第五单元 长方形和正方形讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学三年级下册（新教材）

第五单元 长方形和正方形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、图形的基本认识 1 二、边与角的特征 2 三、垂直与平行的概念及判断 2 四、长方形和正方形的关系 2 五、动手操作与实际应用 3 考点讲练 3 考点一：平行的特征及性质 3 考点二：垂直的特征 4 考点三：画垂线 5 考点四：点到直线的距离 6 考点五：画平行线 7 考点六：长方形的概念及特点 8 考点七：正方形的概念及特点 9 考点八：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 9 考点九：数图形 10 综合训练 11 知识梳理 一、图形的基本认识 1.长方形的定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形，有4条边、4个角，是四边形的一种。生活中常见的长方形物体有：课本封面、课桌面、教室的门等。 2.正方形的定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形，同样有4条边、4个角，也是四边形的一种。生活中常见的正方形物体有：魔方的面、正方形手帕、地砖等。 二、边与角的特征 （一）长方形的特征 1.边的特征：有4条边，对边（相对的两条边）长度相等。通常把长方形较长的边叫做“长”，较短的边叫做“宽”，即“长=长”“宽=宽”。 2.角的特征：有4个角，每个角都是直角（90°），可以用三角尺的直角比一比进行验证。 （二）正方形的特征 1.边的特征：有4条边，且4条边的长度都相等，每条边的长度叫做“边长”。 2.角的特征：有4个角，每个角都是直角（90°），同样可以用三角尺的直角验证。 三、垂直与平行的概念及判断 （一）垂直的概念与判断 1.定义：如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.判断方法：用三角尺的直角顶点对齐两条直线的交点，若三角尺的两条直角边分别与两条直线重合，则这两条直线互相垂直。 3.长方形和正方形中的垂直：长方形的邻边（相邻的两条边）互相垂直，即“长”和“宽”互相垂直；正方形的邻边也互相垂直，任意两条相邻的边都成直角。 （二）平行的概念与判断 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.判断方法： 观察法：在同一平面内，两条直线无论延长多远都不相交，则互相平行。 工具法：用直尺和三角尺配合，将三角尺的一条直角边与已知直线重合，直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺后平移三角尺，若另一条直线与三角尺的直角边重合，则两条直线平行。 3.长方形和正方形中的平行：长方形的对边互相平行，即“长”与“长”平行、“宽”与“宽”平行；正方形的对边也互相平行，且4条边中相对的两条边都平行。 四、长方形和正方形的关系 正方形是特殊的长方形。因为正方形满足长方形“对边相等、四个角都是直角”的所有特征，且额外具有“四条边都相等”的特点。即：正方形⊂长方形（正方形属于长方形的一种特殊情况）。 五、动手操作与实际应用 1.在方格纸上画长方形和正方形： 画长方形：先确定长和宽的格数（如长5格、宽3格），沿方格线画出4条边，确保对边长度相等、四个角是直角。 画正方形：确定边长的格数（如边长4格），沿方格线画出4条边，确保四条边长度相等、四个角是直角。 2.判断一个图形是否为长方形或正方形： 步骤1：数边的数量，确认是4条边（四边形）。 步骤2：用直尺测量边的长度，长方形需对边相等，正方形需四条边都相等。 步骤3：用三角尺的直角测量四个角，确认都是直角。 3.画垂线和平行线： 过直线上一点画垂线：将三角尺的直角边与已知直线重合，直角顶点与该点重合，沿另一条直角边画直线即可。 过直线外一点画平行线：用直尺和三角尺配合，按平行判断的工具法操作，确保画出的直线与已知直线不相交。 考点讲练 考点一：平行的特征及性质 【典例精讲】我国的汉字千千万万，有些汉字的笔画存在互相垂直或者互相平行的关系。在“上、下、左、王、三、川、十、风”这些汉字中，既存在互相垂直关系又存在互相平行关系的汉字有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相( )，也可能互相( )。 【变式训练】下图中有（    ）组互相平行的线。 A．4 B．3 C．2 【变式训练】下面是一组平行线。( ) 考点二：垂直的特征 【典例精讲】某景区为迎接春节，要在景区的一个湖边晚上设置灯光秀，小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，有4条路线可供选择（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【变式训练】在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线（    ）。 A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 D．不能确定 【变式训练】如图，村民到岸边取水，怎样走最近？村民到码头乘船，怎样走最近？分别在图中画出来。 【变式训练】如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 考点三：画垂线 【典例精讲】过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 【变式训练】画出从村庄到公路最近的路。 【变式训练】过点，分别作角两边的垂线和。 【变式训练】聪聪跳远落入沙坑的脚印如图所示，怎样测量他跳远的距离才正确，请画图表示。 考点四：点到直线的距离 【典例精讲】小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 【变式训练】画出如图中的小鸭子到河岸边的最短路线。 【变式训练】如图，淘气家有4条路可通往东和路，长度分别约是300米、330米、510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是( )米。 【变式训练】请你画一条从希望小学通向福安街最近的路。 考点五：画平行线 【典例精讲】过点A画已知直线的平行线。 【变式训练】下图是跑步比赛中的3号直跑道的一部分，你能画出它旁边的2号跑道和4号跑道的边线吗？ 【变式训练】经过点A分别画出已知直线的平行线。 【变式训练】中坝路和草坝路平行，且光明眼镜店就在中坝路上；江海路和人民路平行，且江海路在人民路的北边，草坝路的西边。请在下图中分别画出中坝路和江海路。 考点六：长方形的概念及特点 【典例精讲】图中长方形被挡住的角是直角。( ) 42．用一张长1分米，宽8厘米的长方形折正方形，最大的正方形的边长是( )厘米。 如图，所以，最大的正方形的边长是8厘米。 【变式训练】观察下面的长方形，一共有（    ）组线段互相垂直。 A．5 B．4 C．2 【变式训练】用两个同样的正方形边与边相连可以拼成（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．无法确定 考点七：正方形的概念及特点 【典例精讲】正方形的四条边是什么线？是( )；角的两条边是什么线？是( )。 【变式训练】在下面的方格纸上分别画一个正方形和一个长方形。 【变式训练】将一个正方形纸剪去一个角后，还剩3个角。( ) 【变式训练】画一画。 (1)在下面点子图上画出一个直角和一个钝角。 (2)接着画，把正方形、长方形补充完整。 考点八：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】在下图中接着画一个长方形和一个正方形。    【变式训练】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【变式训练】画一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。提示：图中每个小正方形的边长为1厘米。 【变式训练】接着画一个长方形。 考点九：数图形 【典例精讲】数一数如图中有( )个长方形。 【变式训练】数一数，包含☆的三角形有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 【变式训练】如图，在原图右侧又画了2个长方形，这样比原图增加了（    ）个长方形。 A．2 B．5 C．8 综合训练 1．数一数，下图中包含的正方形一共有（    ）个。 A．1 B．6 C．10 2．利用一组平行线画一个长方形时，平行线间的距离是这个长方形的（    ）。 A．长 B．宽 C．长或宽 3．在同一平面内画两条直线，如果它们都和这个平面内的第三条直线相交成直角，那么这两条直线（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 4．下图中，有（    ）组线段互相垂直。 A．3 B．4 C．5 5．公路上有三条小路可以通往农场，长度分别是325米、287米、224米，且其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．325米 B．287米 C．224米 6．工人叔叔在建楼的过程中，会用铅锤来检查墙壁是否与地面垂直，如果墙壁与地面垂直，那么铅垂线会与墙壁（    ）。 A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 7．下图中直线a和直线b的位置关系是( )，记作( )，读作( )。 8．下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相( )。横担与电线杆互相( )。 9．乐乐玩小木棍游戏。她在桌面上摆了三根小木棍，其中第一根垂直于第二根，第二根垂直于第三根，那么第一根小木棍和第三根小木棍互相( )。 10．在同一个平面内，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，则这两根小棒的关系一定是互相 。 11．在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )毫米。 12．如图，两张长方形纸重叠在一起，，( )°。 13．过点A画已知直线的垂线和平行线。 14．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 15．过点P画出直线l的垂线和平行线。 16．战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程） 17．小兔和小狗分别从A点和B点同时向房子跑去。 （1）如果它们的速度相同，你觉得（    ）先到达。 （2）请写出你的理由。 18．猜一猜。 淘气和笑笑在信封里装了一张彩色纸，你能根据下面的对话判断这张纸的形状吗？ 19．在一个长是8厘米，宽是5厘米的长方形中截出1个最大的正方形，这个正方形的边长是多少？剩下的图形的长是多少？宽是多少？ 20．如图是用一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知∠1＝32°，求∠2的度数。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 长方形和正方形 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、图形的基本认识 1 二、边与角的特征 2 三、垂直与平行的概念及判断 2 四、长方形和正方形的关系 2 五、动手操作与实际应用 3 考点讲练 3 考点一：平行的特征及性质 3 考点二：垂直的特征 5 考点三：画垂线 8 考点四：点到直线的距离 10 考点五：画平行线 12 考点六：长方形的概念及特点 15 考点七：正方形的概念及特点 17 考点八：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 19 考点九：数图形 22 综合训练 23 知识梳理 一、图形的基本认识 1.长方形的定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形，有4条边、4个角，是四边形的一种。生活中常见的长方形物体有：课本封面、课桌面、教室的门等。 2.正方形的定义：由四条线段首尾相连围成的封闭图形，同样有4条边、4个角，也是四边形的一种。生活中常见的正方形物体有：魔方的面、正方形手帕、地砖等。 二、边与角的特征 （一）长方形的特征 1.边的特征：有4条边，对边（相对的两条边）长度相等。通常把长方形较长的边叫做“长”，较短的边叫做“宽”，即“长=长”“宽=宽”。 2.角的特征：有4个角，每个角都是直角（90°），可以用三角尺的直角比一比进行验证。 （二）正方形的特征 1.边的特征：有4条边，且4条边的长度都相等，每条边的长度叫做“边长”。 2.角的特征：有4个角，每个角都是直角（90°），同样可以用三角尺的直角验证。 三、垂直与平行的概念及判断 （一）垂直的概念与判断 1.定义：如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.判断方法：用三角尺的直角顶点对齐两条直线的交点，若三角尺的两条直角边分别与两条直线重合，则这两条直线互相垂直。 3.长方形和正方形中的垂直：长方形的邻边（相邻的两条边）互相垂直，即“长”和“宽”互相垂直；正方形的邻边也互相垂直，任意两条相邻的边都成直角。 （二）平行的概念与判断 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2.判断方法： 观察法：在同一平面内，两条直线无论延长多远都不相交，则互相平行。 工具法：用直尺和三角尺配合，将三角尺的一条直角边与已知直线重合，直尺紧贴三角尺的另一条直角边，固定直尺后平移三角尺，若另一条直线与三角尺的直角边重合，则两条直线平行。 3.长方形和正方形中的平行：长方形的对边互相平行，即“长”与“长”平行、“宽”与“宽”平行；正方形的对边也互相平行，且4条边中相对的两条边都平行。 四、长方形和正方形的关系 正方形是特殊的长方形。因为正方形满足长方形“对边相等、四个角都是直角”的所有特征，且额外具有“四条边都相等”的特点。即：正方形⊂长方形（正方形属于长方形的一种特殊情况）。 五、动手操作与实际应用 1.在方格纸上画长方形和正方形： 画长方形：先确定长和宽的格数（如长5格、宽3格），沿方格线画出4条边，确保对边长度相等、四个角是直角。 画正方形：确定边长的格数（如边长4格），沿方格线画出4条边，确保四条边长度相等、四个角是直角。 2.判断一个图形是否为长方形或正方形： 步骤1：数边的数量，确认是4条边（四边形）。 步骤2：用直尺测量边的长度，长方形需对边相等，正方形需四条边都相等。 步骤3：用三角尺的直角测量四个角，确认都是直角。 3.画垂线和平行线： 过直线上一点画垂线：将三角尺的直角边与已知直线重合，直角顶点与该点重合，沿另一条直角边画直线即可。 过直线外一点画平行线：用直尺和三角尺配合，按平行判断的工具法操作，确保画出的直线与已知直线不相交。 考点讲练 考点一：平行的特征及性质 【典例精讲】我国的汉字千千万万，有些汉字的笔画存在互相垂直或者互相平行的关系。在“上、下、左、王、三、川、十、风”这些汉字中，既存在互相垂直关系又存在互相平行关系的汉字有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查对汉字笔画关系的理解，要求找出同时存在互相垂直和互相平行关系的汉字。互相垂直指两条笔画相交成直角，互相平行指同一平面内两条笔画永不相交。结合每个汉字的笔画结构，逐一分析是否存在至少一对垂直笔画和一对平行笔画。 【详解】“上”：笔画为横、竖、横。竖笔与横笔相交成直角，存在互相垂直关系；两横笔不相交，存在互相平行关系。符合条件。 “下”：笔画为横、竖、点。竖笔与横笔相交成直角，存在互相垂直关系；不存在互相平行关系。不符合条件。 “左”：笔画为横、撇、横、竖、横。三横笔不相交，存在互相平行关系；横笔与竖笔相交成直角，存在互相垂直关系。符合条件。 “王”：笔画为横、横、竖、横。竖笔与横笔相交成直角，存在互相垂直关系；三横笔不相交，存在互相平行关系。符合条件。 “三”：笔画为横、横、横。三横笔方向不相交，存在互相平行关系；但不存在互相垂直关系。不符合条件。 “川”：笔画为撇、竖、竖。两竖笔不相交，存在互相平行关系；但不存在互相垂直关系。不符合条件。 “十”：笔画为横、竖。横笔与竖笔相交成直角，存在互相垂直关系；但不存在互相平行关系。不符合条件。 “风”：笔画为撇、横折弯钩、撇、捺。笔画无相交直角，不存在互相垂直关系；也无相交，不存在互相平行关系。不符合条件。 符合条件的汉字有“上”和“左”和“王”，共3个。 故答案为：B 【变式训练】把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相( )，也可能互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，两条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的；据此解答即可。 【详解】把一张长方形纸对折两次后，形成的折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 【变式训练】下图中有（    ）组互相平行的线。 A．4 B．3 C．2 【答案】C 【分析】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。通过延长线段的两端，看哪两条直线永不相交，那这两条就是互相平行的线。 【详解】根据分析，图中有2组互相平行的线。 故答案为：C 【变式训练】下面是一组平行线。( ) 【答案】× 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此即可解答。 【详解】如图：将这两条直线延长，它们会相交。 所以这不是一组平行线。原题说法错误。 故答案为：× 考点二：垂直的特征 【典例精讲】某景区为迎接春节，要在景区的一个湖边晚上设置灯光秀，小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，有4条路线可供选择（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。观察图形可知：景区大门（点A）是直线（湖边灯光秀所在直线）外的一点，路线AC是从A到该直线的垂线段。 【详解】AC与直线垂直，有直角符号标识，所以AC最短。 小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，AC路线最近。 故答案为：B 【变式训练】在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线（    ）。 A．相交 B．互相平行 C．互相垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意得，先画一条直线m，接着再画直线a和直线b分别垂直于直线m（如下图）。 由图可知，直线a和直线b互相平行，即垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 【详解】由分析可得，在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 故答案为：B 【变式训练】如图，村民到岸边取水，怎样走最近？村民到码头乘船，怎样走最近？分别在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】根据垂线段最短的性质，过村庄的点作河岸的垂线，垂线与河岸的交点为村民取水的最近地点；根据两点之间线段最短，可知连接村庄和码头两点的线段为最近的路。以此画图即可。 【详解】根据分析可知： 村民到岸边取水，过村庄的点作河岸的垂线，沿垂线走最近。村民到码头乘船，连接村庄和码头两点的线段，沿线段走最近。如图： 【变式训练】如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 【答案】 垂直 AD/DA 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由图可知，线段BF与直线m相交成直角，所以线段BF与直线m互相垂直；点A与直线m的连线中，只有线段AD与直线m垂直，所以最短的线段是AD。 【详解】由分析可知，线段BF与直线m互相垂直，点A与直线m的连线中，最短的线段是AD。 考点三：画垂线 【典例精讲】过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】用三角尺的一条直角边与直线a重合，另一条直角边用直尺抵住，移动三角尺，让三角尺的直角边过点A，然后画线，即可作出直线a过A点的平行线； 用三角尺的直角边与直线b重合，移动三角尺，让三角尺的另一条直角边过A点，即可画出过A点直线b的垂线。据此解答。 【详解】 【变式训练】画出从村庄到公路最近的路。 【答案】见详解； 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，村庄看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】 【变式训练】过点，分别作角两边的垂线和。 【答案】图见详解 【分析】三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线即可。 【详解】图如下： 【变式训练】聪聪跳远落入沙坑的脚印如图所示，怎样测量他跳远的距离才正确，请画图表示。 【答案】见详解 【分析】跳远规则为测量后脚印和起跳线的垂直距离，所以过两脚印中后脚印离起跳线较近的一个为落脚点，作起跳线的垂直线段即可。 【详解】如图： 考点四：点到直线的距离 【典例精讲】小鸭擅长游泳，走路却很吃力。现在它要先从点A走到岸边，再游到对岸，最后走到点B。请你为它设计最快的路线，并画出来。 【答案】见详解 【分析】根据点到直线的距离垂直线段最短和两点之间线段最短，设计小鸭从A点到B点的最快路线。据此解答。 【详解】因为小鸭子走路很吃力，所以小鸭子到岸边必须是垂直线段，所以先画出A点到岸边的垂直线段和B点到岸边的垂直线段；小鸭子擅长游泳，再连接两个垂足之间的线段，这样才是快的路线。 如图： 【变式训练】画出如图中的小鸭子到河岸边的最短路线。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段最短的性质，把河岸看作一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。首先把三角板的一条直角边，与河岸对齐，移动三角板，使小鸭子所在点与三角板的另一条直角边在一条直线上，画出直线，并标上垂足即可。 【详解】根据分析画图如下 【变式训练】如图，淘气家有4条路可通往东和路，长度分别约是300米、330米、510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是( )米。 【答案】300 【分析】根据图示，线路②是淘气家到东和路的垂直线段，根据直线外一点到该直线的垂线段最短，可知线路②是淘气家通往东和路的最短路线，据此解答。 【详解】根据分析可得： 因为直线外一点到该直线的垂线段最短 故线路②是淘气家通往东和路的最短路线 而四条路中最短的是300米 所以线路②的长度约是300米。 【变式训练】请你画一条从希望小学通向福安街最近的路。 【答案】见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把福安街看作一条直线，希望小学看作一个点，由点向直线画垂直线段即可，据此解答。 【详解】 考点五：画平行线 【典例精讲】过点A画已知直线的平行线。 【答案】画图见详解 【分析】根据画平行线的方法，先把三角板的一条直角边与已知直线重合，再把直尺靠在三角板的另一条直角边上，将直尺固定不动，沿直尺平移三角板，使第一条直角边过点A，最后沿第一条直角边画出过点A的一条直线，这条直线就是过点A的已知直线的平行线。 【详解】根据分析，画图如下： 【变式训练】下图是跑步比赛中的3号直跑道的一部分，你能画出它旁边的2号跑道和4号跑道的边线吗？ 【答案】见详解 【分析】平行线是指在同一平面内永不相交的两条直线，2号跑道在3号跑道的左边，4号跑道在3号跑道的右边。使用直尺等工具分别在3号跑道的左右两侧画出与之平行的直线，即可得到2号跑道和4号跑道的边线。 【详解】如图所示： 【变式训练】经过点A分别画出已知直线的平行线。 【答案】见详解 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】画图如下： 【变式训练】中坝路和草坝路平行，且光明眼镜店就在中坝路上；江海路和人民路平行，且江海路在人民路的北边，草坝路的西边。请在下图中分别画出中坝路和江海路。 【答案】见详解 【分析】根据中坝路和草坝路平行，且光明眼镜店就在中坝路上的要求，过图中代表光明眼镜店的点作草坝路的平行线；根据江海路和人民路平行，且江海路在人民路的北边，草坝路的西边的要求，在人民路上方作平行线，并确保该线位于草坝路的西边。 【详解】 考点六：长方形的概念及特点 【典例精讲】图中长方形被挡住的角是直角。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，明确长方形的四个角都是直角，即使有一个角被挡住，它仍然是直角，因此题意符合长方形的特征。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 图中长方形被挡住的角是直角。原题说法正确。 故答案为：√ 42．用一张长1分米，宽8厘米的长方形折正方形，最大的正方形的边长是( )厘米。 【答案】8 【分析】正方形的四条边的长度相等，长方形的对边相等。一张长方形的纸要折一个最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，据此解答。 【详解】1分米＝10厘米 如图，所以，最大的正方形的边长是8厘米。 【变式训练】观察下面的长方形，一共有（    ）组线段互相垂直。 A．5 B．4 C．2 【答案】B 【分析】根据题意，依据长方形的特征及性质可知：长方形有四组互相垂直的线段；每条边都和相邻的两条边垂直. 长方形的两条对边平行且相等，有4个角，每个角都是直角，每条边都和与它相邻的两条边互相垂直。 【详解】根据分析可知： 观察下面的长方形，一共有4组线段互相垂直。 故答案为：B 【变式训练】用两个同样的正方形边与边相连可以拼成（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．无法确定 【答案】B 【分析】正方形的四条边相等，两个相同的正方形，通过“边与边相连”（即共享一条完整的边，贴合在一起）时，即可以拼成一个新的图形，这个图形的对边相等，邻边不相等，所以新图形是一个长方形。据此作答。 【详解】如图所示： 用两个同样的正方形边与边相连可以拼成长方形。 故答案为：B 考点七：正方形的概念及特点 【典例精讲】正方形的四条边是什么线？是( )；角的两条边是什么线？是( )。 【答案】 线段 射线 【分析】直线没有端点，无限长，射线有一个端点，向另一端无限延伸，线段有两个端点，有固定长度，正方形的四条边都有固定长度且有两个端点，所以是线段；从一点引出两条射线所形成的图形叫做角，所以角的两条边是射线，据此填空即可。 【详解】正方形的四条边是线段；角的两条边是射线。 【变式训练】在下面的方格纸上分别画一个正方形和一个长方形。 【答案】图见详解 【分析】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。据此画图即可。 【详解】如图： （画法不唯一） 【变式训练】将一个正方形纸剪去一个角后，还剩3个角。( ) 【答案】× 【分析】正方形有4个角。剪去一个角后，剩下的角数取决于剪的位置和方式：可能剩下3个角（如沿对角线剪），也可能剩下4个或5个角（如剪到边上的点）。因此，不一定还剩3个角。据此解答即可。 【详解】 将一个正方形纸剪去一个角后，可能还剩3个角，也可能还剩4个或5个角。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】画一画。 (1)在下面点子图上画出一个直角和一个钝角。 (2)接着画，把正方形、长方形补充完整。 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】直角是等于90°的角，在点子图上，利用点子的横竖线，使两条线垂直即可画出直角； 钝角是大于90°而小于180°的角，在点子图上，画出一个开口比直角大的角； 正方形四条边相等且四个角都是直角，根据已有的边，按照正方形的特征补充完整； 长方形对边相等且四个角都是直角，根据已有的边，按照长方形的特征补充完整。 【详解】（1）根据分析，画图如下： （答案不唯一） （2）根据分析，画图如下： （答案不唯一） 考点八：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】在下图中接着画一个长方形和一个正方形。    【答案】见详解 【分析】正方形四条边一样长，长方形两组对边相等，在点阵图中借助点阵画横竖方向相应长度的线段即可。 【详解】由分析可得： 【变式训练】画一个长是7厘米、宽是4厘米的长方形。 【答案】见解析 【分析】长方形由邻边和对边组成，邻边相互垂直，对边相互平行，根据长方形的特点，用直尺画一条长7厘米的线段AB，用三角板的一条直角边对齐线段AB，三角板的另一条直角边过A画一条4厘米的线段AC，同样方法画另一条4厘米线段BD，最后连接CD，就形成了长方形。 【详解】如图： 【变式训练】画一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。提示：图中每个小正方形的边长为1厘米。 【答案】见详解 【分析】长方形的两组对边相等，有4个直角。长6厘米，画6个小格；宽3厘米，画3个小格据此画出这个长方形。 正方形四条边都相等，有4个直角。画边长为4个小格的正方形。据此作图即可。 【详解】 【变式训练】接着画一个长方形。 【答案】见详解 【分析】两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平分。因此，根据两条边画出对应的边，然后依次连接即可。 【详解】 考点九：数图形 【典例精讲】数一数如图中有( )个长方形。 【答案】10 【分析】有4个单独的小长方形，由2个小长方形组成的长方形有3个，由3个小长方形组成的长方形有2个，由4个小长方形组成的长方形有1个，相加即可求解。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 图中有10个长方形。 【变式训练】数一数，包含☆的三角形有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 【答案】B 【分析】单个小三角形：只有中间带☆的1个； 由2个图形组合：中间带☆的小三角形＋右侧小三角形，组成1个新三角形；中间带☆的小三角形＋左侧小三角形，组成1个新三角形； 整体大三角形：整个图形是1个包含☆的大三角形，将包含☆的三角形数量相加，即可求出包含☆的三角形有多少个。 【详解】1＋1＋1＋1 ＝2＋1＋1 ＝3＋1 ＝4（个） 因此包含☆的三角形有4个。 故答案为：B 【变式训练】如图，在原图右侧又画了2个长方形，这样比原图增加了（    ）个长方形。 A．2 B．5 C．8 【答案】B 【分析】先分析原图的长方形数量：原图是2个小长方形叠放，能组成的长方形有：2个小长方形＋1个由2个小长方形组成的大长方形。右图数一数单独的小长方形有几个，再数由2个小长方形组成的长方形有几个，由3个长方形组成的长方形有几个，相加得出总数；用右图总共长方形数量减去原图长方形的数量，即可求出增加的长方形的数量。 【详解】原图：2＋1＝3（个） 右图： 单独的小长方形：4个。 由2个小长方形组成的长方形：3个。 由3个长方形组成的长方形：1个。 总数： 4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（个） 8－3＝5（个） 因此比原图增加了5个长方形。 故答案为：B 综合训练 1．数一数，下图中包含的正方形一共有（    ）个。 A．1 B．6 C．10 【答案】B 【分析】基本的正方形中，包含的正方形有1个；由4个基本的正方形组成大一点的正方形中，包含的正方形有4个；由9个基本的正方形组成的最大的这个正方形也包含；合起来一共有6个包含的正方形。 【详解】由分析得出： 1＋4＋1＝6（个） 即，下图中包含的正方形一共有6个。 故答案为：B 2．利用一组平行线画一个长方形时，平行线间的距离是这个长方形的（    ）。 A．长 B．宽 C．长或宽 【答案】C 【分析】长方形的对边互相平行，邻边互相垂直。用一组平行线画长方形时，长方形的一边会与平行线重合，另一边垂直于平行线，而平行线间的距离是垂线段的长度。 【详解】若以平行于平行线的边为长，距离就是宽；若以平行于平行线的边为宽，距离就是长，因此平行线间的距离可对应长或宽。 故答案为：C 3．在同一平面内画两条直线，如果它们都和这个平面内的第三条直线相交成直角，那么这两条直线（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．既不垂直也不平行 【答案】B 【分析】根据平行的判断可知：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。 【详解】在同一平面内画两条直线，如果它们都和这个平面内的第三条直线相交成直角，那么这两条直线互相平行。 故答案为：B 4．下图中，有（    ）组线段互相垂直。 A．3 B．4 C．5 【答案】C 【分析】根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；正方形四个角是直角，4组线段相互垂直，再加一组对角线相互垂直，据此解答即可。 【详解】下图中，有5组线段互相垂直。 故答案为：C 5．公路上有三条小路可以通往农场，长度分别是325米、287米、224米，且其中有一条小路与公路是互相垂直的，这条小路的长度是（    ）。 A．325米 B．287米 C．224米 【答案】C 【分析】根据“从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短”这一性质，判断与公路垂直的小路长度，即找出三条小路中长度最短的。 【详解】把公路看作一条直线，农场看作直线外一点，从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短。 325米、287米、224米中，224米是最短的。 所以与公路垂直的小路长度是224米。 故答案为：C 6．工人叔叔在建楼的过程中，会用铅锤来检查墙壁是否与地面垂直，如果墙壁与地面垂直，那么铅垂线会与墙壁（    ）。 A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 【答案】C 【分析】垂直于同一条直线的两条直线互相平行。由题意得，铅垂线与地面是垂直的，如果墙壁与地面垂直，那么铅垂线会与墙壁互相平行。 【详解】由分析可知，如果墙壁与地面垂直，那么铅垂线会与墙壁互相平行。 故答案为：C 7．下图中直线a和直线b的位置关系是( )，记作( )，读作( )。 【答案】 平行 a∥b a平行于b 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，“∥”读作：平行于。 【详解】下图中直线a和直线b的位置关系是（平行），记作（a∥b），读作（a平行于b）。 8．下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相( )。横担与电线杆互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。从图中可以看出，四条电线在同一平面内彼此没有交点，故它们互相平行；横担与电线杆的方向成直角，故互相垂直。据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 下图是我们日常的电线杆示意图，图中4条电线互相平行。横担与电线杆互相垂直。 9．乐乐玩小木棍游戏。她在桌面上摆了三根小木棍，其中第一根垂直于第二根，第二根垂直于第三根，那么第一根小木棍和第三根小木棍互相( )。 【答案】平行 【分析】根据平行与垂直的定义，在同一个平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。本题中，第一根小木棍垂直于第二根，第二根小木棍垂直于第三根，且所有小木棍都在桌面上（同一平面），因此第一根小木棍和第三根小木棍互相平行。据此解答。 【详解】由分析可知，在桌面上摆了三根小木棍，其中第一根垂直于第二根，第二根垂直于第三根，那么第一根小木棍和第三根小木棍互相平行。 10．在同一个平面内，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，则这两根小棒的关系一定是互相 。 【答案】平行 【分析】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。在同一个平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。 【详解】如图： 在同一平面内，小棒a和小棒b都垂直于小棒c，则小棒a和小棒b互相平行。 所以在同一个平面内，把两根小棒都摆成和第三根小棒互相垂直，则这两根小棒的关系一定是互相平行。 11．在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出( )个同样大的正方形，这个正方形的边长是( )毫米。 【答案】 2 40 【分析】需要根据长方形和正方形的特征，结合题目要求确定能折出的正方形个数和正方形的边长。要在这个长方形中折出同样大的正方形，且要使折出的正方形个数最少，那么正方形的边长就要最大，根据长方形的长和宽的长度关系确定正方形的边长，即可算出正方形的个数。最后根据1厘米＝10毫米，把正方形的边长换算成毫米即可。 【详解】长方形的长8厘米，宽4厘米，长正好是宽的2倍，可以确定最大的正方形的边长为4厘米；沿着长折正好可以折出两个4厘米，宽是4厘米只能折出1个，那么总共能折出的正方形个数为2×1＝2个。所以至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是4厘米，4厘米＝40毫米。 所以，在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中，至少能折出2个同样大的正方形，这个正方形的边长是40毫米。 12．如图，两张长方形纸重叠在一起，，( )°。 【答案】40 【分析】根据图示，∠1与空白的角合起来是一个直角，利用90°减去40°求出空白角，∠2与空白角合起来也是90°，再利用90°减去空白角的度数就是∠2的度数。 【详解】据分析可知： 90°－40°＝50° 90°－50°＝40° 如图，两张长方形纸重叠在一起，∠1＝40°，∠2＝40°。 13．过点A画已知直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3．沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1．把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2．用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3．平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。这条直线就是已知直线的平行线。 【详解】画图如下： 14．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过A点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线a重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （2）过A点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线b重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的A点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】作图如下： 15．过点P画出直线l的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。据此作答。 【详解】根据分析画图如下： 16．战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程） 【答案】见详解 【分析】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等。 第一步，理解题目中的“平，同高也”这句话。这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。 第二步，解释平行线的特点。平行线是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，据此解答即可。 【详解】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，即平行线之间的距离处处相等。 17．小兔和小狗分别从A点和B点同时向房子跑去。 （1）如果它们的速度相同，你觉得（    ）先到达。 （2）请写出你的理由。 【答案】（1）小狗 （2）因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 【分析】（1）观察发现A点和B点在同一条直线上，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离； （2）根据点到直线的垂直线段最短这个概念说明理由，合理即可；据此解答。 【详解】根据分析： （1）如果它们的速度相同，你觉得小狗先到达。 （2）答：因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 18．猜一猜。 淘气和笑笑在信封里装了一张彩色纸，你能根据下面的对话判断这张纸的形状吗？ 【答案】长方形 【分析】确定可能的形状范围：长方形和正方形都有4条边，并且它们的4个内角都是直角。从对话中能知道这张彩色纸有4条边，4个角都是直角，所以这张纸可能是长方形或者正方形。    确定纸的具体形状：又因为对话里提到这张纸有两条边的长度是10厘米，另外两条边的长度是6厘米。而正方形的4条边长度是相等的，这张纸的边长度不一样，不满足正方形边的特征。长方形的特征是对边相等，这里正好有两条边是10厘米，另外两条边是6厘米，符合长方形边的特点。 【详解】答：根据这段对话可以判断这张纸的形状是长方形。 19．在一个长是8厘米，宽是5厘米的长方形中截出1个最大的正方形，这个正方形的边长是多少？剩下的图形的长是多少？宽是多少？ 【答案】正方形的边长是5厘米，剩下的图形的长是5厘米，宽是3厘米 【分析】长方形对边相等，长的边叫长，短的边叫宽；正方形每条边都相等，正方形的边叫边长。要在长方形中截出一个最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽。剩下的图形是长方形，原来长方形的宽是这个长方形的长，长－宽是这个长方形的宽，由此解答。 【详解】 8－5＝3（厘米） 答：这个正方形的边长是5厘米，剩下的图形的长是5厘米，宽是3厘米。 20．如图是用一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知∠1＝32°，求∠2的度数。 【答案】26° 【分析】长方形的4个内角都是90°，由折叠可知，∠1左边空白部分的锐角与∠1的度数相同，所以用90°减32°再减32°，即可求出∠2的度数。 【详解】∠2＝90°－32°－32°＝58°－32°＝26° ∠2是26°。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $