精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 4. 若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2+ C. 2+2 D. 4 5. 已知椭圆，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的右焦点，P，Q为椭圆上的点，为等边三角形，且F为的重心，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆有3条公切线 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D. 两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 11. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini oval).在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于2，则下列结论正确的是（ ） A. P的轨迹方程为 B. P的轨迹关于y轴对称 C. 存在点P，使得 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且，则的周长为____. 14. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 16. 已知两条直线. （1）若，求； （2）若，求的值. 17. 已知点. （1）求的外接圆D的方程； （2）若在圆D中存在弦EF，，且弦EF的中点P在直线上，求实数k的取值范围. 18. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. （1）证明：平面⊥平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知圆圆与圆均外切. （1）求圆心的轨迹方程. （2）过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 3. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是. 故选：B 4. 若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2+ C. 2+2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得准线方程，根据抛物线定义可得，根据点P坐标，即可求得答案. 【详解】抛物线准线方程为，过点A作准线的垂线，垂足为B， 根据抛物线的定义可得，所以， 当P，A，B三点共线时，等号成立，所以的最小值为3+1=4. 故选：D 5. 已知椭圆，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的右焦点，P，Q为椭圆上的点，为等边三角形，且F为的重心，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得轴，根据重心坐标公式，可得P点横坐标，根据等边三角形性质，可得P点纵坐标，代入椭圆方程，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意可知椭圆C的焦点在x轴上，设，根据对称性可知，轴， 因为F为等边的重心，所以， 所以，则，即， 代入椭圆方程可得，则， 整理得，解得或， 因为，所以，则. 故选：B 6. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及两点间距离公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 整理得，则点P的轨迹为双曲线. 故选：C 7. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线类型以及表达式的几何意义，利用圆心到直线的距离即可得出结果. 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 8. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，则，根据两角差的正切公式，结合基本不等式，可得，结合条件，可得，根据离心率公式，即可得答案. 【详解】不妨设点在第一象限，设直线与x轴交于点， 且由题可知， 设，则， 又， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故， 因此，即，则， 所以离心率. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过椭圆焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则弦长可能为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得A、B点坐标，即可得的最小值（通径）和最大值（长轴），分析即可得答案. 【详解】由椭圆的对称性可知，当过焦点的直线垂直于长轴时，弦长最短， 由题意，则， 不妨设焦点为，代入椭圆方程可得， 不妨令，则， 当过焦点的直线与长轴重合时，弦长最长，且等于长轴长，此时， 所以. 故选：ABC 10. 已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ） A. 两圆有3条公切线 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D. 两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两圆方程式可知圆心及半径，确定两圆位置关系，再确定公切线条数，可判断A，将两圆方程式相减，可得到公共弦方程式，可判断B，利用圆上点到定直线距离最值，可判断C，求出弦长，可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径. 对于A项，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故A不正确； 对于B项，因为两圆相交，将两圆的方程作差得，所以公共弦所在的直线方程为，故B项正确； 对于C项，由题意可得，当E，C，M，F四点共线时，最大， 所以，故C项不正确； 对于D项，圆心到公共弦所在的直线的距离, 所以公共弦长为， 所以两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为，故D项正确. 故选：BD. 11. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini oval).在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于2，则下列结论正确的是（ ） A. P的轨迹方程为 B. P的轨迹关于y轴对称 C. 存在点P，使得 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给定义，结合两点间距离公式，可判断A的正误；将方程中的x换成，分析可判断B的正误；根据基本不等式，可判断C的正误；根据方程化简变形，可得表达式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意得， 化简得，故A正确； 选项B：把方程中的x换成，方程不变，所以P的轨迹关于y轴对称，故B正确； 选项C：由题意， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 选项D：由， 得，解得， 所以， 则的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得c值，根据离心率公式，可得双曲线中a值，根据关系，求出，即可得答案. 【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得， 故， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且，则的周长为____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程，求出值，根据椭圆定义，可得的周长，根据条件，可得，根据相似比，即可求出答案. 【详解】由题意，则，， 由椭圆的定义可得，的周长为， 因为，所以， 又， 所以，则， 所以的周长与的周长之比为， 所以的周长为. 故答案为： 14. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先确定二面角的平面角，建立向量关系，通过向量数量积计算异面直线所成的角. 【详解】如图，取的中点，连接，. 因为，所以，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又， 所以， 则，所以为等边三角形，所以. 因为， 所以， 所以， ， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求向量的坐标； （2）求与夹角的正弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 16. 已知两条直线. （1）若，求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直可得； （2）利用两直线平行可求得，再排除重合的情况即可. 【小问1详解】 若，得，解得. 【小问2详解】 由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 17. 已知点. （1）求的外接圆D的方程； （2）若在圆D中存在弦EF，，且弦EF的中点P在直线上，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易知是以C为直角的直角三角形，根据条件，求出圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得，即可得P点的轨迹方程，由题意，直线与圆有公共点，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以轴， 又在x轴上，所以，则是以C为直角的直角三角形， 故外接圆D的圆心为斜边AB的中点，半径为， 所以外接圆D的方程为. 【小问2详解】 因为，圆D的半径为，所以， 所以点P的轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，则其轨迹方程为， 又点P在直线上， 所以直线与圆有公共点，则，所以，解得， 所以实数k的取值范围为. 18. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. （1）证明：平面⊥平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系和正方形可证明线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. 【小问2详解】 因为底面，且，所以以A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 设，则， 所以，，. 设平面的法向量为，则, 取，可得所以 设直线与平面所成的角为θ， 所以=， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知圆圆与圆均外切. （1）求圆心的轨迹方程. （2）过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两圆圆心和半径，利用双曲线定义可求得圆心的轨迹方程； （2）①当的斜率为时，分别计算出的长代入计算可得结果； ②当的斜率不为时，设直线的方程为，联立双曲线方程并利用韦达定理得出表达式化简计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，圆的圆心,半径，圆的圆心,半径, 由条件可得，即， 即根据双曲线的定义可知点是以为焦点，以为实轴长的双曲线的上支（不含顶点）， 则,可得， 故圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在. ①当斜率为时，可知直线方程为，代入双曲线方程可解得； 所以,则. ②证明：当的斜率不为0时，设直线的方程为，点如下图： 联立与双曲线的方程得，易知， 则 因为直线与双曲线交于上支两点，所以， 则. 设直线的方程为，联立与双曲线的方程得 ∴可得. 故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $