精品解析：浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题

台州市2025学年第一学期高二年级期末质量评估试题 数学 2026.02 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 设，向量，且，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的充要条件，结合空间向量的坐标运算即可得解. 【详解】因为向量，且， 所以，即. 故选：A. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果. 【详解】. 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质即可求解． 【详解】可知抛物线的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长， 所以． 故选：B． 5. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：B. 7. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积. 【详解】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称. 所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成图形的面积为. 故选：B. 8. 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分离参数，转化为求两函数图像交点的问题，画出在区间的图像即可. 【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解， 当时，，故可化为， 令，，则问题转化为与在各有一个交点. 设， ， 时，， 故，在单调递增， 又，所以时，，，在单调递增. 时，设， 故在上单调递增， 又，故存在使成立， ，，单调递减；，，单调递增. 又，，所以存在使成立， ，，单调递增；，，单调递减. 又, 所以大致图像如图所示， 故的取值范围为 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，在区间上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，是函数的极小值点 D. 当时，函数有三个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求函数的导数，代入相应的的值，利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】函数，定义域为. . 当时，. 当时，，所以在区间上单调递减，所以A错误. 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以B正确. 当时，令，则或. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以是函数的极小值点，所以C正确. 当时，. 所以当时，；当或时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为， 所以函数在上各有一个零点，共三个零点，所以D正确. 故选：BCD. 10. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可. 【详解】设，记AB中点为. 则，两式相减得，. 当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为. 所以，即，即. 对于A，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以A正确； 对于B，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点， 即不可以作为线段中点，所以B不正确； 对于C，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点， 即不可以作为线段中点，所以C不正确； 对于D，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得， 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以D正确. 故选：AD. 11. 设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为“阶递减数列” B. 若，则为“阶递减数列” C. 若，则为“阶递减数列” D. 若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“阶递减数列”的定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以为“阶递减数列”，A正确； 对于B，因为， 因为，当均为偶数时，，不满足； 当为奇数时，为偶数时，， 为奇数时，，不满足， 所以不为“阶递减数列”，B错误； 对于C，因为， 因为，所以，所以存在正整数，使得对任意，均有， 比如取可使不等式对所有n成立，所以为“阶递减数列”，C正确； 对于D，若为“阶递减数列”，则存在正整数，使得对任意，均有， 所以该数列不存在最小值，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线的方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用求导得到导函数，代入得到切线斜率，再求出切点坐标，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】由题意，，所以，则， 因为当时，，所以在处的切线的方程为：，即. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的定义及“且”，可用表示，结合余弦定理可得的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为. 由题可知，得，所以. 因为，且，所以. 中，由余弦定理得， 所以， 化简得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 已知长方体中，，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点、点坐标，根据求出点的轨迹方程，进而得到的代数式，与相加，结合某一点到两个固定点距离的最小值求解即可. 【详解】以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，. 设（底面内，，），（棱上，）. 则，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得，即点的轨迹为平面上以为圆心，2为半径的圆在底面内的部分. 以下部分在平面上以平面直角坐标系求解. 的最小值为平面上圆心到的距离减去半径2， 即. 所以. 令，则表示平面上轴上的点到点和点的距离之和. 在平面上作关于轴的对称点， 所以的最小值即为的距离，， 即， 此时为直线与轴的交点，直线方程为：， 则，所以. 点为直线与圆在矩形内的交点. 直线：，则. 综上，，当，时，等号成立. 故答案为：8. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【小问1详解】 直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导即可解决； （2）根据（1）所求的单调区间求解即可． 【小问1详解】 ， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为， 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为． 17. 已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算公差，即可得的通项公式；由，可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，并写出数列的通项公式； （2）根据错位相减求和法可得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则由，可知， 即，解得. 则的通项公式为. 当时，，所以， 当时，，即 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 所以 【小问2详解】 由（1）得， 所以① 所以② ，得， 所以， 所以. 18. 如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为. （1）当时， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求三棱锥外接球的表面积； （2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值. 【答案】（1）（i）（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）可以根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面角的正弦值即可，也可根据几何体的性质，作出线面角的平面角，求出结果即可. （ii）根据三棱锥外接球的几何性质，设出球心的坐标，根据空间中两点间的距离公式，求出球心坐标和半径，根据球的表面积公式，求出结果即可. （2）根据面面角的向量求法，设出点的坐标，表示出面的法向量，构造函数，根据二次函数单调性，判断函数最大值，求出结果即可. 【小问1详解】 （i）（方法一） 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 过点作，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 所以，平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 所以. （方法二） 因平面平面，平面平面， 取中点，连接，则， 所以平面. 连接，所以即为直线与平面所成角. 所以. （ii）的外心为，所以可设球心坐标为， 由，可得， 解得， 所以半径，三棱锥外接球的表面积为. 【小问2详解】 如图所示，过作. 又因为，所以即为二面角的平面角 如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，则 即 于是， 又因为平面的法向量， 所以， 令，则 所以当时，取最小，即取到最大值， 此时. 19. 已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围； （3）当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设动点，利用点在圆上，列出有关的方程即可； （2）当直线的斜率不存在时，直接可求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，得，由直线方程与椭圆方程联立，消去，由得，再利用根与系数的关系表示出，令，求得，进而解得的取值范围； （3）设直线的方程为，由直线的方程与椭圆方程联立消去，由韦达定理得，由，得到，求得；进而得直线的方程为，根据，令，得利用函数即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设，则点，由点在圆上，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当直线斜率不存在时，或3. ②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设， 由题意知， 由消去，得， 由得， 由韦达定理得， 于是， 不妨令， 则，所以， 解得，且. 综合①，②可知的取值范围为. 【小问3详解】 设直线的方程为，则 由消去，得， 由韦达定理得， 因为，所以. 即. 于是 即， 化简得. 因为直线不过点，所以. 所以. 所以直线的方程为， 与椭圆方程联立得， 此时. 则， 令，则，且 因为在区间递增，所以. 因此. 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2025学年第一学期高二年级期末质量评估试题 数学 2026.02 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，且，则满足的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设各层球数构成一个数列，则（ ） A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 7. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，在区间上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，是函数的极小值点 D. 当时，函数有三个零点 10. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 11. 设数列为无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称为“阶递减数列”.则下列说法正确是（ ） A. 若，则为“阶递减数列” B. 若，则为“阶递减数列” C. 若，则“阶递减数列” D. 若为“阶递减数列”，则数列不存在最小值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线的方程为_______ 13. 已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点.若，且，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知长方体中，，点是底面内动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点是. （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积. 16. 已知函数． （1）求函数单调区间； （2）求函数在区间上的取值范围． 17. 已知等差数列的首项，且，数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和. 18. 如图所示，在平面四边形中，，为等边三角形，沿将折起，设二面角的平面角为. （1）当时， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求三棱锥外接球的表面积； （2）记平面与平面的夹角为，当为何值时，取到最大值. 19. 已知圆与轴交于两点（在的右侧），与轴正半轴交于点，点是圆上的动点，过作轴，垂足为的中点为（当点经过两点时，规定点与点重合.），记的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于两点，求的取值范围； （3）当不与两点重合时，过点作的垂线交曲线于点，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $