精品解析：湖北荆州市石首市2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题

2025年秋季初中毕业年级质量检测 数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列中科院部分研究所的图标中，中心对称图形是（ ）. A. B. C. D. 2. 下列正多边形绕着它中心旋转后，能与自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 下列事件中，随机事件（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 购买一张彩票，中奖 D. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 4. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. B. C. D. 5. 母线长为8的圆锥的侧面展开图的圆心角为，这个圆锥的底面圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（ ） A. 17 B. 6 C. 33 D. 26 8. 如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（）的图像与轴的一个交点是，另一个交点在和之间，与轴交于正半轴，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 半径为，圆心角为的扇形面积是________． 12. 已知反比例函数 (k为常数，)的图像在同一个象限内，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值_________．(写出一个即可)． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 14. 二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴的正方向移动，以点为圆心，2为半径画，设点的移动时间为． （1）当与相切时，的值为________ （2）是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，当时，的最小值为________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 18. 如图，于点，于点，若，求证：． 19. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形图； （3）若该校有600名学生，请估计大约有多少名学生喜爱“体育类”社团活动？ （4）某班有2名男生和2名女生参加“科技类”社团中“探索奥秘社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为，，与双曲线交于，两点． （1）求和的值； （2）求的面积． 21. 如图，是直径，为的中点，交的延长线于点．连接，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为6，，求的长． 22. 某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设销售单价为元时，日销售利润为元． 销售单价/元 … 24 28 32 36 … 日销售量/盒 … 52 44 36 28 … （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ （3）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点边上时，求证：； （3）当点到的距离是点到距离的3倍时，写出所有符合条件的的长，并写出其中一种情况的求解过程． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求的解析式； （2）当点在线段上时，求的最大值； （3）设点，到直线的距离的和为（）． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季初中毕业年级质量检测 数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列中科院部分研究所的图标中，中心对称图形是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义．熟悉中心对称图形的定义，是解题的关键．中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做该图形的对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断即可. 【详解】解：选项绕着某一个点旋转，旋转后的图形不能和原来的图形完全重合，不是中心对称图形，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意； 选项绕着某一个点旋转，旋转后图形能和原来的图形完全重合，是中心对称图形，选项符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意． 故选：． 2. 下列正多边形绕着它的中心旋转后，能与自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，旋转的性质，熟练掌握正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的中心角都相等是解题的关键．根据正多边形绕中心旋转后能与自身重合的条件是旋转角度为中心角的整数倍，正多边形的中心角为除以边数n，据此计算各选项的中心角，判断是否为中心角的整数倍，即可解答． 【详解】解：∵ 正多边形的中心角， ∴旋转后能与自身重合，当且仅当是的整数倍时，符合题意， A、 正三角形：，，不符合题意； B、正方形：，，不符合题意； C、正五边形：，，不符合题意． D、正六边形：，，符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 购买一张彩票，中奖 D. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是，不可能是，故是不可能事件，不符合题意； C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，符合题意； D、通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，不符合题意， 故选：C． 4. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式， 根据反比例函数关系，设，利用已知条件求k，再代入计算v． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵时，， ∴， ∴． 当时，． 故选：B． 5. 母线长为8的圆锥的侧面展开图的圆心角为，这个圆锥的底面圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆的半径，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，据此根据弧长公式和圆的周长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为2， 故选：A． 6. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 先根据切线长定理和切线性质得到，，再根据等边对等角，结合等腰三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，是的直径， ∴，，又， ∴， ∴． 故选：B． 7. 一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（ ） A. 17 B. 6 C. 33 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形计算代数式的值． 【详解】解：∵m和n是方程的实数根， ∴由根与系数的关系，得，， 又∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、圆周角定理、角平分线的定义、勾股定理，得到射线是的平分线是解答的关键． 连接，先根据作图过程得到射线是的平分线，再根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由作图过程，射线是的平分线， ∴, ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换--旋转、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先得到，，过作轴于H，根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 如图，将线段绕点顺时针旋转得到，则，， 过作轴于H， 在中，，则， ∴， 故选：A． 10. 如图，二次函数（）的图像与轴的一个交点是，另一个交点在和之间，与轴交于正半轴，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数图像与系数的关系，根据二次函数的图像与性质，二次函数与轴的交点问题，二次函数图像与系数的关系逐一排除即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：、由图象可知，对称轴为， ∵二次函数图像与轴的一个交点是，另一个交点在和之间， ∴， ∴， ∵二次函数图像与轴交于正半轴， ∴， 则，故该选项错误，不符合题意； 、将代入得， 所以，由图像可知，当时，， 所以， 所以，故该选项正确，符合题意； 、由图像可知，当时，，故该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 半径为，圆心角为的扇形面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 12. 已知反比例函数 (k为常数，)的图像在同一个象限内，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值_________．(写出一个即可)． 【答案】1（正数即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质，由反比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数 （是常数，）的图像在同一个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，熟练掌握画树状图或列表法是解题的关键． 通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物品质量为， 列表如下： - - - - 共有种可能的结果，使天平恢复平衡的有种， 天平恢复平衡的概率为： 故填：． 14. 二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向轴的正方向移动，以点为圆心，2为半径画，设点的移动时间为． （1）当与相切时，的值为________ （2）是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，当时，的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点坐标，确定为等腰直角三角形，再利用切线性质得到圆心到直线的距离等于半径，结合角的性质求出线段长度，进而计算时间． （2）连接切线相关线段，利用切线性质与勾股定理将转化为关于的表达式，通过分析得出当最小时最小，再结合等腰直角三角形的性质求出的最小值，从而得到的最小值． 【详解】解：（1）过点作于点， 根据题意，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，，， 根据切线的性质得， ∴根据勾股定理，， ∴当最小时，最小； 当时，，，则， ∴， ∵当时，最小， ∴与重合， ∴的最小值为，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质、切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及最值问题，熟练掌握切线的性质和“垂线段最短”的原理是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解法（公式法、因式分解法），熟练掌握不同解法的适用条件及运算步骤是解题的关键． （1）通过判别式判断根的情况，再用公式法求解； （2）用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，． 17. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式的性质，二次函数的增减性，二次函数的图象平移，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）使用配方法求解即可； （2）根据二次函数图象的开口方向以及对称轴求解即可； （3）根据图象平移的规则求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，函数图象的开口方向向下， 又对称轴， 当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵将抛物线向左平移1个单位长度， 此时解析式为， ∵再向下平移2个单位长度， ∴解析式为． 18. 如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 19. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了________名学生； （2）补全条形图； （3）若该校有600名学生，请估计大约有多少名学生喜爱“体育类”社团活动？ （4）某班有2名男生和2名女生参加“科技类”社团中“探索奥秘社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）80 （2）见解析 （3）大约有225名学生喜爱“体育类”社团活动 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是： （1）用“艺术类”人数除以所占百分比求出被调查人数； （2）用被调查人数减去其他类型的人数求得“阅读类”的人数，即可补全条形图； （3）利用样本估计总体即可求解； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（人）， 即本次共调查了80名学生； 故答案为：80； 【小问2详解】 解：“阅读类”的人数为（人）； 补全条形图如图； 【小问3详解】 解：， 答：大约有225名学生喜爱“体育类”社团活动； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种， 抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为，，与双曲线交于，两点． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用． （1）将代入可求得，得到，再利用待定系数法即可求得； （2）联立求得，根据列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ， 将代入得，； 小问2详解】 解：解方程组， 得，， ， 对于直线，令，则， ， ． 21. 如图，是的直径，为的中点，交的延长线于点．连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、垂径定理、平行线的性质、勾股定理、弧和弦的关系等知识，熟练掌握切线的判定是解答的关键． （1）连接，根据垂径定理和平行线性质得到，再根据切线的判定可得结论； （2）过点作于点，先利用勾股定理求得，利用三角形的等面积法求得，在中和在中，利用勾股定理依次求得， ，最后根据等弧对等弦得到． 【小问1详解】 证明：连接， 为的中点， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：过点作于点， ，，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 为的中点， ， ． 22. 某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设销售单价为元时，日销售利润为元． 销售单价/元 … 24 28 32 36 … 日销售量/盒 … 52 44 36 28 … （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ （3）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）糖果销售单价定为30元或40元时，所获日销售利润为400元 （3）糖果销售单价定为35元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 【解析】 【分析】（1）设与的函数表达式为：，再把表格中的两组数值代入可求得和的值，即可求出与的函数表达式，再根据利润（售价进价）销量，即可求出与的函数表达式； （2）当时，，解出方程即可； （3）将日销售利润转化为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润的最大值． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 答：糖果销售单价定为30元或40元时，所获日销售利润为400元； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值450， 答：糖果销售单价定为35元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，求二次函数的最大值． 23. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）当点到的距离是点到距离的3倍时，写出所有符合条件的的长，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形判定与性质和勾股定理求解即可； （2）由旋转的性质得，，，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （3）根据题意，分①当点在的左侧时和②当点在的右侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：，，点为边的中点， ，， ，， ， ，， 根据勾股定理，； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得，，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：的长为或，求解如下， ①当点在的左侧时，过点作于点，过点作于点，作于点，过点作于点， 则四边形是矩形，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ； ②当点在的右侧时，过点作于点，过点作于点，作于点，过点作于点， 则四边形是矩形，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合，涉及等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求的解析式； （2）当点在线段上时，求的最大值； （3）设点，到直线的距离的和为（）． ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】（1） （2）取最大值4 （3）①；②当时，有4个点；当时，有3个点；当时，有2个点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一次函数解析式的求解，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题关键是将二次函数，一次函数与具体函数图象结合分析． （1）先求解出点与点的坐标，再将两个点的坐标代入函数解析式求解即可； （2）先表示出点，点与点的坐标，再表示出的长度，根据二次函数的最值求解即可； （3）①先求解出直线的函数解析式，再由边与角的关系得到和都是等腰直角三角形，根据与或这两种情况求解即可； ②作出关于的函数图象，再根据m的不同取值求解即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数， 当时，，即， 当时，，解得，，， 即，， 将，代入， 得，解得， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点， ∴点，点，点， ∵点在线段上，即， ∴， 当时，取最大值4； 【小问3详解】 解：①过点作于点，过点作于点， 设直线交于点，如图， 设直线为，将代入得，解得， ∴直线为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理，，， ∴，， 当时，， ， ∴； 当或时，， ， ∴； 综上可得，； ②由得，当时，有最大值， 关于的函数图象如图所示， ∴当时，有4个点， 当时，有3个点， 当时，有2个点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $