精品解析：安徽省阜南实验中学2025-2026学年第一学期高二期末质量检测数学试卷

阜南实验中学2025-2026学年第一学期高二期末质量检测 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是 A. B. C. D. 3. 双曲线的一个焦点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ） A. 24种 B. 54种 C. 96种 D. 120种 6. 已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在长方体中，已知为的中点，为的中点，则直线BD与EF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C. 比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差 D. 对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 10. 在的二项展开式中，以下判断正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为1024 B. 各二项式系数之和为32 C. 第3项系数最大 D. 常数项的值为90 11. 设为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则（ ） A. B. C. 当的面积为时，的方程为 D. 当轴时，的离心率 三、填空题 12. 双曲线的焦距是，则实数的值为______． 13. 已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 14. 已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 四、解答题 15. 求下列各曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆； （2）一个焦点为，实轴长为6的双曲线. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 已知双曲线的顶点为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜南实验中学2025-2026学年第一学期高二期末质量检测 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过捆绑法确定甲、乙、丙3人相邻的排法总数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】5名学生排成一排，共有种排法， 其中甲、乙、丙3人相邻有种， 所以甲、乙、丙3人相邻的概率为， 故选：A 2. 若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线l的倾斜角求出斜率，再根据直线l所过的点求出直线l的方程即可. 【详解】直线l的斜率等于tan45°=1，又直线l过点， 所以由点斜式求得直线l的方程为， 即. 故选：B． 3. 双曲线的一个焦点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程结合a，b，c的关系求出c的值即可得到结论． 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以焦点坐标为． 故选：A. 4. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率的乘法公式可求得的值. 【详解】由概率的乘法公式可得. 故选：C. 5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ） A. 24种 B. 54种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次， ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名， 分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况， 故选：B． 6. 已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，设双曲线右焦点为，由题，几何知识，双曲线对称性可得为直角三角形，即可得答案. 【详解】如图，设双曲线右焦点为，连接. 因，又，则为直角三角形，又由双曲线对称性可知四边形为平行四边形， 结合为直角三角形，则四边形为矩形，则为直角三角形. 因，又，则， 设，则. 则. 故选：A 7. 在长方体中，已知为的中点，为的中点，则直线BD与EF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再根据向量的点积公式求出这两个向量夹角的余弦值，得到异面直线BD与EF所成角的余弦值. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知，则，，，，，，. 因为为的中点，所以；为的中点，所以. 由，，可得. 由，，可得. 先计算. 再计算，. 所以. 而异面直线所成角的余弦值为其绝对值，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理分别表示出，利用椭圆定义得到的关系，从而得到，在中，由勾股定理得到之间的关系即为离心率. 【详解】 设，则，， 所以，解得， 则，. 在中，，即， 解得. 故选：D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C. 比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差 D. 对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数、决定系数、残差平方和，以及统计量的意义直接判断可得. 【详解】相关系数的绝对值越大，相关程度越强，A正确； 决定系数越大，拟合效果越好，故B正确； 残差平方和越小，模拟效果越好，故C错误； 统计量的值越大，分类变量X与Y相互独立的概率越小，即判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故D正确. 故选：ABD 10. 在的二项展开式中，以下判断正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为1024 B. 各二项式系数之和为32 C. 第3项系数最大 D. 常数项的值为90 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于选项A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故 A正确； 对于选项B：各二项式系数之和为，故 B 正确； 对于选项C：二项式展开式的通式公式为：， 第一项系数为：， 第二项系数为：， 第三项系数为：， 第四项系数为：， 第五项系数为：， 第六项系数为：， 所以，系数最大的是第二项，故 C 错误； 对于选项D：令，则，则，常数项的值应该为15，故选项D错误. 故选：AB. 11. 设为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则（ ） A. B. C. 当的面积为时，的方程为 D. 当轴时，的离心率 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据题意，可求得得解；对B，根据题意可得点在以点为圆心，为半径的圆上，求得，得解；对C，由椭圆焦点三角形面积公式求得，进而求出得解；对D，根据题意可得，结合椭圆焦点三角形面积公式求得，进而得解. 【详解】对于A，由，则，又， 所以，即，，故A正确； 对于B，由对称性可得，所以点在以点为圆心，为半径的圆上， ，故B错误； 对于C，因为，由椭圆焦点三角形面积公式得， ，解得，则， 所以椭圆方程为，故C正确； 对于D，当轴时，可得，由椭圆焦点三角形面积公式得， 即，解得， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 双曲线的焦距是，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案. 【详解】若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 若，则双曲线， ，所以焦距为， 解得：. 故答案为：或 13. 已知，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线的离心率公式列式计算，再求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为， 且，则，设，则，则， 则双曲线的渐近线的方程为. 故答案为：. 14. 已知为椭圆：上任意一点，为椭圆的左焦点，为圆：上任意一点，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点， 设其右焦点为， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点，圆心，半径为， . 当且仅当共线且在之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 求下列各曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆； （2）一个焦点为，实轴长为6的双曲线. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的性质求解； (2)根据双曲线的性质求解. 【小问1详解】 由题可设椭圆的标准方程为， 由题知，， ， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题可设双曲线的标准方程为， 由题知， ， 双曲线的标准方程为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，由条件易知底面为直角梯形， 又，为的中点， 所以,, 因为，即为等腰三角形，， 所以， 易知，故， 因为底面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证明线线垂直再证线面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以, 设平面与平面的法向量分别为， 则，， 取，取， 即， 设二面角的大小为，易知为钝角， 则. 17. 已知双曲线的顶点为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易求得的值，即得双曲线标准方程； （2）利用点到直线的距离公式求得，利用直角三角形求得，将其代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 因为双曲线的顶点为，且过点， 所以，且，解得. 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 如图，由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 任选一条渐近线，因可得， 又，所以， 故. 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，设为的中点， 因为为正三角形， 所以. 平面平面，平面平面，平面， 底面，而底面， ，又，平面， 平面，而平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为，. 由（1）知两两垂直，以为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系， ，取， 则，. . 设平面的法向量为， 则，取，则. 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立； （2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可． 【小问1详解】 依统计表可得列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 则， 故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联． 【小问2详解】 男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $