专题21.1 四边形及多边形（知识梳理+十六大考点讲练+真题演练+分层训练 共57题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

专题21.1 四边形及多边形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一： 四边形及其内角和 2 知识点二：四边形的内角与外角性质 2 知识点三：多边形及其内角和 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 四边形的不稳定性 3 考点讲练二 多边形的概念与分类 3 考点讲练三 多边形截角后的边数问题 4 考点讲练四 多边形的周长 4 考点讲练五 网格中多边形面积比较 5 考点讲练六 多边形对角线的条数问题 6 考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题 6 考点讲练八 多边形内角和问题 8 考点讲练九 正多边形的内角问题 8 考点讲练十 多（少）算一个角问题 9 考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题 10 考点讲练十二 复杂图形的内角和 11 考点讲练十三 正多边形的外角问题 11 考点讲练十四 多边形外角和的实际应用 12 考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合 13 考点讲练十六 平面镶嵌 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 闯关训练 17 基础夯实 能力提升 17 创新拓展 拔尖冲刺 19 知识点一： 四边形及其内角和 四边形的定义： 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 知识点二：四边形的内角与外角性质 （1）四边形的内角和等于360°. （2）四边形的外角和等于360°. （3）四边形具有不稳定性. 知识点三：多边形及其内角和 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 【解题技巧】 1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 【解题技巧】 1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 2）正n边形有n条对称轴． 3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 考点讲练一 四边形的不稳定性 【典例分析】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【变式训练】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练二 多边形的概念与分类 【典例分析】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 考点讲练三 多边形截角后的边数问题 【典例分析】（23-24八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【变式训练】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 考点讲练四 多边形的周长 【典例分析】已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【变式训练】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 考点讲练五 网格中多边形面积比较 【典例分析】（23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【变式训练】（23-24九年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 考点讲练六 多边形对角线的条数问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题 【典例分析】（24-25六年级下·山东泰安·月考）下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②若，则是的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 考点讲练八 多边形内角和问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 考点讲练九 正多边形的内角问题 【典例分析】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【变式训练】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，已知正六边形，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作一个等边三角形． (2)在图中，作线段的垂直平分线． 考点讲练十 多（少）算一个角问题 【典例分析】（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题 【典例分析】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 考点讲练十二 复杂图形的内角和 【典例分析】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 考点讲练十三 正多边形的外角问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 考点讲练十四 多边形外角和的实际应用 【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了米，则的值是 ． 【变式训练】（23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合 【典例分析】（2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 考点讲练十六 平面镶嵌 【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 【演练1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【演练3】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 【演练4】（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 【演练5】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（    ）      A． B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是 ． 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）求图形中x的值． (1) (2) 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）“红军帽”是红军的象征，其帽顶近似为正多边形，且其一个内角为，则帽顶可以看作正 边形． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，五边形的一个内角，则 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）求下列图形中的值（图②中）． 8．（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求的值． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 四边形及多边形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一： 四边形及其内角和 2 知识点二：四边形的内角与外角性质 2 知识点三：多边形及其内角和 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 四边形的不稳定性 3 考点讲练二 多边形的概念与分类 4 考点讲练三 多边形截角后的边数问题 6 考点讲练四 多边形的周长 7 考点讲练五 网格中多边形面积比较 9 考点讲练六 多边形对角线的条数问题 10 考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题 12 考点讲练八 多边形内角和问题 15 考点讲练九 正多边形的内角问题 17 考点讲练十 多（少）算一个角问题 18 考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题 21 考点讲练十二 复杂图形的内角和 23 考点讲练十三 正多边形的外角问题 25 考点讲练十四 多边形外角和的实际应用 27 考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合 28 考点讲练十六 平面镶嵌 30 中考真题 实战演练 35 难度分层 闯关训练 39 基础夯实 能力提升 39 创新拓展 拔尖冲刺 44 知识点一： 四边形及其内角和 四边形的定义： 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 知识点二：四边形的内角与外角性质 （1）四边形的内角和等于360°. （2）四边形的外角和等于360°. （3）四边形具有不稳定性. 知识点三：多边形及其内角和 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 【解题技巧】 1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. 2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. 3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 【解题技巧】 1）正n边形的每个内角为，每一个外角为． 2）正n边形有n条对称轴． 3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 考点讲练一 四边形的不稳定性 【典例分析】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【完整解答】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 【完整解答】解：三角形具有稳定性． 故选：B． 考点讲练二 多边形的概念与分类 【典例分析】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【完整解答】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 【答案】3 【思路引导】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【完整解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 考点讲练三 多边形截角后的边数问题 【典例分析】（23-24八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【思路引导】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【完整解答】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【考点剖析】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 【变式训练】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【思路引导】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【完整解答】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【考点剖析】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 考点讲练四 多边形的周长 【典例分析】已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【完整解答】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解： ， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 【变式训练】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【思路引导】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【完整解答】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【考点剖析】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 考点讲练五 网格中多边形面积比较 【典例分析】（23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【完整解答】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【考点剖析】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 【变式训练】（23-24九年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【思路引导】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【完整解答】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 考点讲练六 多边形对角线的条数问题 【典例分析】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【思路引导】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【完整解答】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 【变式训练】（24-25八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于以及内角和公式是解题关键． （1）根据正八边形的外角和为求解即可； （2）根据题意得出新多边形是九边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【完整解答】（1）解：正八边形的外角和为， 每个外角； （2）解：八边形剪掉一个角可以得七边形或八边形或九边形，且从一个顶点引出的对角线比原来多一条， 新多边形是九边形， 内角和． 考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题 【典例分析】（24-25六年级下·山东泰安·月考）下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②若，则是的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面图形的基本概念或定理，判断命题的对错关键是熟练掌握教材中的定义，根据相关概念和定理逐个分析判断即可． 【完整解答】解：①连接两点的线段长度叫两点的距离，故①错误； ②若在内部，则是的平分线，若在外部，则不是的平分线，故②错误； ③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形，故③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤错误； 正确的个数为0个， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 【答案】(1)9 (2)2， (3)，不可以，见解析 (4)62；70 【思路引导】本题考查了图形规律，列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）研究表格数据得，即可作答． （2）研究表格数据得当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个：与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形，即可作答． （3）依题意，列式，则不是正整数，即可作答． （4）模仿题干过程，然后结合三角形以及四边形来研究：得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数，故，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，根据表格数据得 ， ， ∴， 故答案为：9； （2）解：发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个： 与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； 故答案为：2，； （3）解：由（2）得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； ∴把代入，得， 原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个，理由如下： ， 解得，不是正整数， ∴原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个； （4）解：如图，四边形内部有若干个点，用这些点以及四边形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 则把代入，得（个）， 观察题干的表格数据，用三角形以及四边形来研究： 得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数 即， 当十二边形内有30个点时，分割成个三角形． 考点讲练八 多边形内角和问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【思路引导】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【完整解答】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【完整解答】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 考点讲练九 正多边形的内角问题 【典例分析】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【完整解答】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，已知正六边形，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作一个等边三角形． (2)在图中，作线段的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【思路引导】本题主要考查了无刻度直尺作图，正六边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，即可； （）连接交于点，延长交于点，然后连接，则直线即为所求 【完整解答】（1）解：如图，连接，，，则即为所求； 理由：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，即即为所求； （2）解：如图，连接交于点，延长交于点，然后连接，则直线即为所求． 考点讲练十 多（少）算一个角问题 【典例分析】（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【思路引导】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【完整解答】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题 【典例分析】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【思路引导】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【思路引导】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【完整解答】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 考点讲练十二 复杂图形的内角和 【典例分析】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【完整解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式训练】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【完整解答】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 考点讲练十三 正多边形的外角问题 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【答案】 6 5 【思路引导】（1）利用任意多边形的外角和为，用外角和除以每个外角的度数，即可得到多边形的边数； （2）先根据内角与相邻外角互补求出正边形的一个外角的度数，再利用多边形外角和为，用外角和除以每个外角的度数，得到的值． 【完整解答】解：（1）∵任意多边形的外角和为，且该多边形每个外角为， ∴边数． （2）∵正边形的一个内角为，内角与外角互补， ∴一个外角的度数为， ∵多边形外角和为， ∴． 【考点剖析】本题考查了多边形的外角和与内角和的性质，掌握任意多边形的外角和恒为，及内角与相邻外角的互补关系是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【思路引导】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【完整解答】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 考点讲练十四 多边形外角和的实际应用 【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点……照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了米，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正多边形的性质和多边形外角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形，则它的边数为，再用除以即可解答． 【完整解答】解：由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形， 则它的边数为， 那么， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【完整解答】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合 【典例分析】（2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【答案】（1）8；（2）14；（3）或或 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的综合应用，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式，多边形的外角和为． （1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可； （2）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式和外角和列出方程，解方程即可； （3）多边形截去一个角后，新的多边形的边数有3种情况：增加一条边；边数与原多边形相同；减少一条边，求出结果即可． 【完整解答】解：（1）由多边形的内角和公式可得： ， 解得：． （2）设这个多边形的边数是，由题意得： ， 解得， 这个多边形对角线的条数是． （3）由题意可得：， 解得：， 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是： ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)理由见详解 【思路引导】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理． （1）利用多边形的外角和定理进行判断即可； （2）利用多边形的内角和定理进行证明即可． 【完整解答】（1）解：该说法错误，理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角都等于， 所以，该说法错误； （2）解：假设的边数为，则的边数为， ∴的内角和为， 则的内角和为， ∴， 解方程得， 所以，无论取何值，的值始终不变，为2． 考点讲练十六 平面镶嵌 【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正方形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【完整解答】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正方可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【变式训练】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 【答案】探究一：①②④；探究二：①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺；②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；探究三： 【思路引导】探究一：根据多边形的内角，结合围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角，据此判断即可； 探究二：分①正三角形与正方形，②正三角形与正六边形，③正三角形，正方形与正六边形，利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角”列二元一次方程，求解即可； 探究三：利用平面镶嵌的性质和正多边形的内角的性质列出等式即可化简得出结论． 【完整解答】解：探究一 ∵正三角形的内角和是，∴正三角形能密铺； ∵四边形的内角和是，∴正四边形能密铺； ∵五边形的内角和是，不能与整除，∴正五边形不能密铺； ∵正六边形的一个内角的度数是，能与整除，∴正六边形能密铺； 故答案为：①②④； 探究二 ①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形． 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是， 若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解， 正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； ②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正六边形． 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角是，若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解或， 正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； ③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形．个正六边形 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 若想用个个与个围成，则 ， 即， 这个，三元一次方程的正整数解， 正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 探究三 正边形的每个内角为， 边数分别为，的正多边形的每个内角为 ， ， ， ， 与应满足：． 【考点剖析】本题主要考查了正多边形的性质，多边形的内角和，平面镶嵌，本题是阅读型题目，正确理解题干中的知识点并熟练应用是解题的关键． 【演练1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【完整解答】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选B． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【完整解答】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【演练3】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设 ， ，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【完整解答】解：作，设 ， ， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 【演练4】（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式求出，然后根据三角形外角的性质求出即可． 【完整解答】解：八边形是正八边形， ， 八边形是正八边形 ∴，， ， ∵是的外角 ， 故选：D． 【演练5】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【思路引导】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【完整解答】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【考点剖析】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了四边形的内角和，牢记四边形内角和为是关键． 利用四边形内角和为的性质，结合已知一组对角互补，推导另一组对角的关系． 【完整解答】解：∵ 四边形内角和为，且一组对角互补，即和为， ∴ 另一组对角之和为，即互补. ∴ 另一组对角互补. 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式，并能结合已知条件进行角度计算是解题的关键． 先判断该图形为五边形，利用多边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合已知，通过内角和减去这两个角的和，得到的度数． 【完整解答】解：根据题意可得． ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【完整解答】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（    ）      A． B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【思路引导】由角平分线的性质，可得，由四边形的内角和，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，，可判断A、B、D选项，结合在绕点旋转的过程中，、的长度是变化的，可判断C选项． 【完整解答】解：∵点为平分线上的一个定点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，四边形的面积不变， ∴的值不变， ∴选项A、B、D结论正确，不符合题意； 在在绕点旋转的过程中，， ∵、的长度是变化的， ∴的长度是变化的， ∴选项C结论错误，符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题考查角平分线的性质，同角的补角相等，四边形的内角和，三角形全等的判定和性质． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键； 根据多边形每个内角等于，利用内角和公式求出边数n，再计算内角和． 【完整解答】解：设多边形的边数为n， 则每个内角为， 解得， 内角和为． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·周测）已知四边形中，与互补，，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了四边形内角和定理与互补角的性质，掌握四边形内角和为、互补角的和为是解题的关键． 利用四边形内角和定理及互补角性质计算的度数． 【完整解答】解：∵与互补， ∴ ∵ 四边形的内角和为，且， ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】240° 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【完整解答】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·周测）求图形中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了由四边形的内角和为，熟练掌握是解决此题的关键． （1）、（2）由四边形的内角和为列方程计算即可． 【完整解答】（1）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． （2）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【完整解答】解：， ， ． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【完整解答】解：， 的外角为， ． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【完整解答】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了平面镶嵌（密铺），熟练掌握正多边形的内角和及每个内角的求法是解题的关键； 分别求出各正多边形的每个内角，再结合镶嵌的条件逐项求解即可． 【完整解答】解：①正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故①不符合题意； ②正三角形的每个内角是，正六边形每个内角是，因为，所以用2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌，故②符合题意； ③正四边形每个内角都是，正八边形每个内角都是，因为，所以用1个正四边形和2个正八边形可以进行平面镶嵌，故③符合题意； 所以正确命题的个数是2个， 故选：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【完整解答】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·周测）“红军帽”是红军的象征，其帽顶近似为正多边形，且其一个内角为，则帽顶可以看作正 边形． 【答案】八 【思路引导】本题考查了正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的内角公式是解题的关键． 设该正多边形的边数为，根据正多边形内角公式，结合已知内角 ，列出方程 ，解此方程即可求得边数． 【完整解答】解：设该正多边形的边数为 ． 根据正边形内角公式 ，结合已知其一个内角为 ， 可列方程：， 方程两边同乘得： ； 去括号得： ； 移项合并同类项得： ． 解得：． 经检验，是该方程的解，符合题意． 故答案为：八． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，五边形的一个内角，则 ． 【答案】290° 【思路引导】本题考查了邻补角的性质与多边形的外角和，掌握利用邻补角将内角转化为相关角，结合周角计算角度和是解题的关键． 延长得到的邻补角，利用邻补角的性质求出该邻补角的度数；再结合多边形的外角和为，由此可得到的和． 【完整解答】解：如图，延长，令为． ，， ． ， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则 ． 【答案】41° 【思路引导】此题考查多边形的内角与外角、平行线的性质，熟记多边形的外角和是及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 由每个内角都相等的六边形的每个外角都相等得出，根据三角形的内角和得出，即可根据三角形的外角定理和平行线的性质求解． 【完整解答】解：如图，延长交于点，则． 六边形的每个内角都相等， 其每个外角都相等， ， ． ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）求下列图形中的值（图②中）． 【答案】， 【思路引导】考查了平行线的性质，多边形内角和定理，一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 图①先求出该多边形的内角和，然后据此列一元一次方程求解即可；图②先根据平行线的性质求得，再根据多边形内角和定理列一元一次方程求解即可． 【完整解答】解：图①中，由题意得：， ． 图②中，， ， ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【思路引导】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【完整解答】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为，若该多边形的内角和的比外角和多90°，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，解一元一次方程，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和． 根据多边形内角和公式及多边形外角和为，列出一元一次方程求解即可． 【完整解答】解：由题意，得， 解得． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【完整解答】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $