7.2 离散型随机变量及其分布列 巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.2 离散型随机变量及其分布列 1. （多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 2. （多选）已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7 C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3 3. 设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 4. 若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 已知随机变量X的分布规律为，则 . 6. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 7. 已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 9. 已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 10. 一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为 11. 某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 12. 某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列. 13. 从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.2 离散型随机变量及其分布列 1. （多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解. 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 2. （多选）已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7 C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算概率，可判断BCD. 【详解】因为，解得，故A正确； 由分布列知，故B正确 ，C错误. ，故D正确， 故选：ABD 3. 设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 4. 若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】可由分布列的性质直接求解. 【详解】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 5. 已知随机变量X的分布规律为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率之和为1计算即可. 【详解】由题意得，， 解得，所以. 故答案为： 6. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 7. 已知随机变量的分布列为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得参数值，结合互斥事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意，则，解得， . 故选：A. 8. 已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 9. 已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两点分布、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 10. 一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为 【答案】 X 2 3 4 P 【难度】0.94 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列 【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4. 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 因此X的分布列为： X 2 3 4 P 故答案为： X 2 3 4 P 11. 某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、由随机变量的分布列求概率 【分析】由已知分别得出资金和奖金的分布列，得出所需概率求解即可. 【详解】资金的分布列为 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 1.4 2.8 4.2 5.6 P 则. 故答案为：. 12. 某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分别计算出三位同学仅通过第一个环节的概率，再根据相互独立事件的概率求恰好两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）分别计算出三位同学进入决赛的概率，然后分析随机变量可能的取值及相应概率，即可求出随机变量的分布列． 【详解】（1）解：三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件， 则，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 13. 从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、用频率估计概率 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值及对应的概率可得分布列； （3）利用队员投中的概率和掌握了定点投篮技巧的概率，结合全概率公式列式分别求出即可. 【详解】（1）从甲队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. （2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为， ，， ， 所以X的分布列为 0 1 2 （3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $