专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 三、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2026高二·贵州·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算计算即可得到结果. 【详解】由，得：， 故选：C. 2．（2026高一·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可求出向量的坐标. 【详解】因为向量，，则. 故选：B. 3．（2026高二·四川眉山·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的坐标运算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（2026高一·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【详解】由，，，得， 所以. 故选：B 5．（2026高一·河北邢台·期中）如图，分别用基底表示向量，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示向量，直接计算即可. 【详解】由坐标系可知，，， 则， 故选：C. （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 6．（2026高一·北京丰台·期末）已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的减法法则和坐标运算法则求解即可. 【详解】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 7．（2026高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 8．（2026高一·江苏南京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量减法坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 9．（2026高一·广东广州·月考）在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】,又，故, 故, 故选：A 10．（2026高一·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示建立方程组，解之可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，解得， 所以. 故答案为：-14 （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 11．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，的坐标分别是，，求，，，的坐标． 【答案】，，， 【分析】根据平面向量的坐标运算求解. 【详解】由题意可知：，，可得： ， ， ， ． 12．（2026高一·全国·课后作业）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）应用向量的坐标表示的线性运算即可； （2）根据向量的坐标运算结合已知计算即得. 【详解】（1）由已知得，，． ； （2）设为坐标原点． ，，， 又，， ，． （四） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型4：平面向量的线性运算的坐标表示 13．（2026高一·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 14．（2026高二·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量坐标的加减法运算法则可得到答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 15．（2026高一·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 16．（2026高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 题型5：根据线性运算的结果求参数 17．（2026高一·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 18．（2026高一·全国·课后作业）已知向量，， 若（）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标的线性运算列方程即可得求得的值，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以 则，解得，则. 故选：B. 19．（2026高一·山东德州·月考）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案. 【详解】由，则，即，解得， 故， 故选：D. 20．（2026高一·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标运算即可. 【详解】因为， 所以， 所以，解得. 故选：A 21．（2026高三·山东滨州·期末）已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题可得，，，由可得，然后利用充分条件及必要条件的定义判断即得. 【详解】设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则，，， 由，则， 解得，则， ∴由“”可以推出“”， 当时，， ∴由“”推不出“” 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型6：线段的定比分点问题 22．（2026高一·宁夏石嘴山·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 23．（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 24．（2026高一·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 25．（2026高一·全国·课后作业）已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得． 【详解】解：设点P的坐标为，， 则，． 由且点P在直线上，得或． ∴或解得或 ∴点P的坐标为或． 故选： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 26．（2026高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 27．（2026高二·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 28．（2026高一·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： （五） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型7：由坐标判断向量是否共线 29．（2026高一·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项. 【详解】若两个向量共线，则， 其中只有B选项，满足条件. 故选：B 30．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 31．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 32．（2026高一·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 题型8：由向量共线（平行）求参数 33．（2026高一·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 34．（2026高一·贵州·月考）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行得到方程，求出或，从而得到答案. 【详解】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 35．（2026高一·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 36．（2026高一·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用平面向量坐标及共线定理计算即可求解. 【详解】由，， 若与共线，则，解得. 故选：B. 37．（2026高三·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C 38．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 题型9：用坐标解决三点共线问题 39．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 40．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 41．（2026高一·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 42．（2026高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. （六） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型10：利用向量共线解决几何问题 43．（2026高一·湖南岳阳·月考）在直角坐标系中，已知三点，求重心G的坐标和的面积． 【答案】， 【分析】首先求出、的坐标，设重心，的中点为，则，根据向量相等得到方程组，解得即可求出的坐标，再根据求出三角形的面积； 【详解】解：因为，所以，，所以， 设重心，的中点为，，则，即，所以，解得，所以；所以，所以 44．（2026高一·广东深圳·月考）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2）， (1)求向量BC； (2)求顶点A的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B､C的坐标即可求解的坐标； （2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解. 【详解】（1）解：因为点B､C的坐标分别是（-1，3）､（3，4）， 所以； （2）解：设顶点A的坐标为， 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2）， 所以，即， 所以，解得， 所以顶点A的坐标为. 45．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 46．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 47．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 【答案】(3，3) 【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值. 【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)， 且共线，所以，即x=y. 又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线， 则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3， 所以点P的坐标为(3，3). 1．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 2．（2026高一·全国·专题练习）若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】若向量，，则， D选项满足要求，而其它选项不合题意. 故选：D. 3．（2026高一·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 4．（2026高一·重庆·期末）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基地不能共线的要求，逐个判断各选项是否正确. 【详解】零向量于任意向量共线，所以A错误， 因为，所以B错误， 因为，所以C错误， 不共线，所以D正确； 故选：D. 5．（2026高一·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 6．（2026高一·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 7．（2026高三·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据向量平行列出方程，即可求解. 【详解】根据题意知，则，解之可得. 故选： 8．（2026高一·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算建立方程，求解，进而得到即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，， 解得，，则，故B正确. 故选：B 9．（2026高一·全国·单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可列式子求解. 【详解】方法一：设，则，, 又, 所以 所以即, 因为点P在第四象限，所以 解得 故所求实数λ的取值范围是 方法二：, 所以 因为点P在第四象限，所以 解得 故选：C 10．（2026高一·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 11．（2026高一·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可. 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 13．（2026高一·上海嘉定·期中）设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 14．（2026高一·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量线性运算的坐标表示10题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 三、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2026高二·贵州·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·安徽阜阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·四川眉山·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·河北邢台·期中）如图，分别用基底表示向量，，，则（  ） A． B． C． D． （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 6．（2026高一·北京丰台·期末）已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 8．（2026高一·江苏南京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·广东广州·月考）在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（   ）. A． B． C． D． 10．（2026高一·甘肃武威·期中）已知向量，，，则的值为 ． （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 11．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，的坐标分别是，，求，，，的坐标． 12．（2026高一·全国·课后作业）已知点，，，设，，，且，． (1)求； (2)求点M，N的坐标及向量的坐标． （四） 平面向量的数乘运算的坐标运算 （1）相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程组. （2）进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标. 题型4：平面向量的线性运算的坐标表示 13．（2026高一·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·全国·课后作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 15．（2026高一·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 16．（2026高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 题型5：根据线性运算的结果求参数 17．（2026高一·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 18．（2026高一·全国·课后作业）已知向量，， 若（）， 则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 19．（2026高一·山东德州·月考）已知向量（1，1），（﹣1，1），（4，2），若，λ、μ∈R，则λ+μ＝（    ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 20．（2026高一·四川内江·期中）已知向量，，，且，则x的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 21．（2026高三·山东滨州·期末）已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 题型6：线段的定比分点问题 22．（2026高一·宁夏石嘴山·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 24．（2026高一·全国·课后作业）在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·全国·课后作业）已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 26．（2026高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 27．（2026高二·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 28．（2026高一·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . （五） 向量共线的坐标运算及应用 （1）向量共线的判定方法 ①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. ②利用向量共线的坐标表达式直接求解． 若 ，向量平行的条件：或x1y2－x2y1＝0 （2）三点共线的实质与证明步骤 ①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行． ②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．　　　　 题型7：由坐标判断向量是否共线 29．（2026高一·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 30．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 31．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型8：由向量共线（平行）求参数 33．（2026高一·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 34．（2026高一·贵州·月考）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2026高一·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 36．（2026高一·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 37．（2026高三·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 38．（2026高一·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 题型9：用坐标解决三点共线问题 39．（2026高一·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 40．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 41．（2026高一·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 42．（2026高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． （六） 利用向量共线解决几何问题 （1）向量共线在几何中的应用可分为两个方面：①已知两向量共线，求点或向量的坐标；②证明或判断三点共线、直线平行. （2）解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行. 题型10：利用向量共线解决几何问题 43．（2026高一·湖南岳阳·月考）在直角坐标系中，已知三点，求重心G的坐标和的面积． 44．（2026高一·广东深圳·月考）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2）， (1)求向量BC； (2)求顶点A的坐标. 45．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 46．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 47．（2026高一·全国·课后作业）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标. 1．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 2．（2026高一·全国·专题练习）若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·重庆·期末）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A．B．C． D． 5．（2026高一·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 6．（2026高一·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．（2026高三·浙江嘉兴·期末）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．或 8．（2026高一·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·单元测试）已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 11．（2026高一·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 13．（2026高一·上海嘉定·期中）设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 14．（2026高一·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $