精品解析：河北省邢台市2026届高三上学期学业水平调研考试数学试题

高三（上）学业水平调研 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，故C正确. 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再根据复数的模的定义计算. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆 的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆定义得的取值，又由、之间关系求，进而得到焦距. 【详解】依题意得，解得.又，所以 ，从而， 所以焦距为. 故选：C. 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，根据周期公式求出，将代入，结合正弦函数图象求出 ，即可得到答案. 【详解】由图象可知， 又，所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以. 故选：B. 5. 在中，角的对边分别为，则“”是“ 为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性利用反证法求证，必要性举反例即可. 【详解】在中，因为，所以， 若，则，从而，这与矛盾，所以 为锐角； 反之，若，则满足 为锐角，但不能满足. 故“”是“ 为锐角”的充分不必要条件. 故选：A 6. 如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出，的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】因为，所以与所成的角即或其补角. 设 ，以 为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由三角恒等变换建立方程，即可求得答案. 【详解】设. 因为， 所以，化简得 ， 解得或.因为，所以，故. 故选：D. 8. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式画出函数图像，根据图像列出不等式求取值范围即可. 【详解】函数， 函数的图像如图所示，则，解得：， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学习小组共有6名同学，该学习小组在一次数学测验中的成绩（单位：分）分别为83，87，92，92，94，98，下列结论正确的是（ ） A. 该组数据的第70百分位数是92 B. 该组数据的众数是92 C. 该组数据的平均数是91 D. 该组数据的极差是15 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、众数、平均数、极差的定义逐一计算. 【详解】对于A，因为，所以该组数据的第70百分位数是第5个数据，即94， 故A错误； 对于B，因为92出现了两次，所以该组数据的众数是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 10. 定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 公积为3 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知新定义计算判断A，C，应用周期性计算求和判断B，分类计算判断D. 【详解】对于A，由，得正确； 对于B，由A知，该数列的周期为3，由，得，解得错误； 对于C，由B知，正确； 对于D，当时，，当时，，当时，错误； 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，圆，过点 的直线与抛物线 交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. C. 已知点，则对任意过点 的直线，都有 D. 已知圆上有一动点，抛物线 上有一动点，若，则的纵坐标的取值范围为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由倾斜角写出直线的方程，代入消元得一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理及抛物线焦点弦长公式求得，判断A选项；讨论斜率是否存在，得到直线方程，联立方程后，由韦达定理及焦点弦长公式求出，判断B选项；设，讨论直线斜率不存在或存在时令，解得，判断C选项；由圆上的点的性质将转化为，设点坐标，由建立不等式，求得点纵坐标的取值范围，判断D选项. 【详解】由，得 ，则抛物线 的方程为. 对于A，当直线的倾斜角为时，直线的方程为 ，代入， 消去得.设，则， 从而，A正确. 对于B，当直线的斜率不存在时，易得，则. 当直线的斜率存在时，设它的方程为，代入，消去得，则故，B正确. 对于C，结合B的解答，设，由，只要， 当直线的斜率不存在时，结论显然成立. 当直线的斜率存在时， 对任意的成立，所以 ，即定点，所以C错误. 对于，则可转化为. 设，所以， 解得，所以或 ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为其一个极值点，且，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】求导，利用极值点处导数为0求出，进而代入求出． 【详解】由，求导得， 为其一个极值点，，解得， ，此时， 当 时， ，函数在上单调递增， 当 时， ，函数在上单调递减， 当时， ，函数在上单调递增， 所以 满足条件，又， ，解得 ． 故答案为：4． 13. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量. 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正四面体的性质求出外接球的半径，球缺的高，代入公式可得答案. 【详解】如图，记正四面体PABC外接球的球心为，半径为，外接圆的圆心为. 因为，所以，所以，得， 所以球缺的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄（单位：岁）分成 这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在 内的人数为5. （1）求环境保护宣传组织的成员总人数； （2）若用分层抽样的方法从年龄在 内的志愿者中抽取6人参加某社区的宣传活动，再从抽取的6名志愿者中随机抽取2名志愿者进行环境保护知识宣讲，求至少有1名年龄在 内的志愿者被抽中的概率； （3）在（2）的条件下，该社区为了感谢2名进行环境保护知识宣讲的志愿者，为他们各随机派发价值80元、100元纪念品一件，求2人的纪念品总价值的分布列及期望. 【答案】（1）100 （2） （3） 160 180 200 180 【解析】 【分析】（1）由频率、频数与总数的关系计算即可得； （2）由分层抽样定义结合概率公式计算即可得； （3）表示出的可能取值后计算每种情况的概率可得其分布列，即可得其期望. 【小问1详解】 因为年龄在 内的人数为5，频率为 ， 所以环境保护宣传组织的成员总人数为 ； 【小问2详解】 因为年龄在 内的频率分别为0.3，0.2，0.1， 所以用分层抽样的方法抽取的6名志愿者中， 年龄在 内的人数分别为3，2，1， 所以至少有1名年龄在 内的志愿者被抽中的概率为； 【小问3详解】 由题意可知的可能取值是160，180，200， 因为， 所以的分布列为 160 180 200 . 16. 在中，内角的对边分别为 ，且. （1）求 的大小； （2）求外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式化简等式，解得 ，即可求 的大小； （2）由余弦定理求得，然后由正弦定理即可求得外接圆的半径. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 即，解得或（舍去）. 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，所以. 设外接圆的半径为，则，所以， 所以外接圆的面积为. 17. 如图.在三棱柱中，是AC的中点， . （1）证明：平面. （2）已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：设，连接DE，则DE是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面 （2）①；②. 【解析】 【分析】(1)通过中位线证明线线平行，进而证得线面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解参数，再分别计算三棱柱体积和两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接.因为为AC的中点，所以. 因为平面， 所以 平面 设，则． 以 为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 由(1)知. 设平面的法向量为，因为， 所以，令，得 所以点到平面的距离，解得. ①三棱柱的体积． ②已知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，因为，， 所以，令 ，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线 上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形. （1）求双曲线 的方程. （2）已知直线过右焦点且与双曲线 的右支交于 两点，与两渐近线分别交于点 . ①求的取值范围； ②直线经过右焦点，且与双曲线 的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形特征求出点坐标，代入双曲线方程中，再结合焦点坐标可求； （2）①设直线的方程，与双曲线的方程联立，根据弦长公式求值化简即可； ②根据①求出的方程以及即可比大小. 【小问1详解】 依题意知菱形的边长为，且，所以， 所以，可得. 又，所以 ，由，得， 所以双曲线 的方程为. 【小问2详解】 ①法一：由题意可知，直线的斜率不为 ，故设直线的方程为 ， 由消去得， 设，则， 因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，即， 则 ， 又渐近线的方程为 ，所以由，得, 由，得， 不妨设， 则，所以， 因为，所以. 法二：由题意可知，直线的斜率不为 ， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， 因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，则， 则 又两渐近线方程为 ，所以由解得， 由解得， 不妨设， 则，所以， 因为，所以. 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 可得，， 则，，则， 综上，. ②法一：若，则的方程为， 由（2）①知，同理可得， 所以. 当 时，， 又，所以， 综上，. 法二：当直线的斜率存在时，因为，所以的方程为， 由（2）①知，同理可得， 所以. 当直线的斜率不存在时，， 又，所以. 综上，. 19. 已知函数. （1）若，证明：. （2）已知函数，存在不同的正数，使得. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明的问题等价于，令，利用导数得出在上的单调性可得答案； （2）①时，根据在上单调递增可得答案；时，在上单调递增，取得出 ，存在使得 .，再由.可得答案；②由，得.，令，根据在上单调递增转化为证，令，再构造，利用单调递减可得答案. 【小问1详解】 等价于，等价于. 令，则， 所以当时， ，则在上单调递增， 所以，所以； 【小问2详解】 ①. 当时， ，在上单调递增，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为，取， 则，所以， 所以， 所以存在，使得 . 当时，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增， 此时存在不同的正数，使得. 综上，，即的取值范围为； ②由，得， 即. 令，则 ， 所以在上单调递增. 不妨设，则，即， 所以，即. 要证，即证， 由已证的，故只需证， 即证，（*） 令，则不等式（*）等价于. 令，则， 所以单调递减，所以，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三（上）学业水平调研 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，则“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学习小组共有6名同学，该学习小组在一次数学测验中的成绩（单位：分）分别为83，87，92，92，94，98，下列结论正确的是（ ） A. 该组数据的第70百分位数是92 B. 该组数据的众数是92 C. 该组数据的平均数是91 D. 该组数据的极差是15 10. 定义：在一个任何一项都不为0的数列中，从第一项开始，连续三项的积都为同一个常数，称这个数列为类等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知类等积数列的前 项和为，且，则（ ） A. B. C. 公积为3 D. 11. 已知抛物线的焦点为，圆，过点的直线与抛物线交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 当直线的倾斜角为时， B. C. 已知点，则对任意过点的直线，都有 D. 已知圆上有一动点，抛物线上有一动点，若，则的纵坐标的取值范围为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为其一个极值点，且，则______． 13. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄（单位：岁）分成 这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在 内的人数为5. （1）求环境保护宣传组织的成员总人数； （2）若用分层抽样的方法从年龄在 内的志愿者中抽取6人参加某社区的宣传活动，再从抽取的6名志愿者中随机抽取2名志愿者进行环境保护知识宣讲，求至少有1名年龄在 内的志愿者被抽中的概率； （3）在（2）的条件下，该社区为了感谢2名进行环境保护知识宣讲的志愿者，为他们各随机派发价值80元、100元纪念品一件，求2人的纪念品总价值的分布列及期望. 16. 在中，内角的对边分别为 ，且. （1）求的大小； （2）求外接圆的面积. 17. 如图.在三棱柱中，是AC的中点， . （1）证明：平面. （2）已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形. （1）求双曲线的方程. （2）已知直线过右焦点且与双曲线的右支交于 两点，与两渐近线分别交于点 . ①求的取值范围； ②直线经过右焦点，且与双曲线的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由. 19. 已知函数. （1）若，证明：. （2）已知函数，存在不同的正数，使得. ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $