精品解析：河南信阳市2025-2026学年上学期高三期末考试数学试题

2025—2026学年度上期高三期末考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】集合，由，得， 而，所以. 故选：C 2. 设复数，则复数z的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘方和复数的除法运算法则即可得到答案. 【详解】由题意，得 ．所以 的虚部为． 故选：B． 3. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行计算的值，再用模长公式计算即可. 【详解】， 因为，所以， 解得，故， 所以. 故选：B. 4. 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（ ） A. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C. 芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 5. 已知双曲线：与双曲线：互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为和，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意共轭双曲线和的半焦距相等，记为，则，再由及基本不等式计算可得. 【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为，且， 则，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 6. “142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（ ） A. 75 B. 66 C. 60 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】按千位数分别是7 ， 8，分类讨论，再按分步乘法计数原理可得答案. 【详解】满足条件的四位数需满足：千位为 7 或 8，且个位为偶数（即 2、4、8 之一）,分两类计算： （1）千位为 7：个位从  中任选，有 3 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有  种， 此类共有  个. （2）千位为 8：个位不能与千位重复， 只能从  中选，有 2 种选择； 中间两位从剩余 4 个数字中选并排列，有种， 此类共有  个. 总数为 . 故选：C 7. 已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数在上的值域，在上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，函数在上的值域包含于函数在上的值域， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，函数在上的值域为， 当时，，则， 即有，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：D 8. 设无穷等比数列的首项，记数列的前n项和为，则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】时验证充分性不成立，结合前项和公式验证即可. 【详解】充分性： 若为递增数列，当时， ，不满足， 故充分性不成立. 必要性： 当时，，不满足，故； 故，，则， 所以，结合，得， 故，即，所以， 又因为，所以，则， 所以数列是递增数列，故必要性成立. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，则 B. 已知随机变量，则 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y独立 D. 若随机变量，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据独立事件概率求法结合事件的运算求解；对于B：根据二项分布的期望公式以及期望的性质运算求解；对于C：根据独立性检验思想分析判断；对于D：根据正态分布的对称性运算求解. 【详解】对于选项A：因为A与B相互独立，则， 所以，故A错误； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 根据依据的独立性检验原则，可知分类变量X与Y相关，不独立，故C错误； 对于选项D：因为随机变量，且， 则，， 又因为，则， 即，解得，故D正确； 故选：BD. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定单调性，由已知不等式可得，再结合指数、对数及正弦函数单调性判断ABD；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C. 【详解】令函数，求导得，函数在上递增， 当时，，由，得， 不等式，则， 对于A，，则，A正确； 对于B，，，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由函数在上不单调，得由不能推出，D错误. 故选：AC 11. 中国结是一种传统的民间手工艺术，它有着复杂奇妙的曲线，带有浓厚的中华民族文化特色.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中“∞”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线.已知两定点，，动点满足，设P的轨迹为双纽线C，则下列结论正确的是（ ） A. 双纽线C的方程为 B. 双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离最大值为3 C. 双纽线C内（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为5个 D. 点Q在椭圆上，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双纽线定义，求得其轨迹方程，即可判断A，求出的范围，即可求出的范围，从而判断B，求出整点坐标，即可判断C，根据题意，求得，即可判断D. 【详解】对于 A : 由题意知，动点满足，，， 故， 即 ， 即，故A正确； 对于B：由，得，则， 解得，即的横坐标最大值是，所以， 双纽线上任意一点到坐标原点的距离 ，故B错误； 对于C：当时，故曲线内包含整点， 当时，故曲线内包含整点， 而在双纽线上，故双纽线内 (含边界) 的整点个数为，故C正确； 对于D：椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____. 【答案】 【解析】 【分析】分析出含的项和的项即可得到答案. 【详解】依题意可知，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. 13. 已知函数，若直线为曲线的一条切线，则____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，解得、. 【详解】由，得， 设函数上的切点为，则， 所以在此点处的切线方程为， 即， 因为直线为曲线的一条切线， 所以，解得 . 故答案为： 14. 已知，，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的余弦公式，结合同角公式求解. 【详解】由，得，而，则， 又 ，解得， 又，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 16. 设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项的和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立关于公差、公比的方程组求解. （2）由（1）求出，再按分段，利用等差数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 17. 在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. （1）求一名顾客中奖的概率. （2）若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）分布列见解析，数学期望为1；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式列式计算即可. （2）（i）求出的可能值并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）由（i）求出，再利用切比雪夫不等式建立不等式关系并求出最小值. 【小问1详解】 记事件抽到“马”与“到”，事件抽到“骏”与“驰”，事件抽到“龙”与“腾”， 则，而两两互斥， 所以顾客中奖的概率. 【小问2详解】 （i）小明全家中奖的人数的可能值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （ii）由（i）知，则， 由切比雪夫不等式，得， 即，则由，解得，而，则， 所以正实数a的最小值. 18. 已知函数. （1）若函数在上不单调，求实数a的取值范围； （2）求函数在上的最大值； （3）若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. 【小问3详解】 因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 19. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，F为其左、右焦点，且短轴长为，若点为椭圆C在第一象限的点，满足直线、的斜率之积为. （1）求椭圆C的方程. （2）若点关于原点的对称点为Q. （i）设点Q到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设椭圆在处的切线为，射线交于点.求证：. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）依题意，的斜率存在，设其斜率为，则， 由消去得， 则， 整理得，即， 又，则， 整理得，即，于是， 设过点与垂直的直线交轴于点，则直线的方程为， 令，得点的坐标为，则， 由（i）知，，同理得，则， 又，因此， 而，则，即平分， 又，则，又，则， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出即可. （2）（i）利用椭圆对称性及三角形面积，结合椭圆定义将表示为的函数，再利用两点间距离公式结合椭圆范围求出的范围即可；（ii）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合切线的特征及三角形面积公式推理得证. 【小问1详解】 依题意，，则， 而，，， 由直线的斜率之积为， 得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由椭圆对称性知，四边形为平行四边形，则， 即，于是，又， ，则， 则，，所以. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期高三期末考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则复数z的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 4. 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（ ） A. 芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B. 芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C. 芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D. 芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 5. 已知双曲线：与双曲线：互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为和，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. “142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是（ ） A. 75 B. 66 C. 60 D. 36 7. 已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设无穷等比数列的首项，记数列的前n项和为，则“为递增数列”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，则 B. 已知随机变量，则 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y独立 D. 若随机变量，且，则 10. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 中国结是一种传统的民间手工艺术，它有着复杂奇妙的曲线，带有浓厚的中华民族文化特色.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中“∞”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线.已知两定点，，动点满足，设P的轨迹为双纽线C，则下列结论正确的是（ ） A. 双纽线C的方程为 B. 双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离最大值为3 C. 双纽线C内（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为5个 D. 点Q在椭圆上，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____. 13. 已知函数，若直线为曲线的一条切线，则____. 14. 已知，，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 16. 设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项的和. 17. 在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. （1）求一名顾客中奖的概率. （2）若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 18. 已知函数. （1）若函数在上不单调，求实数a的取值范围； （2）求函数在上的最大值； （3）若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 19. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，F为其左、右焦点，且短轴长为，若点为椭圆C在第一象限的点，满足直线、的斜率之积为. （1）求椭圆C的方程. （2）若点关于原点的对称点为Q. （i）设点Q到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设椭圆在处的切线为，射线交于点.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $