专题10正方形题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题10正方形题型突破讲义 基础 过关题 1.正方形性质理解 2.由正方形的性质求角度 3.由正方形的性质求线段长 4.由正方形的性质求面积 5.正方形的判定定理理解 6.证明四边形是正方形 7.添一条件使四边形是正方形 能力 提升题 8.由正方形的性质证明 9.由正方形的性质判定证明 10.由正方形的性质判定求角度 11.由正方形的性质判定求线段长 12.由正方形的性质判定求面积 拓展 拔高题 13.正方形折叠问题 14.求正方形重叠部分面积 15.特殊平行四边形的动点问题 16.四边形中的线段最值问题 17.四边形其他综合问题 一、正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 二、正方形的性质（必背） 1.边 四条边都相等 对边平行 2.角 四个角都是直角（90°） 3.对角线 相等、互相. 每条对角线平分一组对角 对角线把正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 4.对称性 轴对称图形：4 条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线） 中心对称图形，对称中心是对角线交点 三、正方形的判定（必考） 1.一组邻边相等的矩形是正方形 2.有一个角是直角的菱形是正方形 3.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 4.对角线互相垂直的矩形、对角线相等的菱形都是正方形 四、常用计算（必会） 边长为 a： 周长 = 4a 面积 = a2 对角线长 = a​ 已知对角线 d：面积 = d2 五、常见题型核心思路 1.利用边、角、对角线关系求长度、角度、面积 2.先判定是矩形 / 菱形，再证正方形 3.利用对称性快速求阴影面积、折叠问题 4.结合勾股定理、等腰直角三角形解题 六、思想方法（考点） 转化思想：正方形 ↔ 矩形 ↔ 菱形 对称思想：折叠、阴影面积常用对称简化计算. 推理证明：规范书写 “性质→条件→结论” 【题型1.正方形性质理解】 1．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝ 度． 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 3．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 4．如图，在正方形中，O是坐标原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型2.由正方形的性质求角度】 .5．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 6．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ． 8．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 9．边长为的正方形的对角线的长度为 ． 10．已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 11．如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 12．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【题型4.由正方形的性质求面积】 13．若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 14．如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（   ） A．4 B． C．2 D．1 15．如图边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 解答题 16．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 【题型5.正方形的判定定理理解】 17．正方形是有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形，因此它既是 又是 ． 18．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 19．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【题型6.证明四边形是正方形】 20．下列命题中是真命题的选项是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．三条边都相等的四边形是菱形 21．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 22．如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．当平分时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 解答题 23．如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【题型7.添一条件使四边形是正方形】 24．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 25．已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 26．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 27．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【题型8.由正方形的性质证明】 28．如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是 ． 29．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 30．如图所示，已知正方形，以为边在正方形外作等边，与交于点F，连接．则的度数为 ． 【题型9.由正方形的性质判定证明】 31．我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 32．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 33．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 34．分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 【题型10.由正方形的性质判定求角度】 35．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． . 36．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 37．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【题型11.由正方形的性质判定求线段长】 38．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    39．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 40．如图，一次函数与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与，垂足为M、N，若四边形为菱形，则点P的横坐标为 ． 解答题 41．如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【题型12.由正方形的性质判定求面积】 42．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 ． 43．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 44．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 解答题 45．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【题型13.正方形折叠问题】 46．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 47．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 48．如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1） ．（2） ． 【题型14.求正方形重叠部分面积】 49．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 50．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 51．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型15.特殊平行四边形的动点问题】 52．如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，且当运动了一秒后才以每秒的速度从点出发，在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，动点、能与点、点形成平行四边形的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 53．如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．    54．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 解答题 55．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【题型16.四边形中的线段最值问题】 56．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 57．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 58．如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，，则的最小值为 ． 解答题 59．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【题型17.四边形其他综合问题】 60．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 61．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 62．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10正方形题型突破讲义 基础 过关题 1.正方形性质理解 2.由正方形的性质求角度 3.由正方形的性质求线段长 4.由正方形的性质求面积 5.正方形的判定定理理解 6.证明四边形是正方形 7.添一条件使四边形是正方形 能力 提升题 8.由正方形的性质证明 9.由正方形的性质判定证明 10.由正方形的性质判定求角度 11.由正方形的性质判定求线段长 12.由正方形的性质判定求面积 拓展 拔高题 13.正方形折叠问题 14.求正方形重叠部分面积 15.特殊平行四边形的动点问题 16.四边形中的线段最值问题 17.四边形其他综合问题 一、正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 二、正方形的性质（必背） 1.边 四条边都相等 对边平行 2.角 四个角都是直角（90°） 3.对角线 相等、互相. 每条对角线平分一组对角 对角线把正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 4.对称性 轴对称图形：4 条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线） 中心对称图形，对称中心是对角线交点 三、正方形的判定（必考） 1.一组邻边相等的矩形是正方形 2.有一个角是直角的菱形是正方形 3.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 4.对角线互相垂直的矩形、对角线相等的菱形都是正方形 四、常用计算（必会） 边长为 a： 周长 = 4a 面积 = a2 对角线长 = a​ 已知对角线 d：面积 = d2 五、常见题型核心思路 1.利用边、角、对角线关系求长度、角度、面积 2.先判定是矩形 / 菱形，再证正方形 3.利用对称性快速求阴影面积、折叠问题 4.结合勾股定理、等腰直角三角形解题 六、思想方法（考点） 转化思想：正方形 ↔ 矩形 ↔ 菱形 对称思想：折叠、阴影面积常用对称简化计算. 推理证明：规范书写 “性质→条件→结论” 【题型1.正方形性质理解】 1．如图所示的正方形的方格中，∠1＋∠3﹣∠2＝ 度． 【答案】45 【分析】由网格可知∠1＋∠3=90°，∠2＝45°，计算即可求解． 【详解】解：由正方形网格可知∠1＋∠3=90°，∠2＝45°， ∠1＋∠3﹣∠2＝90°-45°=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了网格中的角度问题，解题关键是明确正方形的性质，准确得出角的度数． 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 3．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交，于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 【答案】80 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形的性质是解题的关键．过点D作交延长线于点M，过点F作点N，由正方形的性质可证得可得，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，从而可得，进而求得,最后求面积即可解答． 【详解】解：过点D作交延长线于点M，过点F作点N，如图所示：    ∵直角三角形，四边形为正方形，过点C作的垂线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形的面积为：． 故答案为：80． 4．如图，在正方形中，O是坐标原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据正方形的性质证明即可得点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，过点A作轴于点E， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【题型2.由正方形的性质求角度】 .5．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 6．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】根据正方形性质得，，根据等边三角形性质得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，则，然后根据即可得出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理． 利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到，证明，即可解决问题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：A． 【题型3.由正方形的性质求线段长】 9．边长为的正方形的对角线的长度为 ． 【答案】2 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理，即可求解． 【详解】解：由正方形的性质可知：， 由勾股定理可知 故答案为2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理的应用以及正方形的性质是解题的关键． 10．已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【答案】D 【分析】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 分类讨论：当时，当时，逐一分析求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． ∴． 设，由折叠得 ． 如图①所示， 当时，． 由勾股定理，得 ， 解得； 如图②所示， 当时．由勾股定理，得 ， 解得． 综上所述，DH的长为5或6.5． 故选D． 11．如图，在正方形中， ，E是边上一点，且，P是对角线上一动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、路径最短问题、勾股定理，掌握利用轴对称解决路径最短问题时解题的关键． 由正方形的性质可知，点B与点D关于对称，由轴对称的性质可知，当点E、P、D在一条直线上时，有最小值，最后根据勾股定理求得最小值即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 在正方形中，点B与点D关于对称， 、， ， ， ， 由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，有最小值， 最小值为， 在中，， 因此的最小值是． 故答案为：． 12．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型4.由正方形的性质求面积】 13．若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4， ∴这个正方形的面积=×4²=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 14．如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查正方形的性质和菱形的面积．连接，根据正方形的面积为8，求得，根据菱形的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接， 正方形的面积为8， ， ， 菱形的面积为4， ， ， 故选：C． 15．如图边长为的正方形，则阴影表示的四边形面积为 平方厘米． 【答案】48 【分析】本题考查了组合图形的面积，图中阴影部分的面积是正方形的面积减去4个空白三角形的面积，据此解答． 【详解】解：如图所示，设左上角小长方形的长为a，右下角空白三角形的一边长为b， 四个空白三角形的面积是： （平方厘米）， 阴影部分的面积是 （平方厘米）， 答：阴影部分的面积是48平方厘米． 故答案为：48． 解答题 16．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 【答案】(1)，； (2)未被小正方形覆盖部分的面积为； (3)以a，b为边长的两个正方形面积之和为25． 【分析】本题主要考查了正方形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的定义可得答案； （2）由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可； （3）由（2）及本小题题意可得关于，的二元一次方程组，解方程组，然后将边长平方并相加即可． 【详解】（1）解：四边形是周长为m的正方形， ，， ； 故答案为：；； （2）解：由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为： ， ∴未被小正方形覆盖部分的面积为； （3）解：由（2）及题意得： 解得或 （舍） ， 以，为边长的两个正方形面积之和为． 【题型5.正方形的判定定理理解】 17．正方形是有一组邻边 ，并且有一个角是 的平行四边形，因此它既是 又是 ． 【答案】 相等 直角 矩形 菱形 【分析】根据正方形的定义和性质填空即可． 【详解】正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形． 故答案为：相等，直角，矩形，菱形 【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形． 18．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（   ） A．①可表示一个角是直角 B．②可表示对角线互相平分、垂直 C．③可表示一组邻边相等 D．①可表示对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形和正方形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意； C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 19．如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 【题型6.证明四边形是正方形】 20．下列命题中是真命题的选项是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．三条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； 故答案选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 21．四边形 的对角线 和 相交于点 ，则下列几组条件中能判定它是正方形的是 ．（只需要填上序号） ① ，； ② ，，，； ③四边形 是矩形，并且 ； ④四边形 是菱形，并且 ． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分是正方形，对各个选项进行分析而从得到答案． 【详解】解：①能，根据对角线相等的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ②能，因为对角线垂直且互相平分能得到是菱形，再根据邻边垂直的菱形为正方形即可判定，故选项正确； ③不能，只能判定为菱形，故选项错误； ④能，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组领边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 22．如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．当平分时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理、等腰直角三角形的性质逐一进行判断即可得到结论． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，故A正确，符合题意； 平分， ， ， ， ， 四边形为菱形，故B错误，不符合题意； ， ， 四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 为等腰直角三角形， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 即为等腰直角三角形时，只能证明四边形为矩形，故D错误，不符合题意； 故选：A． 解答题 23．如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【详解】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 【题型7.添一条件使四边形是正方形】 24．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 25．已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 26．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是矩形，再由正方形的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴需添加的一个条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 27．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了剪纸问题，通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定．根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：设剪口与折痕所成锐角为， 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即剪下的四边形是菱形， 菱形只要有一个角是就是正方形， 则展开四边形后的角为：， 所以． 故选：． 【题型8.由正方形的性质证明】 28．如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=2，即可求解． 【详解】解：∵四边形ACDF是正方形， ∴AC=AF，∠CAF=90°， ∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF， ∴△ACE≌△FAB（AAS）， ∴CE=AB=2， ∴S阴影=×AB×CE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键． 29．如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 30．如图所示，已知正方形，以为边在正方形外作等边，与交于点F，连接．则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 由正方形得到，，，由等边得到，，从而得到，，证明，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9.由正方形的性质判定证明】 31．我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． 32．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，，进而可知△PBD的面积等于的面积，根据正方形的面积进而即可求得△PBD的面积． 【详解】四边形是正方形， ，， 是∠DCE的平分线， ， ， ， 正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． 33．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 34．分别以正方形的边长和为斜边向内作和，连接，若已知，，的面积为8，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合，，易证，得到，再证明，推出，求出，易证，推出，证明四边形是正方形，求出，进而求出正方形的面积为9，再根据正方形的性质证明，得到面积都为8，即可解答． 【详解】解：分别延长交于点 ∵正方形中，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴面积都为8， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【题型10.由正方形的性质判定求角度】 35．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． . 【答案】= 【分析】如图，连接CE、CD，利用勾股定理求得AE、EC、CD、DA、AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图，连接CE、CD， AE， 同理求得EC=CD=DA，AC， ∴AE=EC=CD=DA， ∴四边形AECD是菱形， ∵， ∴， ∴∠AEC=90， ∴菱形AECD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 36．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 37．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【题型11.由正方形的性质判定求线段长】 38．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 39．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 40．如图，一次函数与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与，垂足为M、N，若四边形为菱形，则点P的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正方形的判定和性质，先证明四边形为正方形，设，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵过点P分别作两坐标轴的垂线与， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形， ∴， 设，把代入，得：， 解得：； ∴点P的横坐标为． 故答案为： 解答题 41．如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接． (1)如果四边形为正方形，试用等式表示，之间的数量关系； (2)连接，若平分，求的长． 【答案】(1)当时，四边形为正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，根据正方形的判定定理即可得出答案；在直角三角形中，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．先证明，得出，再得出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）当时，四边形BCDE为正方形 为AD的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 若四边形为正方形， 则， 即三角形为直角三角形， 又， （2）解：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， ， 在Rt中，， ， ． 【题型12.由正方形的性质判定求面积】 42．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 ． 【答案】4 【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4． 【详解】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F， ∵∠ABC=90°，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠FCD+∠BCD=180°， ∴∠A=∠FCD， 又∠AED=∠F=90°，AD=DC， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴DE=DF， ∴四边形DEBF为正方形， S四边形ABCD=S正方形DEBF=16， ∴DE=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 43．如图，将正方形ABCD剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到边长为c的四边形EFGH，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空白部分的面积等于原正方形面积减4个全等三角形的面积，以及空白部分本身是一个边长为c的正方形，利用等面积法求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°， ∴∠AHE+∠AEH=90°， ∵△AHE≌△DGH， ∴∠DHG=∠AEH， ∴∠AHE+∠DHG=90°， ∴∠EHG=90°， 又∵HE=EF=FG=GH， ∴四边形EFGH是正方形， ∴由图可得剩下正方形面积为：， 根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：c2， ，化简得a2+b2＝c2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的性质与判定，全等三角形的性质，解题的关键在于证明四边形EFGH是正方形． 44．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案． 【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S， ∵P是正方形对角线上的一点， ∴，， ∴四边形、都是矩形，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵直线m，n经过点P且， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形的面积正方形的面积 ∴， 同理可证，是正方形，， 则四边形的面积正方形的面积，， ∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和 故答案为： 解答题 45．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 【题型13.正方形折叠问题】 46．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 【答案】6°/6度 【分析】设∠CAE=α，根据折叠的性质列式α+33°+α=45°，解之可得答案． 【详解】解：设∠CAE=α， 根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=∠CAE+∠D'AC=α+33°， ∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD=45°，即∠DAE+∠CAE=α+33°+α=45°， 解得：α=6°， ∴∠CAE的度数为6°， 故答案为：6°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 47．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形与折叠，勾股定理的运用，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题． 根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长． 【详解】解：设，则，由折叠的性质知， ∵点落在边的中点处， ∴， 在中，由勾股定理可知， 即，整理得， 解得，， ∴线段的长为， 故选：A． 48．如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1） ．（2） ． 【答案】 /45度 24 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠，勾股定理解决本题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可解答； （2）设，则，可得，然后在中，利用勾股定理求出x的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：24 【题型14.求正方形重叠部分面积】 49．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 50．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 51．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 【题型15.特殊平行四边形的动点问题】 52．如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，且当运动了一秒后才以每秒的速度从点出发，在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，动点、能与点、点形成平行四边形的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出点运动的路程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， ∵点从点到达点的运动时间：（秒）， ∴点运动的路程：， 当点到达点之前时，设运动时间为时， ∴， 解得：（秒）， 当点到达点之后再向点运动时，设运动时间为时， ∴， 解得：（秒）， ∴与相等的次数为2， 当运动时间为秒时，，， ∴， ∴形成平行四边形的次数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，运用了分类讨论的思想，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 53．如图，在中，，动点P以每秒的速度从点A向点D运动．另一动点Q以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为 秒．    【答案】0或4 【分析】根据平行四边形的性质可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， ∵点P以每秒的速度，点Q以每秒的速度运动， ∴点P运动时间为秒，此时点Q从点C运动到点B，又从点B运动到点C， ①点的运动路线是，可得， 解得：； ②点的运动路线是，可得， 解得：； 综上所述，秒或4秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0或4． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 54．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 解答题 55．如图，在梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？ 【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形 【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当时，当时，当时，由等腰三角形的性质就可以得出结论． 【详解】解：如图1，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 解得：． 如图2，当时，作于E， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，． 在中，由勾股定理，得 ． ， 解得：； 如图3，当时，作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ， ， 故方程无解． 综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键． 【题型16.四边形中的线段最值问题】 56．如图，四边形为菱形，以为斜边的的面积为3，，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形菱形， ∴A、C关于BD对称， ∵点E，C在BD的同侧， ∴当A、P、E三点共线时，的值最小，且最小值为AE； ∵以为斜边的的面积为3， ， ∴， ∴AE=3， ∴的最小值是3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型． 57．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（    ） A．5 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小． ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出． 58．如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，证明，可得，当当、、、在同一直线上时，可得最小值为，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， 在中，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在与中， ， ， ， ， 当、、、在同一直线上时，最小即为， 中，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，将转化为是解题的关键． 解答题 59．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解； （2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； （2）解：由（1）得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【题型17.四边形其他综合问题】 60．如图，在四边形中，对角线，且，则该四边形的面积是（    ） A．30 B．54 C． D．60 【答案】B 【分析】设两对角线的交点为E，由即可完成． 【详解】设两对角线的交点为E ∵ =54 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形面积的计算，关键是转化为两个直角三角形面积的和，体现了转化思想的应用．一般地，如果四边形的两条对角线相互垂直，则四边形的面积与菱形面积计算一样，等于两对角线乘积的一半． 61．下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断． 【详解】解：设， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴ ， 又∵， ∴， ， ，， ， ∴比值为的是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 62．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $