上海市松江一中2025-2026学年高二上学期阶段测试Ⅰ数学试题

松江一中2025学年度第一学期阶段测试1试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第题每个空格填对得4分，第题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________． 2. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则____________． 3. 从不大于10的自然数中随机抽取一个数，这个数是奇数的概率为_____． 4. 已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 5. 如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________. 6. 如图所示，是的直径，所在的平面，是上一点，若，，则直线与平面所成角的正切值为________. 7. 甲､乙两人每人投篮一次，投中的总次数记为.已知甲､乙投篮命中的概率分别为且甲､乙投篮命中的结果相互独立，则的概率是__________. 8. 已知圆锥的顶点为，过母线、的切面切口为正三角形，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 9. 三棱锥的4个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______． 10. 从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是_____． 11. 已知三棱台上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为______． 12. 如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 已知事件，若与互斥，与互为对立事件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 16. 已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 18. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 19. 杨村四中高一年级甲、乙两位同学参加某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率： （1）甲、乙两同学都能通过； （2）甲、乙两同学恰有一人通过； （3）甲、乙两同学中至少有一人通过． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 21. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 松江一中2025学年度第一学期阶段测试1试卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一．填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第题每个空格填对得4分，第题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】1 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三．解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点， 【21题答案】 【答案】（1） （2）, 2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $