＋AF＝24－r＋10－r＝34－2r，而AB＝26， ∴ 34－2r＝26， ∴ r＝4，即⊙O的半径为4． 教师提问：还有没有其他解法？ 【解法2】如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF， 在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24， ∴ ∵ ⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴ OD⊥AB，OE⊥BC ，OF⊥AC． 设⊙O的半径为r， ∵， ∴ ， ∴ r＝4，即⊙O的半径为4． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论切线长定理的证明过程和切线长常见的辅助线作法； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是(　　) A．10 B．12 C．5 D．10  解：A． 2.如图，PC，PB分别切☉O于点C，B，若AB是☉O的直径，∠P=70°，则∠A的度数为（ ） A. 55 ° B.60° C.70° D.80° 解：A． 3.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是(　　) A.∠APO =∠BPO B.PA = PB C.AB ⊥OP D.PA = PO 解：D. 4.如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(　 　) A.7 B.14 C.10.5 D.10 解：B． 5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是______度． 解：20 6.如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝_____ °． 解：90 7. 如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC=_____. 解： 8.如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长． 解：连接OA，则OA⊥PA. 在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm， 根据勾股定理，得AP＝12cm. ∵PA、PB、DE是⊙O的切线， ∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB， ∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE ＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm. 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F. (1)求证：BE＝CE； 解：(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF. ∵AB＝AC， ∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF， ∴BE＝CE； (2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径． （2）解：连接OD、OE、OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°. 又∵OD＝OF， ∴四边形ODAF是正方形． 设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r. 在△ABC中，∠A＝90°， ∴BC＝＝2. 又∵BC＝BE＋CE， ∴(2－r)＋(2－r)＝2，得r＝2－， ∴⊙O的半径是2－ . 题型一： 利用切线长定理求角度 1．如图是个一不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，则∠APB的度数为（　　） A．50° B．60° C．25° D．90° 【分析】连接OB，由AO＝OB得，∠OAB＝∠OBA＝25°，∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝130°；因为PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和即可求出∠APB． 【解答】解：连接OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠AOB＝130°， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OP⊥AB， ∴∠OAP+∠OBP＝180°， ∴∠APB+∠AOB＝180°； ∴∠APB＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题． 2．如图，在⊙O中，∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC的度数（　　） A．55° B．110° C．70° D．140° 【分析】连接OB、OC，由切线的性质得∠OBP＝∠OCP＝90°，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝110°，则∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC， ∵PB、PC分别与⊙O相切于点B、C， ∴PB⊥OB，PC⊥OC， ∴∠OBP＝∠OCP＝90°， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°， ∴∠BPC＝360°﹣∠BOC﹣∠OBP﹣∠OCP＝70°， 故选：C． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　． 【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论． 【解答】解：连接AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∵∠P＝102°， ∴∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°， ∵∠DAB+∠C＝180°， ∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°， 故答案为：219°． 【点评】本题考查了切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB＝78°，则∠COD的度数是 　 　． 【分析】由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°，而∠AOB＝78°，即可求出∠COD＝102°． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AO平分∠BAD，OB平分∠ABC， ∴∠1∠BAD，∠2∠ABC， ∴∠1+∠2（∠BAD+∠ABC）， ∴∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC）， 同理：∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD）， ∴∠AOB+∠COD＝360°（∠BAD+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝360°360°＝180°， ∵∠AOB＝78°， ∴∠COD＝102°． 故答案为：102°． 【点评】本题考查切线长定理，关键是由切线长定理推出∠AOB＝180°（∠BAD+∠ABC），∠COD＝180°（∠ADC+∠BCD），得到∠AOB+∠COD＝180°． 题型二： 利用切线长定理求线段长度 5．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 　 　． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AE，BE＝BD，求出BE的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AE， ∵BE、BD为⊙O的切线， ∴BE＝BD， ∴BD＝EB＝AB﹣AE＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 6．如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，得BC＝BD，BC⊥AC，则∠C＝90°，而AD＝BD＝3，所以BC＝3，AB＝6，则AC3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O， ∴BC＝BD，BC⊥AC， ∴∠C＝90°， ∵AD＝BD＝3， ∴BC＝3，AB＝AD+BD＝3+3＝6， ∴AC3， 故选：B． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识，证明∠C＝90°并且求得BC＝3是解题的关键． 7．如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（　　） A．5 B．5.5 C． D．6 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H，证明四边形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根据切线长定理可得答案． 【解答】解：如图，设⊙O与正方形ABCD的边AD、AB切于点F、H， 则∠OFD＝∠OFA＝∠OHA＝90°， ∵∠A＝90°，OH＝OF， ∴四边形AHOF是正方形， ∵⊙O的半径为4，且AB＝10， ∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10， ∴DF＝10﹣4＝6， ∵DE与⊙O相切于点E， ∴DE＝DF＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质、切线长定理，正方形的判定和性质，证明四边形AHOF是正方形，求出DF是解题的关键． 8．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12． （1）求BF的长； （2）求⊙O的半径r． 【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可． （2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴AC5， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE， 设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CF＝CE＝12﹣x， ∵AE+EC＝5， ∴13﹣x+12﹣x＝5， ∴x＝10， ∴BF＝10． （2）连接OE，OF， ∵OE⊥AC，OF⊥BC， ∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2． 即r＝2． 【点评】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型三： 利用切线长定理求周长 9．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可． 【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得 CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x． 则有9﹣x+10﹣x＝8， 解得：x＝5.5． 所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11． 故选：C． 【点评】此题主要是考查了切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题． 10．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长． 【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∵AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故选：C． 【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线EF切⊙A于点G，分别交DM，DN于点E，F．若D是BC的中点，则△DEF的周长是（　　） A． B．6 C． D． 【分析】根据切线长定理可知△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+EM+DF+FN＝DM+DN，连接AD，AN，在Rt△AND中，由勾股定理求出AN的长即可得出结论． 【解答】解：连接AD，AN，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝CD＝3， ∵D是BC的中点， ∴， ∴， ∵DM，DN分别切⊙A于点M，N， ∴DM＝DN，AN⊥DN， 同理：EM＝EG，FN＝FG， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+ME+DF+FN＝DM+DN＝2DN， 在Rt△AND中，， ∴△DEF的周长为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，掌握切线的性质和切线长定理是关键． 题型四： 利用切线长定理求面积 12．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（　　） A．18﹣3π B． C． D． 【分析】连接OA，OB，OP，由切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，可以证明Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），得到△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO＝30°，求出∠AOB＝120°，求出AP的长，求出扇形OAB的面积，△AOP的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接OA，OB，OP， ∵PA，PB切⊙O于A，B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）， ∴△AOP的面积＝△BOP的面积，∠APO＝∠BPO∠APB60°＝30°， ∴∠AOP＝∠BOP＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝3， ∴APOA＝3， ∴△AOP的面积OA•PA， ∴四边形AOBP的面积＝△AOP的面积×2＝9， ∵扇形OAB的面积3π， ∴阴影的面积＝四边形AOBP的面积﹣扇形OAB的面积＝93π． 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，关键是求出扇形OAB的面积，△AOP的面积． 13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，∠P＝60°，⊙O的半径为3．则阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【分析】连接OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据已知条件得到∠POA＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∵∠P＝60°， ∴∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ∴阴影部分的面积6π， 故选：D． 【点评】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 14．如图，直线PCD过圆心O，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB＝60°，PA＝4，AB与PD相交于E． （1）求弦AB的长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据切线长定理可以得出∠APB＝60°，△PAB为等边三角形，即可求出； （2）由S阴影＝S半圆O﹣S△ADE，分别求出各部分的面积即可得出答案． 【解答】解：（1）∵PA．PB与⊙O相切于A，B两点 ∴PA＝PB， ∵∠APB＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴AB＝PA＝4； （2）连接AD，OB， ∵PA，PB为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴OP平分∠APB，OP垂直平分AB， ∴∠APO∠APB＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵∠PAO＝90°， ∴OA， ∵AEAP＝2， ∴AD＝2AE＝4， ∴S阴影＝S半圆O﹣S△ADE π×（）22×2， π﹣2． 【点评】此题主要考查了切线长定理与扇形的面积公式等知识，求阴影部分面积不容易求出时，由特殊面积的差得出是常用方法． 题型五： 利用切线长定理进行证明 15．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA． （1）求证：∠POA＝2∠PCB； （2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值． 【分析】（1）根据切线长定理证明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得结论； （2）利用面积法求高线BE的长，利用勾股定理求OE，得CE的长，最后在Rt△OBE中，利用三角函数定义代入可得结果． 【解答】证明：（1）连接OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°， 在Rt△POA和Rt△POB中， ∵， ∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）， ∴∠POA＝∠POB， ∵∠POB＝2∠PCB， ∴∠POA＝2∠PCB； （2）过B作BE⊥PC于E， ∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3， ∴PO＝5， ∴PO•BEOB•PB， ∴BE， 由勾股定理得：OE， ∴CE＝OC+OE＝3， 在Rt△OBE中，tan∠PCB． 【点评】本题考查了切线长定理、圆周角定理、三角形全等的性质和判定和勾股定理、三角函数，作辅助线构建直角三角形是第二问的关键，本题难度适中． 16．如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径； （2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠GCF+∠EBF=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°；， 连接OF，则OF⊥BC， 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC==10， ∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF， ∴6×8=10×OF， ∴OF=4.8， ∴⊙O的半径为4.8； （2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°， ∵MN∥OB， ∴∠NMC=∠BOC=90°， 即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线， ∴MN=NG． 【点评】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． ▲1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． ▲2.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 几何语言： ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA =PB. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $