精品解析：辽宁大连汇文中学等校2024-2025学年九年级下学期4月中考模拟练习数学试题

2025年中考模拟练习九年级数学 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A. 2.15×107 B. 0.215×108 C. 2.15×106 D. 21.5×106 2. 比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产出来的乒乓球的质量可能会有一些误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数，为了选一个质量最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰对6个乒乓球进行了称量，记录如下表： 1 2 3 4 5 6 根据表中记录，你认为小杰应该选（ ）乒乓球用于这次比赛． A 1号 B. 2号 C. 3号 D. 6号 3. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各曲线是根据不同函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11 因式分解：__________． 12. 点关于x轴对称点的坐标是__________． 13. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为，同时量得他与镜子的水平距离为，平面镜与旗杆底部的水平距离为，则可计算得旗杆高度为________． 14. 如图，四边形是菱形，，平分，过点D作，，则对角线的长是_______． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 三．解答题(本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1） （2） 17. 为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 19. 某食品店销售一款特色馒头，通过分析销售情况发现，馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表．已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元／盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 （1）求馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数解析式． （2）在顾客获得最大实惠的前提下，当馒头每盒售价为多少元时，该食品店日销售纯利润为1480元？ （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大？并求此日销售最大纯利润． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 21. 如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 22. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 23. 定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 （1）点在的图象上，“域差值”，求m的值； （2）已知函数，求证该函数的“域差值”； （3）点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟练习九年级数学 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A. 2.15×107 B. 0.215×108 C. 2.15×106 D. 21.5×106 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：A． 2. 比赛用的乒乓球质量有严格的规定，但实际生产出来的乒乓球的质量可能会有一些误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数，为了选一个质量最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰对6个乒乓球进行了称量，记录如下表： 1 2 3 4 5 6 根据表中记录，你认小杰应该选（ ）乒乓球用于这次比赛． A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 6号 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的大小比较、绝对值，先求出绝对值，再找出绝对值最小的球即可得解． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴小杰应该选号乒乓球用于这次比赛， 故选：B． 3. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可； 【详解】A、主视图为 ，是三角形，故此选项正确； B、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； C、主视图为 ，是圆，故此选项错误； D、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，合并同类项，解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法则．根据同底数幂相乘、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、根据同底数幂相乘．底数不变指数相加可得：，原计算错误，该选项不符合题意； B、根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变可得：，原计算错误，该选项不符合题意； C、根据积的乘方，因数分别乘方再相乘可得：，原计算错误，该选项不符合题意； D、根据幂乘方，底数不变，指数相乘可得：，正确，该选项符合题意； 故选：D． 5. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《周髀算经》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别为、、、， 画树状图如下： 由树状图可得，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《周髀算经》的情况有6种， ∴恰好选中《周髀算经》的概率是． 故选：B． 8. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线分别交边于点， ，， ，， ，， ， 故选：B． 9. 是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 10. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．熟悉公因式的结构特征是解题的关键． 利用提公因式将提取出来，分解因式即可． 【详解】解：． 12. 点关于x轴对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，在数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一个长度不计的平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知他的眼睛离地面高度为，同时量得他与镜子的水平距离为，平面镜与旗杆底部的水平距离为，则可计算得旗杆高度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆高度为． 故答案为：10． 14. 如图，四边形是菱形，，平分，过点D作，，则对角线的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，先根据菱形的性质得到以及角平分线的定义推导出，，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 三．解答题(本题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据有理数的乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再计算分式的减法，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 【答案】（1）21道题 （2）24道题 【解析】 【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可； （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y，再根据y的实际意义取值即可． 【小问1详解】 解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题， 依题意得：， 解得：． 答：该参赛同学一共答对了21道题； 【小问2详解】 解：设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得：． ∵y为正整数， ∴y最小取24． 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 19. 某食品店销售一款特色馒头，通过分析销售情况发现，馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表．已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元／盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 （1）求馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数解析式． （2）在顾客获得最大实惠的前提下，当馒头每盒售价为多少元时，该食品店日销售纯利润为1480元？ （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大？并求此日销售最大纯利润． 【答案】（1） （2）15元 （3）当时，w有最大值1580元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程与函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设当日销售单价为元时，销售利润为元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （3）设日销售纯利润为元，根据题意求出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设当日销售单价为元时，销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， ∴在顾客获得最大实惠的前提下，销售单价应该定为元， ∴当馒头每盒售价为元时，该食品店日销售纯利润为1480元； 【小问3详解】 解：设日销售纯利润为元， 由题意得：， ∵，， ∴当时，w有最大值1580元． 20. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 21. 如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解； （2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如下图，连接，， ∵四边形 内接于， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴； 【小问2详解】 解： 连接，， ∵与相切， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，勾股定理；熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 【问题发现】 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 如图小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图小红发现，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时或直线时，的长都可求…… 【问题提出与解决】 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为 ； （2）在绕点旋转的过程中，试猜想与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：（3）如图2当直线经过点时，在绕点旋转的过程中，求的长； 【拓展应用】 小刚受到探究过程的启发，在绕点旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：（4）在绕点旋转的过程中，连接，当取最小值时，求的面积． 【答案】（1）；（2），见解析（3）的长为；（4） 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质、旋转性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先由折叠性质得，，然后可得，根据平行线分线段成比例可得出是的中位线，即可求得； （2）连接，先由旋转性质得，，再证明即可得到结论； （3）先根据旋转性质和等腰三角形的性质得到，设，在中，利用勾股定理求得，进而可求解； （4）如图2，连接、，由知，当、、共线时取等号，此时最小，由勾股定理求得，根据直角三角形的斜边中线性质得到，则，证明，利用相似三角形的性质求得 ，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴； （2），证明如下， 如图1，连接， 由旋转性质得，，又， ∴， ∴； （3）如图2， ∵， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴； （4）如图，连接， 则，当A、F、D共线时取等号，此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 （1）点在的图象上，“域差值”，求m的值； （2）已知函数，求证该函数的“域差值”； （3）点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可； （2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即； （3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点，在的图象上， ∵“域差值”， ， 即， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，均是方程的解， ∴m的值为或； 【小问2详解】 证明：设函数图象上存在点，且满足， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 即， 故该函数的“域差值”； 【小问3详解】 解：∵点为函数图象上的一点， ， 由（2）得：， 当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时， 则， 解得：， ∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”． 对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为， 可得：， ∴． 【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $