教考衔接二 平面向量与复数学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用------------------------- 教考衔接二 平面向量与复数 --------------■高考命题·解读■----------------- 核心考点 五年考情 考点1.平面向量的坐标运算 2025 全国一卷 考点2.平面向量基本定理的应用 2022 新高考全国 I 卷 考点3.平面向量的共线问题 2021 全国乙卷 考点4.平面向量的数量积 2023 全国乙卷；2022 全国甲卷； 2022 全国乙卷；2021 新高考全国 II 卷 考点5.平面向量的垂直问题 2024 新课标 I 卷；2024 全国甲卷； 2023 新课标 I 卷；2022 全国甲卷； 2021 全国甲卷；2021 全国乙卷 考点6.平面向量的模长问题 2025 全国二卷；2024 新课标 II 卷；2023 新课标 II 卷； 2022 全国乙卷；2021 全国甲卷；2021 新高考全国 I 卷 考点7.平面向量的夹角问题 2023 全国甲卷；2022 新高考全国 II 卷 考点8.复数的概念 2025·全国一卷 考点9.复数相等 2022·浙江 2022·全国乙卷 2021·浙江 考点10.复数的模 2024·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷 考点11.共轭复数 2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅰ卷 2023·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 考点12.复数的四则运算 2025·全国二卷 2024·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅱ卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.高考对平面向量与复数的考查一般是一个选择或填空题，复数试题为容易题，向量的难度为中档或偏下. ①在高考试题中以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为主要考查点，考查学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的掌握情况. ②在处理与平面向量有关的问题时，注意坐标法和基底法在解题中的应用.重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理. 2.向量的考查内容为： ①向量的概念与线性运算， ②以平面向量基本定理为核心的向量的坐标表示、向量的坐标运算，③以平面向量的数量积运算为载体，考查向量的夹角、模以及垂直的充要条件的应用. 3.复数考查的内容主要集中在： ①复数的相关概念、几何意义，②复数的四则运算，一般为除法运算. 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第二册P31·例7)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 【🚀衔接高考】 （1）(2026·上海春季高考)已知，，若a∥b，则_________. （2）(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  【教材母题2】(人教A版必修第二册P21·例13)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 【🚀衔接高考】 (2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　.  【教材母题3】 (人教A版必修第二册P18·例10)设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,求a与b的夹角θ. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. （2）(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos <a,a+b>=(　　) A.- B.- C. D. 【教材母题4】 (人教A版必修第二册P21·例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b). 【🚀衔接高考】 （1）(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　.  （2）(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=　　　　.  （3）(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 【教材母题5】(人教A版必修第二册P36练习·T1)已知a=(-3,4),b=(5,2),求|a|,|b|,a·b. 【教材母题6】 (人教A版必修第二册P23T11) （1）已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,求a·b,(a+b)2,|a+b|; （2）已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,求|a+b|,|a-b|. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国一卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.  （2）(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 （3）(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.  （4）(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(　　) A. B. C. D. （5）(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 （6）(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　) A.||=|| B.||=|| C.·=· D.·=· 【教材母题7】 (人教A版必修第二册P36习题6.3·T1)如图,在△ABC中,AD=AB,点E是CD的中点,=a,=b,用a,b表示,. 【🚀衔接高考】 （1）(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n （2）(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 【教材母题8】 (人教A版必修第二册P60·T8)已知a=(1,0),b=(1,1),λ为何值时,a+λb与a垂直. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 （3）(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.  （4）（一题多解）(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　.  【🚀新题预测】 （2026·河北衡水模拟）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【教材母题9】 (人教B版必修第三册P113·T4)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,求(a-c)·(b-c)的最小值. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，，，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是 (　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] （2） (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是(　　) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 【教材母题10】(人教A版必修第二册P24习题6.2·T24)如图，在⊙C中，是不是只需知道⊙C的半径或弦AB的长度，就可以求出·的值？ 【教材母题11】 (人教B版必修第三册P114·T5)已知△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,点M,N是线段AB上的动点,求·的最大值. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·天津高考)在△ABC中，D为AB边中点，=.记=a，=b，则=　　　　　(用a，b表示).若||=5，且AE⊥CB，则·=　　　　　.  （2）（一题多解）(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 【🚀新题预测】 （2026·北京昌平模拟）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【教材母题12】 (人教A版必修第二册P69·例1)当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 【🚀衔接高考】 (2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 【教材母题13】 (人教A版必修第二册P70·T3)求满足下列条件的实数x,y的值: （1）(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i; （2）(x+y-3)+(x-2)i=0. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 （2）(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 （3）（一题多解）(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 【教材母题14】 (人教A版必修第二册P73·T5)求复数z1=3+4i及z2=-i的模,并比较它们的模的大小. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·北京高考)已知复数z满足i·z+2=2i，则|z|=（ ） A. B. 2 C.4 D.8 （2）(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 （3）(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=(　　) A.1 B.2 C. D.5 （4）(2022·全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 （5）（2025·天津高考)已知i是虚数单位，则=　　　　　.  【教材母题15】 (人教A版必修第二册P78·例3)计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 【教材母题16】 (人教A版必修第二册P79·例5)(1+2i)÷(3-4i). 【🚀衔接高考】 （1）(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 （3）(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=(　　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i （4）(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(+i)=(　　) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i （5）(2020·新高考Ⅱ卷)(1+2i)(2+i)=(　　) A.-5i B.5i C.-5 D.5 【教材母题17】 (人教B版必修第四册P42习题10-2B·T1(2))(1+i)2 000. 【🚀衔接高考】 (2023·全国乙卷)设z=,则 =(　　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 【教材母题18】 (人教A版必修第二册P95·T1(3)))当<m<1时,复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【🚀衔接高考】 （1）(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （2）(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【教材母题19】 (人教A版必修第二册P95·T7)已知(1+2i)=4+3i,求z及. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国二卷)已知z=1+i，则=（ ） A.-i B.i C.-1 D.1 （2）(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i （3）(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【教材母题20】 (人教A版必修第二册P81·T5)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.  【教材母题21】（苏教版必修第二册P124·T9）已知为虚数单位，且，则的最大值是________ 【🚀衔接高考】 （2026·上海春季高考）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值域的最小值相同，则_______. 【🚀新题预测】 （2026·黑龙江佳木斯模拟）已知复数满足，则的最小值为 . 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《拓展阅读——向量的数量积与三角形的面积》，得出如下结论: 若在△ABC中,=(x1,y1),=(x2,y2),则S△ABC=|x1y2-x2y1|. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为. （1）求C的方程; （2）点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值. 【阅读2】通过阅读《探究与发现——1的n次方根》(人教A版必修第二册P91),得出如下结论: （1）棣莫弗定理:复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍,即[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ). （2）1的3次方根为ωk=cos +isin (k=0,1,2),即ω0=1,ω1=-+i,ω2=--i. （3）1的3次方根的性质 ①(ωk)3=1,|ωk|=1,其中k=0,1,2; ②ω1和ω2互为共轭复数; ③1+ωk+=0(k=1,2). （4）1的n次方根为ωk=cos +isin (k=0,1,2,…,n-1),且具有如下性质: ①(ωk)n=1,|ωk|=1,其中k=0,1,2,…,n-1. ②1+ωk++…+=0,(k=1,2,…,n-1). 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第二册P26·例1)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示.观察＝(1－t)＋t，你有什么发现？ 【探究2】(人教A版必修第二册P33)如图,线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是直线P1P2上的一点.当=λ时,点P的坐标是什么? 【探究3】等和线(人教A版必修第二册P26例1,人教B版必修第二册P160例4) （1）其和为1的等和线. 点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(1-t)⇔点C在直线AB上. （2）其和为k的等和线. 点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(k-t)(k≠1,k∈R)⇔点C的轨迹是平行于直线AB的一条直线. 【🚀衔接高考】 (2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  【🚀新题预测】 （2026·石家庄模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设=+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  【探究4】极化恒等式（人教A版必修第二册P22练习T3,苏教版必修第二册P47T18) △ABC中,D为BC中点,则·=||2-||2. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 【🚀新题预测】 （1）（2026·辽宁盘锦模拟）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 （2）（一题多解）（2026·黑龙江模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　　　　　. 【探究5】(人教A版必修第二册P53·T11)坐标旋转公式:对任意平面向量=(x,y),将绕起点A逆时针方向旋转θ角后得到向量=(x',y'),则旋转前后的坐标满足 【🚀新题预测】 (2026·成都模拟)已知对任意平面向量=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.现将双曲线Γ:-=1上的每个点M绕坐标原点O沿逆时针方向旋转后得到曲线C,则曲线C的方程为　　　　.  【探究6】(人教B版必修第四册P36T3、P41T5、P42习题10-2BT3拓展) （1）共轭复数的性质 ①=±. ②=·. ③=(其中z2≠0). （2）复数模的性质 ①·z=|z|2=||2. ②|z1·z2|=|z1||z2|. ③=(其中z2≠0). 【🚀新题预测】 （1） (多选)（2026·福州模拟）已知复数z1,z2,则下列说法中正确的是(　　) A.|z1z2|=|z1|·|z2| B.|z1+z2|=|z1|+|z2| C.“z1z2∈R”是“z1=”的必要不充分条件 D.“|z1|=|z2|”是“=”的充分不必要条件 （2）（2026·浙江金华模拟）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用------------------------- 教考衔接二 平面向量与复数 --------------■高考命题·解读■----------------- 核心考点 五年考情 考点1.平面向量的坐标运算 2025 全国一卷 考点2.平面向量基本定理的应用 2022 新高考全国 I 卷 考点3.平面向量的共线问题 2021 全国乙卷 考点4.平面向量的数量积 2023 全国乙卷；2022 全国甲卷； 2022 全国乙卷；2021 新高考全国 II 卷 考点5.平面向量的垂直问题 2024 新课标 I 卷；2024 全国甲卷； 2023 新课标 I 卷；2022 全国甲卷； 2021 全国甲卷；2021 全国乙卷 考点6.平面向量的模长问题 2025 全国二卷；2024 新课标 II 卷；2023 新课标 II 卷； 2022 全国乙卷；2021 全国甲卷；2021 新高考全国 I 卷 考点7.平面向量的夹角问题 2023 全国甲卷；2022 新高考全国 II 卷 考点8.复数的概念 2025·全国一卷 考点9.复数相等 2022·浙江 2022·全国乙卷 2021·浙江 考点10.复数的模 2024·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷 2022·全国甲卷 考点11.共轭复数 2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅰ卷 2023·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 考点12.复数的四则运算 2025·全国二卷 2024·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅱ卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.高考对平面向量与复数的考查一般是一个选择或填空题，复数试题为容易题，向量的难度为中档或偏下. ①在高考试题中以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为主要考查点，考查学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的掌握情况. ②在处理与平面向量有关的问题时，注意坐标法和基底法在解题中的应用.重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理. 2.向量的考查内容为： ①向量的概念与线性运算， ②以平面向量基本定理为核心的向量的坐标表示、向量的坐标运算，③以平面向量的数量积运算为载体，考查向量的夹角、模以及垂直的充要条件的应用. 3.复数考查的内容主要集中在： ①复数的相关概念、几何意义，②复数的四则运算，一般为除法运算. 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第二册P31·例7)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 【解析】因为a∥b，所以4y-2×6=0，解得y=3. 【🚀衔接高考】 (1)(2026·上海春季高考)已知，，若a∥b，则_________. 【答案】2 【解析】因为a∥b，所以，解得. （2）(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  【答案】 【解析】解法一(定义法)：因为a∥b,所以存在实数k,使a=kb,即(2,5)=k(λ,4),得解得 解法二(结论法)：因为a∥b,所以2×4-5λ=0,解得λ=. 【教材母题2】(人教A版必修第二册P21·例13)已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 【解析】a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16, 所以9-16k2=0,解得k=±.也就是说,当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直. 【🚀衔接高考】 (2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=　　　　.  【答案】 【解析】由题意知(ka-b)·a=0,即ka2-b·a=0.因为a,b为单位向量,且夹角为45°,所以k×12-1×1×=0,解得k=. 【教材母题3】 (人教A版必修第二册P18·例10)设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,求a与b的夹角θ. 【解析】由a·b=|a||b|cos θ,得cos θ===-.因为θ∈[0,π],所以θ=. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】D 【解析】因为向量|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,所以c=-a-b,等式两边同时平方得c2=a2+b2+2a·b, 即2=1+1+2a·b,解得a·b=0. 解法一：a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4, 且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,所以cos<a-c,b-c>==, 故选D. 解法二：如图1,令=a,=b,=c, 由题知,OA=OB=1,OC=,△AOB是等腰直角三角形,AB边上的高OD=,AD=DB=, 所以CD=CO+OD=+=,则CB==,CA==, 在△ABC中,由余弦定理得cos<a-c,b-c>=cos<,>=cos∠ACB==,故选D. 解法三：如图2,令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系, 则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos<a-c,b-c>===,故选D. （2）(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos <a,a+b>=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】D 【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=25-12+36=49,所以|a+b|=7,所以cos<a,a+b>====. 故选D. 【教材母题4】 (人教A版必修第二册P21·例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b). 【解析】(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2=62-6×4×cos 60°-6×42=-72. 【🚀衔接高考】 （1）(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　.  【答案】11 【解析】(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a,b>+|b|2=2×1×3×+32=11. （2）(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=　　　　.  【答案】- 【解析】由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-. （3） (2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 【答案】D 【解析】　由题意得|a|=|b|=1,a,b的夹角θ=60°,故a·b=|a||b|cos θ=.对A项,(a+2b)·b=a·b+2b2=+2=≠0;对B项,(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0;对C项,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0;对D项,(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0.故选D. 【教材母题5】(人教A版必修第二册P36练习·T1)已知a=(-3,4),b=(5,2),求|a|,|b|,a·b. 【解析】因为a=(-3,4),b=(5,2),所以|a|==5,|b|==,a·b=-3×5+4×2=-7. 【教材母题6】 (人教A版必修第二册P23T11) （1）已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,求a·b,(a+b)2,|a+b|; （2）已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,求|a+b|,|a-b|. 【解析】(1)由|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,得a·b=|a||b|cos 150°=3×4×=-6, 故(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=9+2×(-6)+16=25-12,|a+b|==. (2)由|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,得|a+b|====, 故|a-b|====. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国一卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.  【解析】由题知a-b=(1，1-2x)，所以x+1-2x=0，即x=1，所以a=(1，1)，则|a|=. 【答案】: （2）(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=,所以|b|=.故选B. （3）(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　.  【答案】 【解析】由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3.①由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得,3a2-6a·b=0,结合①,得3a2-3(a2+b2-3)=0,整理得,b2=3,所以|b|=. （4）(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,a-b>=(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知a+b=(5,3),a-b=(1,-1),所以cos<a+b,a-b>====,故选B. （5）(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=(　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由题意,得c=a+tb=( 3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a,c>=<b,c>,所以cos <a,c>=cos <b,c>,即=,即=3+t,解得t=5,故选C. （6）(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　) A.||=|| B.||=|| C.·=· D.·=· 【答案】AC 【解析】由题意可知,||==1,||==1,所以||=||,故A正确; 取α=,则P1,取β=,则P2,则||≠||,故B错误; 因为·=cos(α+β),·=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),所以·=·,故C正确; 因为·=cos α,·=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(α+2β),取α=,β=,则·=,·=cos =-,所以·≠·,故D错误.故选AC. 【教材母题7】 (人教A版必修第二册P36习题6.3·T1)如图,在△ABC中,AD=AB,点E是CD的中点,=a,=b,用a,b表示,. 【解析】因为在△ABC中,AD=AB,点E是CD的中点,所以=-=-=a-b, =(+)==a+b. 【🚀衔接高考】 （1） (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 【答案】B 【解析】因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. （2）(2020·新高考Ⅱ卷)若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 【答案】A 【解析】如图所示,因为D为△ABC的边AB的中点,所以+=2,所以=2-.故选A. 【教材母题8】 (人教A版必修第二册P60·T8)已知a=(1,0),b=(1,1),λ为何值时,a+λb与a垂直. 【解析】由题意知a=(1,0),b=(1,1),得a+λb=(1,0)+λ(1,1)=(λ+1,λ),又a+λb与a垂直,所以(λ+1)×1+0×λ=0,解得λ=-1. 【🚀衔接高考】 （1）（一题多解）(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】解法一：(向量法+坐标法)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二：(坐标法)因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4). 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D. （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 【答案】D 【解析】因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1,故选D. （3）(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.  【答案】- 【解析】因为a⊥b,所以a·b=m+3(m+1)=4m+3=0,解得m=-. （4）（一题多解）(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　.  【答案】 【解析】解法一：a-λb=(1-3λ,3-4λ),因为(a-λb)⊥b,所以(a-λb)·b=0,即(1-3λ,3-4λ)·(3,4)=0,所以3-9λ+12-16λ=0, 解得λ=. 解法二：由(a-λb)⊥b可知,(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,从而λ====. 【🚀新题预测】 （2026·河北衡水模拟）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【解题分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【解析】由题意得，，， 因，则，则， 因，则，等号成立时，故的最小值为. 【教材母题9】 (人教B版必修第三册P113·T4)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,求(a-c)·(b-c)的最小值. 【解析】因为a,b,c为单位向量,且a·b=0,所以可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos θ,sin θ),则(a-c)·(b-c)=(1-cos θ,-sin θ)·(-cos θ,1-sin θ)=-cos θ+cos2θ-sin θ+sin2θ=1-sin.当θ=+2kπ,k∈Z时,(a-c)·(b-c)取得最小值,最小值为1-. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，，，设C(3，4)，则|2+|的取值范围是 (　　) A.[6，14] B.[6，12] C.[8，14] D.[8，12] 【答案】D. 【解析】选D.因为，，由平方可得，=0，所以.，， 所以=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·， 又≤|+|||=2×5=10，即-10≤(+)·≤10， 所以∈[64，144]，即|2+|∈[8，12]. （2） (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是(　　) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 【答案】A 【解析】如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),F(-1,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),且-1<x<3. 所以·=(x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6).故选A. 【教材母题10】(人教A版必修第二册P24习题6.2·T24)如图，在⊙C中，是不是只需知道⊙C的半径或弦AB的长度，就可以求出·的值？ 【解析】只与弦AB的长度有关，与半径无关．理由如下：设⊙C的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.在Rt△ACD中，AD＝a，AC＝r，cos∠CAD＝， ∴·＝2a·r·cos∠CAD＝2ar·＝2a2. 【教材母题11】 (人教B版必修第三册P114·T5)已知△ABC中,AC=1,BC=,AB=2,点M,N是线段AB上的动点,求·的最大值. 【解析】已知△ABC中,AC=1,BC=,AB=2, 则AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC,过C作CD⊥AB交AB于点D,则CD==,又点M,N是线段AB上的动点, 则||∈,||∈,则·=||||cos∠NCM≤××1=3, 当且仅当M,N均与点B重合时取等号,即·的最大值为3. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·天津高考)在△ABC中，D为AB边中点，=.记=a，=b，则=　　　　　(用a，b表示).若||=5，且AE⊥CB，则·=　　　　　.  【答案】a+b　-15 【解析】因为=+=+=+(-)=+=+=a+b. 由 得，得a2+4ab=180， 则b2+a·b=-a2-a·b=-(a2+4a·b)=-15. （2））（一题多解）(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=,则·的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 【答案】A 【解析】法一　连接OA,由题可知|OA|=1,OA⊥PA,因为|OP|=,所以由勾股定理可得|PA|=1,则∠POA=. 设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合,则-<θ<,∠APD=+θ,且|PD|=cos θ. 所以·=||||cos(+θ)=cos θ·Cos(+θ)=cos θ(cos θ-sin θ) =cos2θ-sin θcos θ=+cos 2θ-sin 2θ=+cos(2θ+)≤+,故选A. 法二　以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系,设圆O:x2+y2=1,点P(,0), 因为|OA|=1,且OA⊥PA,所以∠POA=,不妨设A(,). 设直线PD的方程为y=k(x-),B(x1,y1),C(x2,y2),由 得(k2+1)x2-2k2x+2k2-1=0,由Δ=8k4-4(k2+1)(2k2-1)=4-4k2>0,解得-1<k<1, 则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-2)=-,所以D(,-), 于是=(-,),=(-,-),所以·=. 设t=1-k,则0<t<2,·===≤=+, 当且仅当t=时等号成立,故选A. 【🚀新题预测】 （2026·北京昌平模拟）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】0 【解析】如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，. 【教材母题12】 (人教A版必修第二册P69·例1)当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 【解析】（1当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数． （2）当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数． （3）当m＋1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，复数z是纯虚数． 【🚀衔接高考】 (2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.6 【答案】C 【解析】选C.z=(1+5i)i=-5+i，所以z的虚部为1. 【教材母题13】 (人教A版必修第二册P70·T3)求满足下列条件的实数x,y的值: (1)(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i; (2)(x+y-3)+(x-2)i=0. 【解析】(1)由题意得解得 (2)由题意得解得 【🚀衔接高考】 （1）(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【解析】因为(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2且1-a2=0,解得a=1,故选C. （2）(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 【答案】A 【解析】由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,又a,b∈R,所以解得故选A. （3）（一题多解）(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　) A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 【答案】A 【解析】解法一：由题意知a+b+2ai=2i,又a,b∈R,所以解得故选A. 解法二：由题意知a+b+(2a-2)i=0,又a,b∈R,所以解得故选A. 【教材母题14】 (人教A版必修第二册P73·T5)求复数z1=3+4i及z2=-i的模,并比较它们的模的大小. 【解析】|z1|==5,|z2|==,所以|z1|>|z2|. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·北京高考)已知复数z满足i·z+2=2i，则|z|=（ ） A. B. 2 C.4 D.8 【答案】B. 【解析】由i·z+2=2i可得，z2+2i，所以|z|==2. （2）(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】　|z|==,故选C. （3）(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=(　　) A.1 B.2 C. D.5 【答案】C 【解析】|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=. （4）(2022·全国甲卷)若z=1+i,则|iz+3|=(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 【答案】D 【解析】因为z=1+i,所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=i-1+3-3i=2-2i,所以|iz+3|=|2-2i|==2.故选D. （5）（2025·天津高考)已知i是虚数单位，则=　　　　　.  【答案】 【解析】1-3i，|1-3i|=. 【教材母题15】 (人教A版必修第二册P78·例3)计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 【解析】(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 【教材母题16】 (人教A版必修第二册P79例5)(1+2i)÷(3-4i). 【解析】(1+2i)÷(3-4i)====-+i. 【🚀衔接高考】 （1）(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 【答案】A 【解析】因为z=5+i,所以=5-i,所以i(+z)=10i,故选A. （2）(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 【答案】A 【解析】因为z===-i,所以=i,所以z-=-i-i=-i,故选A. （3）(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=(　　) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i 【答案】　D 【解析】　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i,故选D. （4）(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(+i)=(　　) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 【答案】C 【解析】因为z=2-i,所以z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i,故选C. （5）(2020·新高考Ⅱ卷)(1+2i)(2+i)=(　　) A.-5i B.5i C.-5 D.5 【答案】B 【解析】(1+2i)(2+i)=2+i+4i-2=5i,故选B. 【教材母题17】 (人教B版必修第四册P42习题10-2B·T1(2))(1+i)2 000. 【解析】(1+i)2 000=(2i)1 000=21 000. 【🚀衔接高考】 (2023·全国乙卷)设z=,则 =(　　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 【答案】B 【解析】z====1-2i,所以=1+2i. 【教材母题18】 (人教A版必修第二册P95·T1(3)))当<m<1时,复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】复数m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,在复平面内对应的点是(3m-2,m-1).因为<m<1,所以3m-2>0,m-1<0, 所以复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于第四象限. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】　A 【解析】　因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A. （2）(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】===,所以该复数在复平面内对应的点为,该点在第一象限. 【教材母题19】 (人教A版必修第二册P95·T7)已知(1+2i)=4+3i,求z及. 【解析】由(1+2i)=4+3i,得===2-i,所以z=2+i,则===+i. 【🚀衔接高考】 （1）(2025·全国二卷)已知z=1+i，则=（ ） A.-i B.i C.-1 D.1 【解析】选A.因为z=1+i，所以===-i. （2）(2024·新高考Ⅰ卷)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】C 【解析】因为=1+i,所以=,即1-==-i,即=+i=,所以z==1-i,故选C. （3）(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【解析】因为i(1-z)=1,所以z=1-=1+i,所以=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2.故选D. 【教材母题20】 (人教A版必修第二册P81·T5)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,求点D对应的复数. 【解析】由复数的几何意义,知A,B,C分别对应复平面内的点(1,3),(0,-1),(2,1),因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,设D(x,y),则有(-1,-4)=(2-x,1-y),所以⇒故点D对应的复数为3+5i. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.  【答案】2 【解析】解法一：设z1-z2=a+bi,a,b∈R,因为z1+z2=+i, 所以2z1=(+a)+(1+b)i,2z2=(-a)+(1-b)i.因为|z1|=|z2|=2,所以|2z1|=|2z2|=4,所以=4,① =4,②①2+②2得a2+b2=12.所以|z1-z2|==2. 解法二：设复数z1,z2在复平面内分别对应向量,,则z1+z2对应向量+. 由题知||=||=|+|=2,如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则z1-z2对应向量,OA=AC=OC=2, 可得BA=2OAsin 60°=2.故|z1-z2|=||=2. 【教材母题21】（苏教版必修第二册P124·T9）已知为虚数单位，且，则的最大值是________ 【答案】 【解析】依题意，设，由，得，则 【🚀衔接高考】 （2026·上海春季高考）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值域的最小值相同，则_______. 【答案】3. 【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆. 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为，而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，，则的最小值为，因为的最小值与的最小值相同，所以，，解得. 【🚀新题预测】 （2026·黑龙江佳木斯模拟）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，由得，所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，，表示的是点与点的距离， 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，即的最小值为. 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《拓展阅读——向量的数量积与三角形的面积》，得出如下结论: 若在△ABC中,=(x1,y1),=(x2,y2),则S△ABC=|x1y2-x2y1|. 【证明】法一：如图,记||=t,a=(-y1,x1), 则a是与垂直的单位向量,过C作CD⊥AB,D为垂足,所以||=|a·|, 因此,S△ABC=||·||=|||a·|=t=|x1y2-x2y1|. 法二：设∠BAC=θ,则cos θ=,S△ABC=||||sin θ= ===|x1y2-x2y1|. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为. （1）求C的方程; （2）点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y=-4.当y=0时,解得x=-4, 所以a=4.由椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),可得+=1,解得b2=12. 所以C的方程为+=1. （2）解法一：设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m(m≠-4). 如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程x-2y=m与椭圆方程+=1,可得3(m+2y)2+4y2=48,化简可得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8, 点N与直线AM的距离即两平行线之间的距离,即d==, 由两点之间距离公式可得|AM|==3, 所以△AMN的面积的最大值为×3×=18. 解法二：设N(4cos θ,2sin θ),=(6,3),=(4cos θ+4,2sin θ),S△AMN=|6×2sin θ-3(4cos θ+4)| =6|sin θ-cos θ-1|=6≤6×3=18. 【阅读2】通过阅读《探究与发现——1的n次方根》(人教A版必修第二册P91),得出如下结论: （1）棣莫弗定理:复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的n倍,即[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ). 证明　①当n=1时,左边=r(cos θ+isin θ)=右边,所以原式成立. ②假设当n=k时,原式成立,即[r(cos θ+isin θ)]k=rk(cos kθ+isin kθ), 当n=k+1时,[r(cos θ+isin θ)]k+1=[r(cos θ+isin θ)]k. r(cos θ+isin θ)=rk(cos kθ+isin kθ)·r(cos θ+isin θ)=rk+1[cos kθcos θ-sin kθsin θ+(sin kθcos θ+cos kθsin θ)i] =rk+1[cos(k+1)θ+isin(k+1)θ]=右边,即当n=k+1时,原式也成立.由①②可知,原式对任何n∈N*都成立. （2）1的3次方根为ωk=cos +isin (k=0,1,2),即ω0=1,ω1=-+i,ω2=--i. 【证明】设z=ρ(cos φ+isin φ)(ρ>0)是1的3次方根,则z3=ρ3(cos 3φ+isin 3φ)=1=cos 0+isin 0. 所以即因此1的3次方根是cos +isin ,k∈Z, 即ω0=cos 0+isin 0=1,ω1=cos +isin =-+i,ω2=cos +isin =--i. （3）1的3次方根的性质 ①(ωk)3=1,|ωk|=1,其中k=0,1,2; ②ω1和ω2互为共轭复数; ③1+ωk+=0(k=1,2). 【证明】　①因为ωk=cos +isin ,k=0,1,2,所以|ωk|==1, (ωk)3=cos 2kπ+isin 2kπ=1. ②因为ω1=-+i,ω2=--i,所以ω1和ω2互为共轭复数. ③当k=1,2时,ωk≠1,所以1+ωk+===0,所以1+ωk+=0,k=1,2. （4）1的n次方根为ωk=cos +isin (k=0,1,2,…,n-1),且具有如下性质: ①(ωk)n=1,|ωk|=1,其中k=0,1,2,…,n-1. ②1+ωk++…+=0,(k=1,2,…,n-1). 【证明】设z=ρ(cos φ+isin φ)(ρ>0)是1的n次方根,则zn=ρn(cos nφ+isin nφ)=1=cos 0+isin 0, 所以即因此1的n次方根为 cos +isin ,k=0,1,2,…,n-1,|ωk|==1,(ωk)n=cos 2kπ+isin 2kπ=1. 当k=1,2,…,n-1时,ωk≠1, 所以1+ωk++…+===0, 所以1+ωk++…+=0,k=1,2,…,n-1. 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第二册P26·例1)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示.观察＝(1－t)＋t，你有什么发现？ 【解析】因为＝t，所以＝＋＝＋t＝＋t（－）＝＋t－t＝（1－t）＋t. 观察可以发现，向量，的系数和为1，一般地，A，B，P三点共线的充要条件是：存在唯一实数λ，μ，满足＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 【探究2】(人教A版必修第二册P33)如图,线段P1P2的端点P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),点P是直线P1P2上的一点.当=λ时,点P的坐标是什么? 【解析】设点P是线段P1P2上的一点,P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),那么=+=+λ=+λ(-). 于是(1+λ)=+λ.即(1+λ)(x,y)=(x1,y1)+λ(x2,y2)=(x1+λx2,y1+λy2), 于是,点P的坐标为(x,y)=.事实上,这就是线段定比分点坐标. 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),在两点连线上有一点P, 设它的坐标为(x,y),且=λ, 则x=,y=(λ≠-1). （1）当点P在线段P1P2上时,λ>0. （2）当点P在线段P1P2(或P2P1)的延长线上时,λ<0. （3）当点P与点P1重合时,λ=0.特别地,当λ=1时,点P为线段P1P2的中点. 【探究3】等和线(人教A版必修第二册P26例1,人教B版必修第二册P160例4) （1）其和为1的等和线. 点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(1-t)⇔点C在直线AB上. 【证明】因为=t+(1-t),所以-=t(-),所以=t,所以点C在直线AB上. 把步骤反过去就能知道从右往左推也是正确的.注:如果O,A,B三点共线,该结论不一定成立. 反例:如图,||=||=||, 则=+,而和的系数和为2. (2)其和为k的等和线. 点O,A,B为平面上不共线的三个点,则=t+(k-t)(k≠1,k∈R)⇔点C的轨迹是平行于直线AB的一条直线. 【证明】①当k=0时,=t(-)=t,所以点C的轨迹是过点O且平行于直线AB的一条直线(如图1). ②当k≠0且k≠1时,取两点A1,B1使得=k,=k, 因为=t+(k-t),所以=+,所以点C在直线A1B1上. 因为=k,=k,所以A1B1∥AB,所以点C的轨迹是平行于直线AB的一条直线(如图2). 同样地,把推导步骤反过去就能知道从右往左推也是正确的. 【🚀衔接高考】 (2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　.  【答案】　 【解析】等和线:如图,连接AC交BE于点M,由平面几何知识可知,=. =λ+μ=(λ+μ)=(λ+μ),所以λ+μ==. 【🚀新题预测】 （2026·石家庄模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设=+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.  【答案】. 【解析】如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满足|AG|<d<|AG|+|EF|， 又|AG|==|EF|=2|EC|=2|CD|sin∠ABD=所以<d<由等和线定理得α+β=所以1<α+β<. 【探究4】极化恒等式（人教A版必修第二册P22练习T3,苏教版必修第二册P47T18) △ABC中,D为BC中点,则·=||2-||2. 【证明】　·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·0-=||2-||2. 【🚀衔接高考】 （一题多解）(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　) A. B.3 C.2 D.5 【答案】B 【解析】解法一(建系)：以点A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系, 则E(1,0),C(2,2),D(0,2),则=(1,2),=(-1,2),·=-1+4=3. 解法二：(极化恒等式)取CD中点F,连接EF(图略),由极化恒等式,·=||2-||2=22-12=3. 【🚀新题预测】 （1）（2026·辽宁盘锦模拟）设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 【解析】选A.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1. （2）（一题多解）（2026·黑龙江模拟）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　　　　　. 【答案】　. 【解析】解法一　(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n.由向量的极化恒等式，知·＝||2－||2＝9n2－m2＝4，① ·＝||2－||2＝n2－m2＝－1，② 联立①②解得n2＝，m2＝，因此·＝||2－||2＝4n2－m2＝，即·. 解法二　(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(c，0)， 则E(2a，2b)，F(a，b)，所以·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝，所以·＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝. 解法三　(基向量法) ·＝()·()＝＝4， ·＝()·()＝＝－1，因此||2＝，||2＝， 所以·＝()·()＝. 【探究5】(人教A版必修第二册P53·T11)坐标旋转公式:对任意平面向量=(x,y),将绕起点A逆时针方向旋转θ角后得到向量=(x',y'),则旋转前后的坐标满足 【证明】不妨以A为坐标原点建系,设∠BAx=α,∠BAC=θ,圆A的半径为r, 则=(rcos α,rsin α),即x=rcos α,y=rsin α,于是=((rcos α+θ),rsin(α+θ))=(rcos αcos θ-rsin αsin θ,rsin αcos θ+rcos αsin θ)=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),故 【🚀新题预测】 (2026·成都模拟)已知对任意平面向量=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.现将双曲线Γ:-=1上的每个点M绕坐标原点O沿逆时针方向旋转后得到曲线C,则曲线C的方程为　　　　.  【答案】xy=1 【解析】在双曲线Γ:-=1上任取一点M(x,y),将其绕坐标原点O沿逆时针方向旋转后得到点N,即N, 在曲线C上设点N(x',y'),则有反求出x,y,得 因点M(x,y)在双曲线Γ:-=1上,故得(x'+y')2-(y'-x')2=2,整理得x'y'=1,故曲线C的方程为xy=1. 【探究6】(人教B版必修第四册P36T3、P41T5、P42习题10-2BT3拓展) （1）共轭复数的性质 ①=±. ②=·. ③=(其中z2≠0). 【证明】①　设z1=a+bi,z2=c+di,则=a-bi,=c-di,+=(a+c)-(b+d)i, ==a+c-(b+d)i=+,同理可证=-. ②设z1=a+bi,z2=c+di,则=a-bi,z2=c-di,z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i, =(ac-bd)-(ad+bc)i,·=(ac-bd)-(ad+bd)i,所以=·. ③设z1=a+bi,z2=c+di,则=, =,==,所以=. （2）复数模的性质 ①·z=|z|2=||2. ②|z1·z2|=|z1||z2|. ③=(其中z2≠0). 【证明】①设z=a+bi,则=a-bi,所以·z=(a-bi)(a+bi)=a2+b2,|z|2=a2+b2,||2=a2+b2,即·z=|z|2=||2. ②设z1=a+bi,z2=c+di,则z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i, |z1·z2|==, |z1|·|z2|=·=,所以|z1·z2|=|z1||z2|. ③设z1=a+bi,z2=c+di,则=,=,==,即=. 【🚀新题预测】 （1） (多选)（2026·福州模拟）已知复数z1,z2,则下列说法中正确的是(　　) A.|z1z2|=|z1|·|z2| B.|z1+z2|=|z1|+|z2| C.“z1z2∈R”是“z1=”的必要不充分条件 D.“|z1|=|z2|”是“=”的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】对于A,设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d为实数,z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, 则|z1z2|==, |z1|·|z2|=·=,故A正确; 对于B,当z1=i,z2=-i时,|z1+z2|=0,|z1|+|z2|=|i|+|-i|=1+1=2,B错误; 对应C,当z1=0,z2=1+i,此时z1z2∈R,显然充分性不成立,当z1=时,z1z2=z2一定为实数,即必要性成立,C正确; 对于D,设z1=1+i,z2=,则|z1|=|z2|=,=(1+i)2=2i,=(i)2=-2, 不满足=,故D错误. （2）（2026·浙江金华模拟）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，则，A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确.C选项，，，所以C选项正确. D选项，设，则，则，所以D选项错误. 故选ABC. 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $