专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类（讲+练）-2025-2026学年解题秘籍之高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 三、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 四、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由基底的定义可逐项判断. 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． 其中，说法正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】平面内只要不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确； 由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确. 故选：B. 3．（2026高二·全国·课后作业）设是同一个平面内的两个向量，则有（    ） A．平行 B．的模相等 C．同一个平面内的任一向量，有 D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有 【答案】D 【分析】根据平面基本定理一一判定选项即可. 【详解】A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以A错； B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以B错； C.如果是平面内的两个共线向量，所以C错； D.由平面向量基本定理可得，D正确； 故选D 【点睛】考查了平面向量基本定理的运用，基底必须选择同一平面内的不共线的两个向量. 4．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【分析】根据基底的概念和平面向量共线的充要条件可判断选项A；根据平面向量基本定理即可逐一进行判断选项B、C、D.. 【详解】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量，使的实数有且只有一对，故D错误； 故选：B. 题型2：平面向量基底的判断 5．（2026高一·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 6．（2026高一·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 7．（2025高一·全国·专题练习）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可. 【详解】、是不共线的两个非零向量， 对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不是； 对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是； 对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是； 对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是. 故选：C 8．（2026高一·陕西榆林·月考）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由题意可得存在使得，得到关于的方程组，根据方程组求解即可. 【详解】因为为平面内所有向量的一组基底，所以不共线，且不为零向量， 由与共线可得使得，即， 又因为不共线，所以， 所以， 故选：A 9．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 10．（2026高一·山东青岛·期末）在中，，为的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形法则结合已知条件表示出向量即可. 【详解】由题如图所示： 因为为的中点，，， 所以 ， 故选：B. 11．（2026高一·贵州六盘水·月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 12．（2026高一·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 13．（2026高一·山东·月考）已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】因为点，分别为，的中点，    所以， 因为，所以， . 故选：C. 14．（2026高一·广东·月考）在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得. 【详解】由，，所以， 由题意，则， 由. 故选：A 15．（2026高一·四川攀枝花·期末）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法运算法则求解即可. 【详解】，，，所以．    故选：A. 16．（2026高一·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 17．（2026高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 18．（2026高一·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 19．（2026·广东珠海·模拟预测）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 20．（2026·陕西铜川·模拟预测）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 21．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 22．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 23．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 24．（2026高一·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 题型5：平面向量基本定理的应用 25．（2026高一·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【详解】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． 26．（2025高一·全国·专题练习）在边长为4的菱形中，，，则（    ）． A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】A 【分析】由向量的线性运算和数量积的运算律计算即可. 【详解】， 所以． 故选：A. 27．（2026高一·四川雅安·期末）菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（  ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】由在方向上的投影向量为，可得，利用向量线性运算用表示，由数量积的分配律运算得解. 【详解】由菱形的边长为2，在方向上的投影向量为， 所以，得， 又，故， 又，则 . 故选：A.    28．（2026高一·云南大理·月考）已知点在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用表示，再结合投影即可得出，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以，则， 因为，所以是的外接圆的圆心， 所以， 则. 故选：D 29．（2026高一·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 30．（2026高一·山西运城·期末）已知边长为2的菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及夹角公式求解. 【详解】依题意，， 因此 ，解得， 则，而， 所以. 故选：C 31．（2026高一·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】，又，所以， 因为， 所以， 所以，所以，即． 故选：A 32．（2026高一·广西河池·期末）如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量垂直的数量积关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可得，， 所以，故，D对. 故选：A. （四） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型6：平面向量正交分解的理解 33．（2026高一·全国·课后作业）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 【答案】答案见解析 【分析】根据图中数据可得各向量的坐标. 【详解】， ， ， . 34．（2026高一·全国·随堂练习）已知向量，，，求，并用标准正交基表示. 【答案】， 【分析】根据向量的线性坐标运算即可求解向量坐标，根据坐标定义即可用标准正交基表示. 【详解】因为向量，，， 所以， 所以根据向量坐标概念易知. 35．（2026高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 36．（2026高一·陕西安康·期末）已知，，，以、为基底将分解为的形式为 . 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可列方程组求解. 【详解】由题意可得， 所以， 故答案为： 37．（2026高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 38．（2025高一·全国·专题练习）在直角坐标系xOy中，，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，求k的值． 【答案】或-1． 【分析】根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是． 【详解】解：，且，， （1）若为直角，则； （2）若为直角，则； （3）若为直角，则． 的值为或． 39．（2026高一·北京·期中）如图在的方格中，向量，，的起点和终点都在格点，则 . 【答案】 【分析】取互相垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，根据平面向量的基本定理列出方程组求解. 【详解】分别设方向水平向右和竖直向上的单位向量为， 则 ，， 故答案为：. 40．（2026高一·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】判断与的正负，从而可得点A所在的象限. 【详解】因为分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，，，所以可知点A位于第四象限. 故选：D 题型7：平面向量的坐标表示概念辨析 41．（2025高一·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 【分析】根据向量的坐标表示逐一判断. 【详解】（1）两个向量的终点不同，这两个向量的坐标也有可能相同，（1）错误； （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标，（2）正确； （3）两向量差的坐标跟两向量的顺序有关，（3）错误； （4）终点的坐标与向量的坐标可能相同，可能不同.（4）错误. 故答案为：错误；正确；错误；错误. 42．（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 43．（2026高一·全国·课后作业）平面直角坐标系中，的坐标（    ） A．与点的坐标相同 B．与点的坐标不相同 C．当与原点重合时，与点的坐标相同 D．当与原点重合时，与点的坐标相同 【答案】C 【分析】根据直角坐标系中，由向量的坐标表示，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】A：仅当点与原点重合时，向量与点的坐标相同，错误； B：只有当点不与原点重合时，向量与点的坐标不相同，错误； C：如A中描述，正确； D：当与原点重合时，的坐标值与的对应坐标值互为相反数，错误. 故选：C． 44．（2026高一·全国·课后作业）已知向量，对坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得； ②若x1，x2，y1，y2∈R，，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，，且，则的起点是原点O； ④若x，y∈R，，且的终点坐标是(x,y)，则． 其中，正确结论有 个． 【答案】1 【分析】根据平面向量的基本定理知表示，故①正确；特例法有，故②错误；由向量的性质，跟起点是否为原点无关，故③错误；同时确定起止点坐标才能得到向量的坐标，故④错误． 【详解】由平面向量基本定理，且实数x，y唯一，故①正确； 如：，但1＝1，故②错误； 向量位置的性质，有与的起点是不是原点无关，故③错误； 当的终点坐标是(x,y)时，是以的起点是原点为前提的，故④错误． 故答案为：1. （五） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型8：求向量的坐标 45．（2026高一·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 46．（2026高一·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 47．（2026高一·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为，所以， 与向量方向相反的单位向量为， 故选：B 48．（2026高一·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. （六） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型9：求点的坐标 49．（2026高一·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 50．（2026高一·陕西西安·月考）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的运算可得答案. 【详解】因为，点的坐标为， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：A. 51．（2026高一·北京房山·期末）已知点，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用中点坐标公式求解即可. 【详解】由中点坐标公式，线段的中点坐标为， 即. 故选：A 【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，属于简单题. 52．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量相等求解. 【详解】因为，，， 所以， 设，则， 所以，即， 所以, 故答案为： 53．（2026高一·天津·期末）已知平行四边形，，，，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量相等求出点的坐标. 【详解】在中，，设，而，，， 因此，即，解得， 所以点D的坐标为. 故答案为： 1．【多选】（2026高一·辽宁大连·期末）下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 【答案】CD 【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD. 【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误； 对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确； 对于D，由向量共线定理可知， 其中， 若则，故D正确. 故选：CD. 2．（2026高一·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 3．（2026高一·黑龙江·期末）已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 4．（2026高一·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法法则和数乘向量的运算法则即可求出. 【详解】由点是线段的中点，得， 由，且四边形为平行四边形，得， 则 ， 故.    故选：A 5．（2026高一·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的线性运算可得出，，再结合正六边形性子逐项计算即可判断. 【详解】如下图所示： 由正六边的几何性质可得， 所以，， 所以，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：A. 6．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 7．（2026高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 8．（2026高一·山东东营·期末）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】设的长为，又，，根据数量积的运算律及定义得到方程，解得即可. 【详解】设的长为，因为，， 所以 ，解得或（舍去）． 故选：A 9．（2026高三·浙江·开学考试）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解. 【详解】因为点是的中点，， 所以， ； 因为， 所以 ， 则，故A正确. 故选：A. 10．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 11．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设,依题得分别由三点共线和三点共线，利用平面向量基本定理得两个向量方程，求得，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 12．（2026高一·江苏扬州·月考）在中，，，，与交于，若 ，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，且，由和三点共线，得到和，列出方程组，求得，得到，结合，求得，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设，且，则，如图所示， 因为三点共线，则存在实数使得， 又因为三点共线，则存在实数使得 所以，则 ，解得， 所以，且 因为，可得，解得， 所以， 因为，所以， 故选：D. 【点睛】 13．（2026高一·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【详解】由图知， . 故选：D. 14．（2026高一·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 15．（2026高一·天津西青·月考）已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算用表示，再利用数量积计算得解. 【详解】由题，，，， ， ， . 故选：D. 16．（2026高一·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，易得，设，可得，利用平面向量基本定理求出的值，即可求得答案. 【详解】 如图，点是的中点，则， 因点在线段上，则存在，使得，又， 则得，即， 因三点共线，故，解得， 则，即，可得，即. 故选：D. 17．（2026高一·河北石家庄·月考）在中，点D为AC边上的中点，点E满足，点P是直线BD，AE的交点，过点P做一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N（其中点M，N均不与端点重合）设，，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，即可求得答案. 【详解】作交于F，连接，则∽，故， 由于点为边上的中点，故，，故， 又∽，故，故， 则， 由于，，故， 因为三点共线，故，即. 故选：B 18．（2026高一·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题04 平面向量基本定理与正交分解及坐标表示9题型分类 一、平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 二、基底的性质 (1)不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底． (2)不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示． (3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到． 三、平面向量运算的正交分解 1、向量的分解 一个平面向量a用一组基底e1，e2表示成a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解． 2、向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．这两个互相垂直的向量称为正交基底． 四、平面向量运算的坐标表示 1、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 注：关于平面向量的坐标表示 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标． (3)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 2、向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 注：点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量a＝(x，y)，点A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． （一） 平面向量的基底 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 题型1：平面向量基本定理的理解 1．（2026高一·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2025高一·全国·专题练习）下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． 其中，说法正确的为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．（2026高二·全国·课后作业）设是同一个平面内的两个向量，则有（    ） A．平行 B．的模相等 C．同一个平面内的任一向量，有 D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有 4．（2026高一·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 题型2：平面向量基底的判断 5．（2026高一·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026高一·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（2025高一·全国·专题练习）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 8．（2026高一·陕西榆林·月考）已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 9．（2026高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ （二） 用基底表示向量 1．用基向量表示向量的三个依据 (1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则； (2)向量减法的几何意义； (3)数乘向量的几何意义． 2．关于基底的一个结论 设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.　　 题型3：用基底表示向量 10．（2026高一·山东青岛·期末）在中，，为的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高一·贵州六盘水·月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·山东·月考）已知为等边三角形，点，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·广东·月考）在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（   ）． A． B． C． D． 15．（2026高一·四川攀枝花·期末）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（    ） A． B． C． D． 16．（2026高一·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． （三） 平面向量基本定理的应用 利用平面向量基本定理解题的策略： （1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算． （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式． 题型4：平面向量基本定理求参数 17．（2026高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 18．（2026高一·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 19．（2026·广东珠海·模拟预测）在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 20．（2026·陕西铜川·模拟预测）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 22．（2026高一·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 23．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 题型5：平面向量基本定理的应用 25．（2026高一·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 26．（2025高一·全国·专题练习）在边长为4的菱形中，，，则（    ）． A．8 B．7 C．6 D．9 27．（2026高一·四川雅安·期末）菱形的边长是2，且在方向上的投影向量为，若，则（  ） A．3 B．7 C． D． 28．（2026高一·云南大理·月考）已知点在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 29．（2026高一·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 30．（2026高一·山西运城·期末）已知边长为2的菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·江苏南通·期中）直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 32．（2026高一·广西河池·期末）如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（   ）    A． B． C． D． （四） 平面向量的坐标表示概念辨析 (1)相等的向量坐标相同； (2)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关． 题型6：平面向量正交分解的理解 33．（2026高一·全国·课后作业）如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 34．（2026高一·全国·随堂练习）已知向量，，，求，并用标准正交基表示. 35．（2026高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 36．（2026高一·陕西安康·期末）已知，，，以、为基底将分解为的形式为 . 37．（2026高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 38．（2025高一·全国·专题练习）在直角坐标系xOy中，，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，求k的值． 39．（2026高一·北京·期中）如图在的方格中，向量，，的起点和终点都在格点，则 . 40．（2026高一·全国·课后作业）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 题型7：平面向量的坐标表示概念辨析 41．（2025高一·全国·专题练习）判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”． （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) （4）终点的坐标与向量的坐标相同.( ) 42．（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（2026高一·全国·课后作业）平面直角坐标系中，的坐标（    ） A．与点的坐标相同 B．与点的坐标不相同 C．当与原点重合时，与点的坐标相同 D．当与原点重合时，与点的坐标相同 44．（2026高一·全国·课后作业）已知向量，对坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得； ②若x1，x2，y1，y2∈R，，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，，且，则的起点是原点O； ④若x，y∈R，，且的终点坐标是(x,y)，则． 其中，正确结论有 个． （五） 求向量的坐标 1、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．　　 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 2、始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角. 题型8：求向量的坐标 45．（2026高一·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 46．（2026高一·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 47．（2026高一·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2026高一·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． （六） 求点的坐标 求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 题型9：求点的坐标 49．（2026高一·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．（2026高一·陕西西安·月考）已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 51．（2026高一·北京房山·期末）已知点，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，，若向量，则点D的坐标为 ． 53．（2026高一·天津·期末）已知平行四边形，，，，则点D的坐标为 ． 1．【多选】（2026高一·辽宁大连·期末）下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 2．（2026高一·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·黑龙江·期末）已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·广东深圳·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（2026高一·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 7．（2026高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（2026高一·山东东营·期末）如图，在平行四边形中，，，E为的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（2026高三·浙江·开学考试）在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 11．（2026高三·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026高一·江苏扬州·月考）在中，，，，与交于，若 ，则（  ） A． B． C． D． 13．（2026高一·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高一·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 15．（2026高一·天津西青·月考）已知如下图，平行四边形中， ，，，，，，分别是，的中点，是上一点， 且 则 （    ） A． B． C． D． 16．（2026高一·浙江金华·月考）在中，点是的中点，点在线段上，且，和相交于点，则的值为（    ） A．1:1 B．2:1 C．3:1 D． 17．（2026高一·河北石家庄·月考）在中，点D为AC边上的中点，点E满足，点P是直线BD，AE的交点，过点P做一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N（其中点M，N均不与端点重合）设，，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 18．（2026高一·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $