专题21.2 平行四边形（知识梳理+十七大考点讲练+真题演练+分层训练 共59题）-2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义

专题21.2 平行四边形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：平行四边形 2 知识点二：平行四边形的性质定理 2 知识点三：平行线间距离 3 知识点四：平行四边形的判定定理 4 知识点五：三角形的中位线 4 知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 4 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 利用平行四边形的性质求解 4 考点讲练二 利用平行四边形的性质证明 5 考点讲练三 平行四边形性质的其他应用 6 考点讲练四 求平行线间的距离 7 考点讲练五 利用平行线间距离解决问题 8 考点讲练六 判断能否构成平行四边形 9 考点讲练七 添一个条件成为平行四边形 10 考点讲练八 数图形中平行四边形的个数 11 考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 11 考点讲练十 证明四边形是平行四边形 12 考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 13 考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 14 考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 15 考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 16 考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 17 考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明 18 考点讲练十七 三角形中位线的实际应用 19 中考真题 实战演练 20 难度分层闯关训练 22 基础夯实 能力提升 22 创新拓展 拔尖冲刺 25 知识点一：平行四边形 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    【易错点拨】 平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 知识点二：平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点三：平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点四：平行四边形的判定定理   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点五：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 考点讲练一 利用平行四边形的性质求解 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（    ） A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，分别是边，上的点，连接交于点．若，，，求的长度． 考点讲练二 利用平行四边形的性质证明 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 考点讲练三 平行四边形性质的其他应用 【典例分析】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 考点讲练四 求平行线间的距离 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 【变式训练】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点讲练五 利用平行线间距离解决问题 【典例分析】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【变式训练】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点讲练六 判断能否构成平行四边形 【典例分析】能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 考点讲练七 添一个条件成为平行四边形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线 ，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 考点讲练八 数图形中平行四边形的个数 【典例分析】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例分析】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 考点讲练十 证明四边形是平行四边形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 【典例分析】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【变式训练】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 【典例分析】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【变式训练】如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 考点讲练十七 三角形中位线的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【变式训练】（23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则 ．    【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【演练3】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【演练4】（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【演练5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 4．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是 cm． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 9．（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 平行四边形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：平行四边形 2 知识点二：平行四边形的性质定理 2 知识点三：平行线间距离 3 知识点四：平行四边形的判定定理 4 知识点五：三角形的中位线 4 知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 4 重点难点 考点讲练 4 考点讲练一 利用平行四边形的性质求解 4 考点讲练二 利用平行四边形的性质证明 6 考点讲练三 平行四边形性质的其他应用 8 考点讲练四 求平行线间的距离 11 考点讲练五 利用平行线间距离解决问题 14 考点讲练六 判断能否构成平行四边形 16 考点讲练七 添一个条件成为平行四边形 19 考点讲练八 数图形中平行四边形的个数 22 考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 23 考点讲练十 证明四边形是平行四边形 25 考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 27 考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 29 考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 31 考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 33 考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 36 考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明 38 考点讲练十七 三角形中位线的实际应用 41 中考真题 实战演练 43 难度分层闯关训练 48 基础夯实 能力提升 48 创新拓展 拔尖冲刺 56 知识点一：平行四边形 1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC. 邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD. 对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD    【易错点拨】 平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点. 知识点二：平行四边形的性质定理 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD 角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD    【易错点拨】 1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形 如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB. 2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 如图===,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO   知识点三：平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离. 2.性质 （1）两条平行线间的距离处处相等. 如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即两条平行线间的距离处处相等. （2） 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD. 【易错点拨】平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈. 判定定理 符号表示 边 两组对边分别相等的四边形式平行四边形 ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AD=BC,AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 知识点四：平行四边形的判定定理   【易错点拨】 1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点. 2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分. 知识点五：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【易错点拨】 （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 考点讲练一 利用平行四边形的性质求解 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（    ） A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm 【答案】D 【思路引导】直接利用平行四边形对角线互相平分得出的长，再利用三角形三边关系得出答案． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， , , , 在中， 的取值范围是即． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出的长． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，分别是边，上的点，连接交于点．若，，，求的长度． 【答案】 【思路引导】先利用平行四边形的性质得到 ，从而推出得到；最后在中用勾股定理求出，进而得到的长度． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ．． ， ． ，， ， ． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题关键是通过证明三角形全等得到，将的长度转化为求． 考点讲练二 利用平行四边形的性质证明 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【完整解答】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 考点讲练三 平行四边形性质的其他应用 【典例分析】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【完整解答】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 【变式训练】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，边上的 D 也是一个格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图， 每个任务的画线不得超过四条． (1)在图①中，先画点F 使四边形是平行四边形，设与相交于点 G ，再在上画出点 P ，使． (2)在图②中，在边上画出点 E ，使． (3)在图②中，在边点画点 H ，使值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行四边形的判定与性质，在点B的上方取点F，使且，则点F即为所求．过点D作的平行线，交于点P，则点P即为所求． （2）在的右侧作，使且，连接交于点E，则点E即为所求． （3）在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，则点H即为所求． 【完整解答】（1）解：如图①，在点B的上方取点F，使且， 则四边形是平行四边形， 则点F即为所求． 过点D作的平行线，交于点P， 则点P即为所求． （2）解：如图②，在的右侧作，使且，连接交于点E， 此时为等腰直角三角形， 则， 即， 则点E即为所求． （3）解：如图②，在点C的下方取点G，使，过点G作的平行线，再过点D作的垂线，交于点N，连接交于点H，连接， 此时点D与点N关于对称， ∴，为最小值， 则点H即为所求． 考点讲练四 求平行线间的距离 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将分割成面积相等的两部分； ②如图5，在中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将分割成面积相等的两部分． 【答案】(1)，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” (2)见解析 (3)①见解析；②见解析 【思路引导】该题主要考查了平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，解题的关键是理解题意． （1）由阅读材料可求解； （2）由两条平行线之间的距离处处相等，可得，即可证； （3）①取的中点D，连接，则直线即为所求； ②取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求直线． 【完整解答】（1）解：补全证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 假设，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上． ∵， ∴点Q与点F不重合． 由，得，而，同时，这与基本事实“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以假设不正确，于是． 故答案为：，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”． （2）证明：过点E作于点P，过点G作于点Q． 由（1）可知，． ∵， ∴． ∵．， ∴． （3）解：①如图1，取的中点D，连接，则直线即为所求． ②如图2，取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求． 根据（2）同理可得∵，， 根据平行线间距离相等得出， ∴， 根据中线可得， ∴． ∴． 【变式训练】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【完整解答】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 考点讲练五 利用平行线间距离解决问题 【典例分析】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【完整解答】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【变式训练】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线间的距离，三角形外角的性质，三角形的中线．根据平行线间距离处处相等，可判断；根据外角的定义及性质可判断 ；根据三角形中线的定义可判断． 【完整解答】解： ， 点A与点D到边的距离相等， 与面积相等，故正确； 不是的外角，故错误； O为中点， 是的中线，故错误； ， ，故正确； 综上可知，正确的有2个， 故选B． 考点讲练六 判断能否构成平行四边形 【典例分析】能判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方法一一判断即可得出答案． 【完整解答】解：A、若，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故此选项错误； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项正确； D、，，此条件下四边形还可能是等腰梯形，故此选项错误． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 考点讲练七 添一个条件成为平行四边形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【完整解答】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·月考）如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线 ，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）由是边上的高，可得双勾股模型，由此列方程即可求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【完整解答】（1）∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）∵是边上的高， ∴，， ∵，， ∴， 解得． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当在线段上时，如图，此时，    根据题意，得， 解得．    当在线段上时，如图，此时， 根据题意，得， 解得，不合题意舍去． 故当时，以E、、、G为顶点的四边形是平行四边形． 考点讲练八 数图形中平行四边形的个数 【典例分析】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【思路引导】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【完整解答】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【完整解答】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【典例分析】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【完整解答】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【思路引导】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【完整解答】（1）解：如图，四边形（或）即为所求；   或 （2）如图，点即为所求；    由图可知四边形的面积为：． ， 考点讲练十 证明四边形是平行四边形 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 【完整解答】（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，． (1)求的度数． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）利用的内角和为，结合已知的，计算出的度数； （2）先求出的度数，再利用四边形内角和为算出的度数，通过两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明结论． 【完整解答】（1）解：， ． （2）证明：，，， ， ， 四边形是平行四边形． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为、四边形内角和为，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题 【典例分析】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1． (1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上． 要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合； ②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹． (2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可； （2）根据平行四边形的判定方法证明即可． 【完整解答】（1）解：如图所示： （2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝， ∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明） 【考点剖析】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接． 【变式训练】如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【完整解答】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【考点剖析】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【完整解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【思路引导】（1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论． 【完整解答】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． 是的平分线， ， ， ． ， ． （2）解：存在．由（1）可知，，． 由题意可知，，（）． ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要满足即可． 分以下两种情况讨论： ①当点在边上时，， ，解得； ②当点在边的延长线上时，， ，解得． 综上，当的值为或2时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【考点剖析】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握是关键． 考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形中，取对角线的中点，连接，，再过点作交于点，连接，则直线是一条“等积线”． (1)如图①，求证：直线是“等积线”． (2)如图②，已知为一条“等积线”，为边上的一点，请作出经过点的“等积线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析   理由见解析 【思路引导】（1）要说明直线是“等积线”，根据已知条件中的折线能平分四边形的面积，只需说明三角形的面积等于三角形的面积．则根据两条平行线间的距离相等，可以证明三角形的面积等于三角形的面积，再根据等式的性质即可证明； （2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点的“等积线”，根据两条平行线间的距离相等，可以证明三角形的面积等于三角形的面积，再根据等式的性质即可证明． 【完整解答】（1）证明：是的中点， ，， ， ， 折线能平分四边形的面积． 如图①，设交于点． ， ， ， ， ， 直线平分四边形的面积，即直线是“等积线”． （2）解：如图②，连接，过点作的平行线交于点， 作直线，则直线为一条“等积线”． 理由如下： ， ． 设与的交点是，则， ． 由题意可知，， ， 为一条“等积线”． 【考点剖析】本题考查了三角形的面积，能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“等积线”的概念，是解题的关键． 考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用 【典例分析】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【完整解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 【答案】探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：；拓展提升：200 【思路引导】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 尝试应用：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，代入数据计算即可得到结果； 拓展提升：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据非负数的性质即可得到答案． 【完整解答】解：探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则， ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 尝试应用：延长到点C，使， ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由探究发现可知，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 拓展提升：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是． 考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【完整解答】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，点，在对角线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，即可求解． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 又， ， ，， ，． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ，． ， ， ． 又是的中点， 是的中位线， ． 考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明 【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，以的边，分别向外作等腰三角形和等腰三角形，使其顶角．取，，的中点，，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键； 连接得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定得到线段相等，再根据中位线得到线段长度关系推导出． 【完整解答】证明：连接和，如图． 和都为等腰三角形，且其顶角， ，，， ， ． ，分别是，的中点， 是的中位线， ． 同理可得， ． 【变式训练】如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换． （1）在的延长线上截取，证明，得到，，通过角度的等量代换证明，进而通过等角对等边证明，然后通过线段和差关系等量代换即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再通过中位线的性质得到，结合（1）所证得，，，从而通过线段和差关系等量代换证得． 【完整解答】（1）证明：如图所示，在的延长线上截取， 在和中， ， ， ，， 又∵ ， ， ， ， ； （2）解：在中，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线，且， 如图，在的延长线上截取， 由（1）可知，，， ， 综上，图中长度等于的线段（不包括）的有、、． 考点讲练十七 三角形中位线的实际应用 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【完整解答】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 【变式训练】（23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在中，，，、分别在、上，，，的中点分别是，，直线分别交，于，，若，则 ．    【答案】2 【思路引导】如图，记的中点为，连接，，则是的中位线，是的中位线，，，，，由平行线 的性质以及题意可得，，，则，，，设，则，，由，可得，计算求解即可． 【完整解答】解：如图，记的中点为，连接，，    ∵，的中点分别是，，的中点为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 【考点剖析】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【完整解答】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 【演练3】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【演练4】（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图． 【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以 ． 所以， 所以平分， 即点为所求点； 【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析． 【思路引导】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键． [任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证； [实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证． 【完整解答】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； [实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可； 理由：连接, 由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点为所求． 【演练5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据题目描述和图形利用平行四边形和平行线的性质来判断选项的正确性． 【完整解答】解：A、由题可知：，，∴四边形ABCD是平行四边形，∴，一定成立，符合题意； B、题目所给信息无法证明；不符合题意； C、题目所给信息无法证明；不符合题意； D、题目所给信息无法比较四边形ABCD与四边形DEGF的；面积大小，不符合题意； 故选：A ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【完整解答】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【思路引导】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【完整解答】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 4．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【思路引导】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【完整解答】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，则直线与之间的距离是 cm． 【答案】8或2 【思路引导】本题考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离是垂线段的长度，需分情况讨论位置关系是解题的关键． 由于三条直线互相平行，直线与的距离取决于它们相对于直线的位置，有两种情况：直线在与之间或与在的同一侧． 【完整解答】解：当直线在直线与之间时，直线与的距离为； 当直线与在直线的同一侧时，直线与的距离为． 故答案为：或． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是 ． 【答案】平行四边形 【思路引导】本题考查了非负数的性质和平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 由条件可知，绝对值和平方根均为非负数，因此两者均等于零，得出和，即四边形两组对边分别相等，从而判定为平行四边形． 【完整解答】∵且，且它们的和为零， ∴和， 即和 因此四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【思路引导】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【考点剖析】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，已知，，的平分线交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形与角平分线，熟练掌握相关性质是解题的关键； 利用平行四边形的性质以及角平分线的性质，得到相等的角，进而推出相等的边，从而求得AE的长． 【完整解答】解：四边形是平行四边形，， ，， ． 平分， ， ， ， ； 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【完整解答】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形中，，且，，，，分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点，运动的时间为秒，则，，，，因为，故分两种情况：当或时，列方程解答即可． 【完整解答】解：设点，运动的时间为秒，则，，，， ， ①当时，四边形是平行四边形， 即，解得； ②当时，四边形是平行四边形， 即，解得； 经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【完整解答】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，交于点．过点作交于点，连接．若．求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到，再根据角度和平行关系推导出的度数进而求得的度数． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 9．（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【完整解答】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【思路引导】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【完整解答】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $