密铺（教学设计）-2025-2026学年数学五年级上册冀教版

课题：密铺 教学目标： （1）数学眼光：通过观察生活中地砖、墙面等的密铺现象，初步感知密铺是生活中常见的几何图形拼接方式，体会数学与现实世界的联系。 （2）数学思维：通过分析不同图形（等边三角形、正六边形、正八边形等）的内角特点，推理归纳出 “正多边形的内角和能被 360° 整除时可密铺” 的规律，发展逻辑推理能力。 （3）数学语言：能用数学语言描述密铺的特点（如 “拼接处不留空隙、不重叠”“全等图形拼接” 等），能清晰表达自己对密铺条件的理解和推理过程。 教学重难点： （1）理解密铺的本质特征（全等图形拼接、无空隙无重叠），并能通过计算多边形内角和判断常见正多边形能否密铺。 （2）在生活情境中应用密铺知识设计简单的地砖图案，能结合图形特点说明设计合理性。 教学准备： （1）多媒体课件（含埃舍尔密铺作品图片、地砖拼接图案、多边形内角计算示意图等）。 （2）多种全等平面图形纸片（如等边三角形、正方形、正六边形、正八边形等）。 （3）量角器和直尺（用于测量和计算多边形内角的度数）。 教学过程 一、复习引入 教师：同学们，今天我们先来欣赏一组奇妙的艺术作品（展示埃舍尔的《无限循环的鸟》《龙》等经典密铺画作）。大家看，这些画面中，鸟儿的翅膀、龙的身体似乎在无限延伸，没有空隙，也没有重叠，它们是用什么方式 “挤” 在一起的呢？（停顿，引导学生观察） 学生：（七嘴八舌）好像是用很多相同的图形拼起来的！ 教师：非常敏锐！这些作品中，图形之间既没有缝隙，也不会重叠，能 “无缝衔接” 地铺满整个平面，这种神奇的拼接方式在数学里叫做 “密铺”（板书：密铺）。其实，密铺在我们生活中无处不在 —— 家里地板上的正方形瓷砖、商场地面的六边形马赛克、妈妈织毛衣时的花纹图案……（随手拿起一块瓷砖模型展示）大家仔细想想，为什么这些物品都选择用 “密铺” 的方式设计呢？ 学生：因为这样铺起来整齐又节省材料！ 教师：说得对！今天我们就来当一回 “小小数学家”，深入探索密铺的秘密！ 二、探究新知 （1）认识密铺的核心特点 教师：（分发提前准备的学具：不同形状的纸片、胶水、画纸）请大家先观察桌面上的图形，再小组合作，用胶水把它们拼在画纸上，看看哪些图形能像瓷砖一样 “铺满” 整个画纸，并且记录下你们的发现。（学生动手操作，教师巡视） 学生：（小组讨论）我们用三角形拼，好像能拼出一大片！但长方形也能拼，正方形也可以！ 教师：（引导学生展示作品）谁愿意把你们的拼贴成果分享一下？（请 2-3 组学生展示，有的组可能用三角形拼出完整的平面，有的组可能用长方形拼出整齐的图案，还有的组可能出现重叠或空隙） 教师：（拿起一组有重叠的拼贴）这组同学拼得很用心，但大家看看，这里有没有问题？（指向重叠处） 学生：（齐声）重叠了！ 教师：（拿起另一组有空隙的拼贴）那这组呢？（指向空隙处） 学生：这里有空缝！ 教师：非常好！结合大家的操作，我们来总结密铺的 “三要素”：1. 全等图形：必须用完全相同的图形（比如只有等边三角形或只有长方形，不能混着用不同形状）；2. 无空隙：拼接时不能留任何小缝隙；3. 无重叠：图形之间不能互相 “叠罗汉”。（板书总结，边写边解释：“三要素：全等、无空隙、无重叠”） 教师：（出示反例对比图：一块地砖留了 1 厘米缝隙，另一块地砖重叠了半块）请大家判断，这两种情况算密铺吗？ 学生：（争论）留缝隙的不算！重叠的也不算！ 教师：（点头）没错！只有同时满足 “全等、无空隙、无重叠”，才能叫密铺。 （2）验证不同图形的密铺可能性 教师：（分发学具：等边三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形纸片各一张）现在我们要挑战一个问题：哪些常见的正多边形能密铺？请大家先猜一猜，再动手验证。 学生：（快速猜测）我觉得三角形可以，正方形肯定能！五边形可能不行，八边形更不行！ 教师：（引导学生用 “内角和” 思考）为什么这么猜？我们可以从多边形的 “内角” 入手 —— 正多边形的每个内角都相等，假设我们把 n 个内角拼在一个点上，这些内角的和必须是多少才能密铺呢？（停顿，提示）想想看，一个点周围的角加起来是多少？ 学生：（恍然大悟）是360°！一个周角！ 教师：（板书：关键公式：n× 内角 = 360°，n 为正整数）那我们来计算每个正多边形的内角： 等边三角形：内角和 =(3-2)×180°=180°，每个内角 = 180°÷3=60°，n=360°÷60°=6（即 6 个内角能拼满 360°），所以能密铺！ 正方形：内角 = 90°，n=360°÷90°=4（4 个内角拼满 360°），能密铺！ 正五边形：内角 =(5-2)×180°÷5=108°，n=360°÷108°≈3.33（不是整数，无法拼满），不能密铺！ 正六边形：内角 =(6-2)×180°÷6=120°，n=360°÷120°=3（3 个内角拼满 360°），能密铺！ 正八边形：内角 =(8-2)×180°÷8=135°，n=360°÷135°≈2.67（不是整数），不能密铺！ 学生：（动手操作验证）我们组用等边三角形拼了 6 个角，刚好围成一个圆！正方形 4 个角拼在一起，严丝合缝！正五边形怎么拼都有空隙！ 教师：（巡视各组，重点指导正八边形拼法）有的同学拼正八边形时，可能会把两个内角拼在一起（2×135°=270°），但这样剩下的 90° 还得再补一个，就会重叠！记住：只有 n 是整数时，才能密铺！ （3）拓展：“不止一种图形的密铺” 教师：（突然提问）如果我们用两种不同的图形呢？比如三角形和正方形（出示学具），能不能密铺？ 学生：（犹豫）好像可以？比如把三角形放在正方形的角上…… 教师：（引导学生尝试）请大家用学具袋里的三角形和正方形纸片，在画纸上拼一拼，看看能不能找到一种组合，让它们既无空隙又不重叠。（学生动手，教师巡视发现学生用 “2 个三角形 + 1 个正方形” 拼成了 360° 的角） 学生：（兴奋）老师！我们发现了！把一个正方形和两个等边三角形拼在一起，刚好能密铺！ 教师：（拿出拼好的图案展示）大家看，这个拼接点周围是：正方形的 90°+ 两个三角形的 60°×2=90°+120°=210°？不对！（故意 “出错” 引导） 学生：（恍然大悟）哦！应该是 3 个角！正方形的 90°+ 三角形的 60°×3=90°+180°=270°？还是不对！ 教师：（微笑）再仔细看：一个正方形（90°）+ 两个三角形（60°×2=120°）+ 另一个图形？（提示：360°=90°+90°+120°+60°？） 学生：（快速计算）90°+90°+120°+60°=360°！对！用一个正方形和两个三角形，或者两个正方形和一个三角形？ 教师：（板书）“多种图形密铺” 的关键：只要围绕一个点的所有内角和 = 360°，无论图形是否全等，都能密铺！比如我们熟悉的 “七巧板”、“中国结” 纹样，都是用多种图形组合密铺的。 三、巩固练习 （1）生活情境辨析 教师：（播放一段动画：小明家铺地砖，师傅用正方形和正五边形混铺，地面出现了缝隙和重叠）大家帮小明判断一下，师傅的铺法对吗？为什么？ 学生：（七嘴八舌）不对！正五边形内角 108°，3 个才 324°，不够 360°，会有空隙！ 教师：（追问）如果换成正六边形和正三角形呢？（出示正确案例图） 学生：这个可以！正六边形 120°+ 正三角形 60°×4=120°+240°=360°！ （2）“设计小设计师” 任务 教师：现在请大家当 “装修设计师”，用今天学的密铺知识，设计一个 “未来教室” 的地砖图案。要求：1. 至少用两种图形；2. 拼接时无空隙、不重叠；3. 画出 3 种不同的拼接方案。（学生分组设计，教师巡视指导，重点关注学生对 “内角和 = 360°” 的应用） 学生：（举例子）我们组用正方形和正三角形拼，每个拼接点有 1 个正方形和 2 个三角形；还尝试了正六边形和菱形…… 四、课堂小结 教师：（播放 “密铺在生活中” 的短视频：蜂巢、鱼鳞、瓷砖、游戏地图）通过今天的学习，谁能用自己的话说说 “密铺” 是什么？ 学生 1：密铺就是用图形拼满整个平面，不留空隙、不重叠！ 学生 2：我还知道只有内角和能凑成 360° 的图形才能密铺！ 教师：（补充板书）密铺的 “黄金法则”： 图形特征：全等图形（或多种图形）、无空隙、不重叠； 数学密码：围绕一点的内角和 = 360°（关键！）； 生活应用：建筑、艺术、工业设计……（举例） 教师：（布置实践作业）课后请大家：① 找一找生活中 3 个密铺例子（可以拍照或画图）；② 用学过的图形设计一个 “家庭密铺地板” 方案，下节课分享！ 学生：（欢呼）好！ 布置作业： （1）判断与选择：判断下列图形能否密铺（能密铺的打 “√”，不能的打 “×”），并写出一个关键理由（如内角和条件）。 正三角形（ ）：理由________________ 正方形（ ）：理由________________ 正五边形（ ）：理由________________ 正六边形（ ）：理由________________ （2）动手设计：用至少两种能密铺的图形（如等边三角形、正方形、正六边形），在方格纸上画出一个简单的密铺图案（至少画出 4 块拼接），并说明：①使用了哪些图形；②这些图形如何满足 “不留空隙、不重叠、连续铺成一片” 的密铺特点。 学科网（北京）股份有限公司 $