专题20.5 勾股定理（十八大易错题题型训练 共52题）-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级下册同步培优讲义

专题20.5 易错题题型训练 （第二十章 勾股定理） 【人教版八下●新教材】 易错题型一 勾股树（数）问题 1．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 易错题型二 勾股定理与折叠问题 4．（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，，，．将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 8．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 易错题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 11．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 12．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 易错题型五 勾股定理的证明方法 13．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 14．（24-25八年级下·江西南昌·月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    易错题型六 以弦图为背景的计算题 16．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 易错题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 20．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 21．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 易错题型八 勾股定理与无理数 22．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 23．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 24．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 易错题型九 利用勾股定理求旗杆高度 25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 26．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 27．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 易错题型十 利用勾股定理解决水杯中筷子问题 28．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 29．（24-25八年级下·福建福州·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 易错题型十一 利用勾股定理解决航海问题 31．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 32．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． (1)求A，B两村之间的距离． (2)求点C到直线l的距离． (3)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 易错题型十二 利用勾股定理求台阶上地毯长度 33．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 34．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 35．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 易错题型十三 利用勾股定理判断汽车是否超速 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 37．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 38．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 易错题型十四 利用勾股定理判断是否受台风影响 39．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 40．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由． (2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度． 41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 易错题型十五 利用勾股定理求最短路径 42．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 43．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 44．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 易错题型十六 利用勾股定理的逆定理求解 45．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） (1)图1中，在上画一点，使； (2)图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 47．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 易错题型十七 勾股定理逆定理的实际应用 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 49．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 易错题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题 50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    51．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 52．（1）如图1，是等边内一点，连接，且 ，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.5 易错题题型训练 （第二十章 勾股定理） 【人教版八下●新教材】 易错题型一 勾股树（数）问题 1．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【易错思路引导】本题考查勾股数，数字规律探究： （1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． （2）利用（1）中的结论，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小的数的平方等于另两个连续整数的和， 如 由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． 证明： （m为大于1的奇数）， ∴m，n，是一组勾股数． （2）由（1）中的结论可知，， 当时，， 解得：， 则． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】(1)40；41 (2)，，，见解析 【易错思路引导】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 【规范解答】（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）解：根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 3．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为 ． 【答案】 【易错思路引导】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式． 【规范解答】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为， 故答案为：． 易错题型二 勾股定理与折叠问题 4．（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【易错思路引导】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【规范解答】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 5．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，，，．将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【易错思路引导】此题考查勾股定理，以及翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【规范解答】解：在中，． 根据折叠的性质可知，． ， ， 即的长为． 设，则． 在中，根据勾股定理得， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【易错思路引导】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【规范解答】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【易错思路引导】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【规范解答】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 8．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： (1)如图，在中，若，，则有； 证明：∵，， ∴（依据： ① ） ∴（依据： ② ） (2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至，两点，使得…… 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整． 【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角 (2)见解析 【易错思路引导】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立； 根据小民的证明方法，根据勾股定理得出，根据平方差公式结合已知，即可到结论成立． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴（依据：垂直平分线的性质） ∴（依据：等边对等角） （2）解：小军的证明过程： 分别延长至两点，使得，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 小民的证明方法 证明：∵， ∴与均为直角三角形 根据勾股定理，得 ∴ ∴ ∵① ∴② ①+②得，，即 ∴． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错思路引导】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【规范解答】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 易错题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【易错思路引导】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【规范解答】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 【考点剖析】 11．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【易错思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 12．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【易错思路引导】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 易错题型五 勾股定理的证明方法 13．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【易错思路引导】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. 【规范解答】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. 14．（24-25八年级下·江西南昌·月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【易错思路引导】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）可得， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴．    易错题型六 以弦图为背景的计算题 16．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为、．若小正方形面积为3，且满足则大正方形面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【易错思路引导】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【规范解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴大正方形的面积为：， 故选：B． 17．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【规范解答】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【规范解答】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 易错题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)结论还能成立，见解析 【易错思路引导】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过O点作垂直与分别交于点，设，根据勾股定理分别表示出，， ，，即可证明； （2）结论仍成立，同（1）思路即可证明． 【规范解答】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． （2）解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 20．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【规范解答】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 21．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【规范解答】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 易错题型八 勾股定理与无理数 22．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【易错思路引导】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案 【规范解答】解：由题意得， ∵， ∴ ， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C 23．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【规范解答】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 24．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对 【答案】D 【易错思路引导】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【规范解答】解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 易错题型九 利用勾股定理求旗杆高度 25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1) (2)小明同学应该再放出8米线 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ∵， ∴． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ． 答：小明同学应该再放出8米线． 26．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【规范解答】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 27．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米 (2)风筝的牵引线的长是41米 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 易错题型十 利用勾股定理解决水杯中筷子问题 28．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 29．（24-25八年级下·福建福州·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，荷花的高，且水平距离为，那么水深与组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【规范解答】解：根据题意，荷花的高，且水平距离为， 由勾股定理，， ， ． 故选：C． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　） A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【易错思路引导】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：设水深尺，则芦苇长度为尺， 由勾股定理，可得， 解得， ∴水深12尺． 故选：C． 易错题型十一 利用勾股定理解决航海问题 31．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【规范解答】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 32．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为米，C处与B村的距离为米，且． (1)求A，B两村之间的距离． (2)求点C到直线l的距离． (3)为了安全起见，爆破点C周围半径米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)A，B两村之间的距离为米 (2)720米 (3)公路有危险而需要封锁，需要封锁的路段长度为米 【易错思路引导】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由勾股定理即可求解； （2）过C作于D．先用等积法求出； （3）比较得到结论：段公路需要封锁．以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，，利用勾股定理和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度． 【规范解答】（1）解：在中，米，米， （米）． 答：A，B两村之间的距离为米； （2）如图，过C作于D． ， （米）． （3）公路有危险而需要封锁．理由如下： 由于米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． 以点C为圆心，米为半径画弧，交于点E，F，连接，， 米， （米），是等腰三角形， （米）， 则需要封锁的路段长度为米． 易错题型十二 利用勾股定理求台阶上地毯长度 33．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【易错思路引导】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 34．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【易错思路引导】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【规范解答】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 35．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【易错思路引导】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【规范解答】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【考点剖析】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 易错题型十三 利用勾股定理判断汽车是否超速 36．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【规范解答】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 37．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，． (1)求的长； (2)试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该车超过了的限制速度 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：在中， ，， ， ． （2）解：在中， ，， ． 在中， ，， ， ， ， 该车的速度为， 该车超过了的限制速度． 38．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【规范解答】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 易错题型十四 利用勾股定理判断是否受台风影响 39．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【易错思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【规范解答】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 40．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为． (1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由． (2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)岛屿会受到台风的影响；理由见解析 (2)台风中心的移动速度为． 【易错思路引导】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，利用勾股定理得可求出和，由，可知会受影响； （2）以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风影响岛屿的时长，即可求出台风移动的速度． 【规范解答】（1）解：岛屿会受到台风的影响；理由如下， 过点C作于点D， 由勾股定理得：， ∴， 解得，∴，， ∵， ∴岛屿会受到台风的影响； （2）解：以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风中心的移动速度为． 41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) (2)小丽在家能听到广播，计算见解析 (3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【易错思路引导】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【规范解答】（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 易错题型十五 利用勾股定理求最短路径 42．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线的同侧，A到的距离，B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b，则的值为（　　） A．160 B．150 C．140 D．130 【答案】A 【易错思路引导】本题考查轴对称解决最短路径问题、勾股定理，熟练掌握利用轴对称解决最短路径问题是解题的关键． 作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E，则线段的长为的最小值，根据勾股定理得到，即；延长交于点，则，当点P运动到时，有最大值，过点B作于点F，则，根据勾股定理求得，即有最大值，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求点，过点作于点E， 线段的长为的最小值， 、、, 、、， 即的最小值； 延长交于点， 、 当点P运动到时，有最大值， 、、， 过点B作于点F，则， 即有最大值， ， 故选：A． 43．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【易错思路引导】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【规范解答】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【考点剖析】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 44．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【易错思路引导】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 易错题型十六 利用勾股定理的逆定理求解 45．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错思路引导】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【规范解答】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 46．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹） (1)图1中，在上画一点，使； (2)图2中，点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【易错思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的判定与性质， 熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； （2）取格点F，连接交于E，则点E即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，取格点E，连接并延长交于D，则点D即为所求； 利用勾股定理可证明，利用勾股定理的逆定理可证明，则是等腰直角三角形，即； （2）解：如图所示，取格点F，连接交于E，则点E即为所求； 可证明，则垂直平分， 则， 故， 则三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，即． 47．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)①见解析；② 【易错思路引导】本题主要考查了三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线为等腰三角形的对称轴，即等腰三角形的中线可以把等腰三角形分成两个相同的部分，据此可得答案； （2）方法一：作的四等分点E、D、F，连接，折痕为；方案二：作的中点E、F，连接，折痕为； （3）①由三角形中线平分三角形面积可得，，则可证明，再证明，可得，即；②延长到M，使得，连接，证明，得到；由（1）可得，可证明，得到，则，即可得到． 【规范解答】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故选：B； （2）解：如图，作的四等分点E、D、F，连接， 则，折痕为， ∴ 如图，分别作的中点E、F，连接，折痕为， 则； （3）解：①∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即； ②延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错题型十七 勾股定理逆定理的实际应用 48．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【易错思路引导】（1）由勾股定理逆定理，得到是直角三角形即可证明； （2）过作于点，三线合一求出的长，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【规范解答】（1）解：（1）在中，，，， ，， ， 是直角三角形，． （2）解：如图，过点作于点， ． ， ． 在中，， ， ． ， ， 阴影部分的面积为． 【考点剖析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 49．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【易错思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【规范解答】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 易错题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题 50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【易错思路引导】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 51．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【易错思路引导】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【规范解答】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 52．（1）如图1，是等边内一点，连接，且 ，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析． 【易错思路引导】（1）①由得到，继而证明即可解题； ②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题； ③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可； （2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可． 【规范解答】解:（1）① 即 故答案为：； ② ， 由①得 是等边三角形， 故答案为：； ③ 为直角三角形 为等边三角形 ； （2）当时，． 理由如下: ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形， ， 当满足时，． 【考点剖析】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $