第十三讲：平面直角坐标系的概念（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十三讲：平面直角坐标系的概念 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平面直角坐标系 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 　 知识点02：平面直角坐标系中的点的坐标特征 1.对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置. 2.平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值. 3.平面直角坐标系中点的坐标特征 知识点03：知识结构 考点1：写出平面直角坐标系中的点的坐标 【典型例题】 已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法，掌握横坐标看轴、纵坐标看轴，左负右正、上正下负的规则是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标定义，先确定点到轴的水平距离和到轴的垂直距离，再结合所在象限确定坐标的正负． 【详解】解：点在轴左侧，距离轴个单位长度，因此横坐标为； 确定点纵坐标在轴上方，距离轴个单位长度，因此纵坐标为； 写出点的坐标为，对应选项B． 故选：B． 【变式训练1】 在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标确定位置，建立正确的平面直角坐标系是解本题的关键． 根据与的坐标建立平面直角坐标系，确定出与的坐标即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 则点和点的坐标分别为， 故选：D． 考点2：点到坐标轴的距离的应用 【典型例题】 点P到x轴的距离（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即可得出结果． 【详解】解：点P到x轴的距离为； 故选B． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征．根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴，， 又∵点M在第四象限内， ∴，， ∴点M的坐标为， 故选：B． 考点3：判断点所在的象限 【典型例题】 若点在x轴上，则点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，根据轴上点的纵坐标为0，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标和纵坐标均为负数， ∴点在第三象限． 故选：C． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴点的横坐标为正数．纵坐标为负数． ∴点在第四象限， 故选：D． 考点4：已知点所在的象限求参数 【典型例题】 已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，象限中点的符号问题，一元一次方程的应用． 根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，利用点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，． ∵点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 【变式训练1】 如果点在第三象限，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：∵第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正， ∴下列各点在第二象限的是， 故选：B． 2．若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标， 先根据P在x轴上判断出点P纵坐标为0，再根据点P到y轴上的距离的意义可得横坐标的绝对值为2，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴点P的纵坐标等于0， 又∵点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标是， 故点P的坐标为或． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，因为点到轴的距离是5，则，再进行计算，即可作答． 【详解】解：点到轴的距离是5， 则， 或， 或 故选：B． 4．如图所示，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是点的坐标的知识，熟练掌握点的坐标的表示方法是解题的关键； 首先观察直角坐标系知，点在第一象限，且到轴、轴的距离分别为2和1，结合点的坐标的表示方法即可求点的坐标； 【详解】解：观察图形可得，点的坐标为， 故选：C； 5．已知点在轴的负半轴上，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查点在坐标系中的位置．根据P点位置判断a的范围，从而判断Q点纵坐标的范围，进而得到答案． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴Q的横坐标为正，纵坐标为正， ∴Q位于第一象限， 故选：A． 6．有甲、乙两人，他们所在的位置不同，他们都以相同的单位长度建立不同的坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是”，若以乙为坐标原点（x轴、y轴正方向与甲的相同），则甲的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据平面直角坐标系中坐标的性质求解即可，熟练掌握坐标的性质是解题的关键． 【详解】解：以甲为坐标原点，那么乙的位置是，则以乙为坐标原点，甲的位置是， 故选：C． 7．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握第四象限点的坐标特征是解题的关键． 直接利用点的坐标特点进而分析得出答案即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的纵坐标为：，横坐标为：， ∴点的坐标为： ∴D选项符合题意． 故选：D． 8．已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，所以、同号，又，所以，，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可． 【详解】解：∵， ∴、同号， 又∵， ∴，， A、在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意； B、在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意； C、在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，不符合题意； D、在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 二、填空题 9．已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 10．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 11．若点的横坐标与纵坐标相同，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了点的坐标的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据点的横坐标与纵坐标相同，列出方程求解； 【详解】解：∵点的横坐标与纵坐标相同， ∴， 解得：，即， 故答案为：2； 12．已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，掌握第四象限点的特征：横坐标为正，纵坐标为负，是解题的关键．根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标． 【详解】解：点在第四象限， 横坐标是正的，纵坐标是负的， 到轴的距离是3，到轴的距离是2， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 13．已知，且，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，绝对值，点的坐标等知识点，解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 先根据有理数的乘法、加法，绝对值的知识判断出，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵，， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 14．已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值．根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得第一个空的答案，根据点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值，可得答案． 【详解】解：已知点A坐标为，则点A到x轴距离为2，到原点距离为， 故答案为：2，． 15．已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 16．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据已知点A、B的坐标建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标． 【详解】解：∵叶片尖端两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示∶ ∴叶柄底部点C的坐标为． 故答案为∶． 三、解答题 17．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来：，观察所描出的图形，它像什么？ 【答案】见解析，像一颗心 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示、描点作图及图形观察识别，解题的关键是准确根据点的横、纵坐标在坐标系中定位各点，再按指定顺序连接后观察图形形状． 先根据每个点的横坐标确定其在x轴上的对应位置，纵坐标确定其在y轴上的对应位置，依次在平面直角坐标系中描出点、、、、、；再按“”的顺序用线段将描出的点依次连接；最后观察连接后形成的图形，判断其像什么． 【详解】解：描点：在平面直角坐标系中，根据点的坐标定位—点横坐标为、纵坐标为，在x轴负半轴找到对应的点即为；点横坐标为、纵坐标为，在x轴正半轴找、y轴正半轴找，两线交点即为；同理依次描出、、、． 连线：按“”的顺序用线段依次连接各点． 观察图形：连接后形成的图形像一颗心． 18．如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3； (2)C，三； (3)D． 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中点的坐标． （1）直接根据平面直角坐标系作答即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可； （3）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3； 故答案为：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限； 故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数， 故答案为：D． 19．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P到y轴的距离等于2，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，正确分情况讨论是解题关键． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0可得，解之可得； （2）根据点P到y轴的距离为2，可得，可求出m值． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得 即或， 解得或． 20．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标． (2)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为或 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标的计算，能够熟练地转化线段长度与点的坐标是解题关键． （1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论； （2）以为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可． 【详解】（1）解：当点B在点A的右边时，点B的坐标为； 当点B在点A的左边时，点B的坐标为． 所以点B的坐标为或； （2）解：设点P到x轴的距离为h， 根据题意得，， 解得， ①当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为； ②当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为 综上所述，点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第十三讲：平面直角坐标系的概念 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平面直角坐标系 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 　 知识点02：平面直角坐标系中的点的坐标特征 1.对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置. 2.平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值. 3.平面直角坐标系中点的坐标特征 知识点03：知识结构 考点1：写出平面直角坐标系中的点的坐标 【典型例题】 已知点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 考点2：点到坐标轴的距离的应用 【典型例题】 点P到x轴的距离（   ） A．5 B．3 C． D． 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点3：判断点所在的象限 【典型例题】 若点在x轴上，则点在(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练1】 在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点4：已知点所在的象限求参数 【典型例题】 已知点在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式训练1】 如果点在第三象限，则（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 2．若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 3．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是5，则的值为（    ） A． B．2或 C．2 D．8 4．如图所示，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知点在轴的负半轴上，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．有甲、乙两人，他们所在的位置不同，他们都以相同的单位长度建立不同的坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是”，若以乙为坐标原点（x轴、y轴正方向与甲的相同），则甲的位置是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是 ． 11．若点的横坐标与纵坐标相同，则的值为 ． 12．已知点在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则的值是 ． 13．已知，且，则点在第 象限． 14．已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 15．已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 16．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为 ． 三、解答题 17．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来：，观察所描出的图形，它像什么？ 18．如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 19．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P到y轴的距离等于2，求m的值． 20．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标． (2)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $