云南省曲靖市罗平县第一中学2025-2026学年上学期期末考试试卷高三年级数学

2025-2026学年上学期期末考试试卷 高三年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A.       B.       C.       D. 2.已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 3.函数满足：，若，，则（ ） A. 1    B.       C. 5    D. 4.已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2    B. 21，2    C. 21，4    D. 20，4 5.已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1    B.       C.       D. 6.函数有且只有一个零点，则的取值是（ ） A.       B.       C.       D. 7.若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A.       B. C.       D. 8.在中，是角所对的边长.若，则（ ） A.       B.       C.       D. 9.已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A.       B.       C.       D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 10.已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A.       B. 数列的通项公式为： C. 数列的前n项和为：      D. 数列为递减数列 11.下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则        . 13.已知边长为3的正的三个顶点都在球O的表面上，且与平面所成的角为，则球O的表面积为        . 14.已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则          . 四、解答题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分13分） 近年来，我国大学生毕业人数呈逐渐上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表： （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若大学的毕业生中小强､小华选择自主创业的概率分别为，求小强､小华至少有一人选择自主创业的概率． 参考公式： 16. （本题满分15分） 设常数.已知函数. （1）若，求在区间上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围. 17.（本题满分15分） 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 18.（本题满分17分） 已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. （1）求轨迹的方程； （2）试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. （3）试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 19. （本题满分17分） 已知函数，且曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值. （2）当时，证明：当时，. （3）当时，若存在，使得成立，证明：. 一、单选题 1. A【解析】由集合 和 的定义可知，. 故答案为：A. 2. D【解析】. A选项：共轭复数，故A错误. B选项：的虚部为，故B错误. C选项：模长，故C错误. D选项：对应点坐标为，在第四象限，故D正确. 故答案为：D. 3. D【解析】由，移项可得 . 用 替换 ，则 . 将 代入上式， 可得： 所以 ，即函数 是以6为周期的周期函数. 因为 ，又 ，所以 . 由 ，可得 . 则 ，故D选项正确. 故答案为：D. 4. C【解析】设数据为原数据组， 新数据组为（）， 原数据总和为， 新数据总和为， 代入原总和得， 新均值为， 原方差， 新数据与新均值差的平方和为， 化简得， 展开为， 原平方和为，所以新平方和为， 新方差为. 故选：C. 5. C【解析】由 ，展开可得 ，即 . 移项得 . 可得 在 上的投影向量为 . 故答案为：C. 6. B【解析】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 7. D【解析】圆，配方得. 因为圆存在，所以，即，其圆心，半径； 圆，圆心，半径. 两圆无公共点，分两种情况： 外离：圆心距， 圆心距，则， 移项得，两边平方得，即. 结合，得. 内含：圆心距，即. 因为，当时，， 移项得，平方得，即 . 综上，的取值范围是. 故选：D． 8. B【解析】由，设，，（）. 根据余弦定理，，代入得： . 由正弦定理，得. 则. 故答案为：B. 9. D【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 将圆的方程化为标准方程：， 即， 所以圆心的坐标为，半径为. 根据抛物线的定义，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 而点到轴的距离等于点到准线的距离减去，即， 所以. 则，（其中为圆的半径）， 当且仅当，，三点共线且在线段上时取等号. 计算的距离：， 所以. 故答案为：D. 二、多选题 10. ACD【解析】已知A选项：已知， 当时，，A正确. 已知B选项：由 ①， 当时， ②. ①-②得：，则（）. 当时，也满足，所以数列通项公式为，B错误. 已知C选项：因为，，所以. ，C正确. 已知D选项：，. . 所以，数列为递减数列，D正确. 故选：ACD. 11. BC【解析】选项A：设数据为数据，数据为数据. 已知，则，A错误. 选项B：设等差数列公差为，其平均数. 当为奇数时，中位数是中间项， 由等差数列通项公式可得， ，，即中位数等于平均数； 当为偶数时，中位数是中间两项与的平均数，，， 它们的平均数为，即中位数等于平均数，B正确. 选项C：由方差公式，因为方差恒成立， 所以，即，C正确. 选项D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强， 则线性相关系数的绝对值越接近于， 当时为正相关，时为负相关，并非的值越接近于，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 【解析】由，设). 根据余弦定理，已知， 代入得：， 即，化简得). 由正弦定理，代入， 得：. 故答案为：. 13. 【解析】设正的外接圆圆心为，其外接圆半径. 与平面所成的角为，即. 在中，球的半径. 故球的表面积为. 故答案为：. 14. 【解析】设，为函数与直线的交点， ，为最值点. 由圆的对称性知，圆心为中点与中点的公共点， 即. 设函数周期为 ，则 ，. 四点共圆时，根据圆的性质，有 ， 所以. 因 ，，代入得：， 该式恒成立，故需利用圆心到各点距离相等：， 即：. 又 ，故. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：（1），. ，. . . 得关于的经验回归方程为. （2）设小强、小华选择自主创业的概率为，. 两人都不创业的概率. 至少一人创业的概率. 16. 解：（1）当时，， 由二倍角公式，则. 令，即，等式两边同时除以（时），得. 时，（）， 所以，解得. 时，，在内. 时，，在内. 当时，，代入得，故无此情况的解. 所以在上的零点为， . （2），对求导得. 因为在上严格增，所以在上恒成立， 即，化简得. 当时，，，两边除以得. 函数在上单调递增， 当时，，所以在上的最大值为. 因此时，恒成立，即在上严格增. 17. （1）证明：因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为，底面， 所以底面， 设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 ， 解得. 所以， 因为底面， 所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 18. 解：(1) 设动圆的半径为，由题意：圆与圆外切，则； 圆 与圆 内切，则 （因 ）. 两式相加得 ， 故圆心 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为 （），则 ，， 故 ，. 又圆 与圆 内切于点 ，动圆 不经过该点， 故轨迹方程为 （）. (2) 设 ，，由 知 . 因 ，且 （等底等高）， 故 ，即 . 计算 坐标：. 因 在椭圆上，代入得：. 展开并结合 满足椭圆方程 ，，化简得： . 直线 ， 的斜率乘积为 ， 由上式得：. 显然与 相关，非定值， 故斜率乘积不是定值. (3) 由 在椭圆上，有：， 展开并代入 ，得：， 的面积为：. 四边形 的面积为：， 故四边形的面积为定值. 19. (1)解：由 ，求导得 . 曲线在点 处的切线斜率为 ， 而切线方程为 ，其斜率为 ，故 . (2)证明：当 时，，求导得 . 因为 ，所以在上恒成立，即在上单调递增. 因此，当 时，，得证. (3)证明：当 时，，， 由题意知： 整理得 . 由(2)知， 在 上单调递增， 故 ，即 ， 代入上式得： 设，则 ， 代入上式并化简为： 构造函数 ，求导得 ， 故 在 上单调递增，所以 ， 即： 因为 ， 所以 ，即 ，得证. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $