专题09菱形题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09菱形题型突破讲义 基础 过关题 1.求平行线间的距离 2.利用菱形的性质求角度 3.利用菱形的性质求线段长 4.利用菱形的性质求面积 能力 提升题 5.利用平行线间距离解决问题 6.利用菱形的性质证明 7.证明四边形是菱形 8.添一条件使四边形是菱形 拓展 拔高题 9.由菱形的性质与判定求角度 10.由菱形的性质与判定求线段长 11.由菱形的性质与判定求面积 一、菱形的定义（必背） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键词：平行四边形 + 一组邻边相等 二、菱形的性质（重点，必考） 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有2 条对称轴，即两条对角线所在直线）。 1.边的性质 四条边都相等：AB=BC=CD=DA 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 2.角的性质 对角相等 邻角互补（和为 180∘） 3.对角线的性质（最核心、最易考） 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 三、菱形的判定（会用、会写证明）. 满足以下任意一条即可判定是菱形： 1.定义法:平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形 2.边判定:四条边都相等的四边形 → 菱形 3.对角线判定（高频考点）:平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形 注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须先是平行四边形。 四、菱形的面积公式（必会计算） 1.普通平行四边形面积：S=底高 2.利用对角线（最常用、最快捷）：S=对角线1对角线2 五、常见易错点 1.菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是菱形。 2.菱形对角线垂直且平分，不是 “相等”（相等是矩形）。 3.对角线互相垂直的四边形 ≠ 菱形，必须先保证是平行四边形。 4.菱形四边相等，但角不一定是直角（是直角就变成正方形）。 【题型1.求平行线间的距离】 1．如图，直线，，垂足分别为C，D，则a，b之间的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段 C．线段的长度 D．线段 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，可知直线a，b之间的距离是线段的长度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，熟练掌握平行线之间距离的定义是解决本题的关键． 2．如图，在平行四边形中，，，则直线，之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，含角的直角三角形的性质，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义是解题的关键．作，根据含角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】解：作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 3．如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质和平行线之间距离的定义对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形， ，故A项正确； ，，， ， ∴四边形是平行四边形， ，故B项正确； 是线段， ∴A，B两点间的距离就是线段AB的长度，故C项正确； 于点E， 与两平行线间的距离就是线段CE的长度，故D项错误， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线之间的距离，熟知从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两平行线之间的距离是解题的关键． 解答题 4．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 【题型2.利用菱形的性质求角度】 5．如图．菱形中，，则 ．    【答案】 【分析】由菱形的性质可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键． 6．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．先根据菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，得再根据菱形的邻角互补即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ， ， ， ， 故选：C． 7．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 【题型3.利用菱形的性质求线段长】 9．在菱形中，已知厘米，则 厘米 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四条边相等． 根据菱形四条边相等即可求解． 【详解】解：如图，在菱形中， ∵四边形为菱形，厘米， ∴厘米， 故答案为：5． 10．如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．根据菱形的性质，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 故选：． 11．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，， ∴， ∴， 在中，由等积法得：， ∴， 故答案为：． 解答题 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到，然后再结合题意即可证明四边形为矩形； （2）先判断与均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出长，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，． 【题型4.利用菱形的性质求面积】 13．菱形的两条对角线相交于点O，若，，则这个菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，解题关键是掌握利用菱形的性质求面积的方法． 先根据菱形的对角线互相垂直得出，再结合，，求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形的两条对角线与相交于点O， ∴， ∵，， ∴这个菱形的面积为， 故答案为：． 14．2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：∵菱形的对角线分别为和， 则菱形的面积是， 故选：B． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 【答案】4.8 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，分析出当菱形面积最大时的图形是解题的关键；由于菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定，当底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大，据此画图，设，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理列方程求，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：∵菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定， ∴当菱形的底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大， 如图，此时菱形的面积最大， 由题意知：，，， 设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， ， 菱形的最大面积为， 故选：D． 【题型5.利用平行线间距离解决问题】 17．如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 18．如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 19．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 解答题 20．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          【题型6.利用菱形的性质证明】 21．菱形有 条对称轴． 【答案】2/两 【分析】把菱形沿对角线所在的直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，从而可得答案． 【详解】解：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线． 故答案为：2 【点睛】本题考查的是菱形的性质，掌握“菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是菱形的对称轴”是解本题的关键． 22．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，即可得出结论． 【详解】解：A、由菱形的对角相等可得，选项说法正确，不符合题意； B、由菱形的邻角互补可得，选项说法不正确，符合题意； C、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； D、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 23．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分， ， 又 ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 解答题 24．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【题型7.证明四边形是菱形】 25．在中，对角线和相交于点，若，则该一定是 （填：矩形或正方形或菱形）． 【答案】菱形 【分析】依据题意画出示意图（见详解），可知且，继而得到平行四边形的对角线互相垂直，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断． 【详解】解：∵在中，对角线和相交于点，如图所示， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理并能灵活应用是解题的关键． 26．学习矩形之后，老师给同学们出了一道题，有下列四个条件：①；②；③；④．从中选一个作为补充条件，使平行四边形为矩形，现有下列四种选法，正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键． 利用矩形、菱形与平行四边形之间的关系，结合矩形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，当①时，平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，当②时，平行四边形是矩形，故此选项正确，符合题意； C．∵四边形是平行四边形， ∴当③时，无法得出四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意； D．∵四边形是平行四边形，     ∴当④时，平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 27．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质， 含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用等面积法解决本题是关键． 作于点E，于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得，再根据等面积法证明，进而证明四边形是菱形，根据含角的直角三角形的性质得出，然后根据定理得出，求出，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作于点E，于点F， ， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ， ， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的周长， 故答案为：． 28．如图，已知，，嘉淇利用尺规作出如下四边形，M，G分别是对角线，边上的动点，关于下面两个结论，结论I：四边形为菱形；结论II：的最小值是，判断正确的是（   ） A． 结论I、II都对 B．结论I、II都不对 C．只有结论I对 D．只有结论II对 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，垂线段最短．证明，都是等边三角形可得结论Ⅰ正确；过点A作于点H，在上截取线段，使得．根据垂线段最短求出的最小值，可得结论Ⅱ正确． 【详解】解：如图，由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形．故结论Ⅰ正确； 如图，过点A作于点H，在上截取线段，使得． ∵四边形是菱形， ∴， ∴，关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为正确． 故选：A． 【题型8.添一条件是四边形是菱形】 29．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】这个条件可以是，依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．还可以添加的条件有 或 或 或 ，依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 30．如图，在四边形中，，，则下列结论中不正确的是（   ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是菱形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形和菱形的判定，先证明四边形是平行四边形，然后结合各选项的条件，根据矩形、菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形，故选项A正确，但不符合题意； ∵， ∴平行四边形是菱形，故选项B正确，但不符合题意； ∵， ∴平行四边形是矩形，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴平行四边形是菱形，故选项D正确，但不符合题意； 故选∶C． 31．如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，即可得四边形是平行四边形，再由即可求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 解答题 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的判定依次进行证明即可； （2）根据菱形的性质得出，再由勾股定理得出，利用直角三角形斜边中线的性质即可求解 【详解】（1）解：选①作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选②平分作为条件 ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ③选作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵点为的中点， ∴． 【题型9.由菱形的性质与判定求角度】 33．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 【答案】/32度 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 34．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 35．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【答案】/59度 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识， 首先证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角进行求解； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵垂直平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵， ， ∴， ， 故答案为：． 【题型10.由菱形的性质与判定求线段长】 36．请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题： ，逆命题是一个 （填真命题或假命题）． 【答案】 菱形的四条边都相等 真命题 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，根据菱形的性质判断命题的真假即可． 【详解】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是：菱形的四条边都相等，此命题为真命题． 故答案为：菱形的四边相等． 【点睛】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 37．如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，进而求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分，故B正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，故C，D正确． 无法判断是等边三角形，故A错误． 故选：A． 38．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 解答题 39．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型11.由菱形的性质与判定求面积】 40．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 41．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 42．如图，平行四边形的两条对角线、相交于点O，，，，则四边形是的周长为（   ） A．24 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判别与性质，平行四边形的性质，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，运用勾股逆定理证明，则四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵， ∴ 即， ∴， 即， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长是， 故选：C 解答题 43．在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，为的中点，得到，结合，得到，证明四边形是平行四边形即可； （2）先证明四边形是菱形．根据勾股定理，结合菱形的面积是：，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∴ ∵，， ∴， ∴菱形的面积是：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09菱形题型突破讲义 基础 过关题 1.求平行线间的距离 2.利用菱形的性质求角度 3.利用菱形的性质求线段长 4.利用菱形的性质求面积 能力 提升题 5.利用平行线间距离解决问题 6.利用菱形的性质证明 7.证明四边形是菱形 8.添一条件使四边形是菱形 拓展 拔高题 9.由菱形的性质与判定求角度 10.由菱形的性质与判定求线段长 11.由菱形的性质与判定求面积 一、菱形的定义（必背） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键词：平行四边形 + 一组邻边相等 二、菱形的性质（重点，必考） 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有2 条对称轴，即两条对角线所在直线）。 1.边的性质 四条边都相等：AB=BC=CD=DA 对边平行：AB∥CD，AD∥BC 2.角的性质 对角相等 邻角互补（和为 180∘） 3.对角线的性质（最核心、最易考） 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 三、菱形的判定（会用、会写证明）. 满足以下任意一条即可判定是菱形： 1.定义法:平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形 2.边判定:四条边都相等的四边形 → 菱形 3.对角线判定（高频考点）:平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形 注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须先是平行四边形。 四、菱形的面积公式（必会计算） 1.普通平行四边形面积：S=底高 2.利用对角线（最常用、最快捷）：S=对角线1对角线2 五、常见易错点 1.菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是菱形。 2.菱形对角线垂直且平分，不是 “相等”（相等是矩形）。 3.对角线互相垂直的四边形 ≠ 菱形，必须先保证是平行四边形。 4.菱形四边相等，但角不一定是直角（是直角就变成正方形）。 【题型1.求平行线间的距离】 1．如图，直线，，垂足分别为C，D，则a，b之间的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段 C．线段的长度 D．线段 2．如图，在平行四边形中，，，则直线，之间的距离为 ． 3．如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法错误的是（　　）    A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．与两平行线间的距离就是线段的长度 解答题 4．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【题型2.利用菱形的性质求角度】 5．如图．菱形中，，则 ．    6．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为 ． 8．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3.利用菱形的性质求线段长】 9．在菱形中，已知厘米，则 厘米 10．如图，在菱形中，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．16 11．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 解答题 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 【题型4.利用菱形的性质求面积】 13．菱形的两条对角线相交于点O，若，，则这个菱形的面积为 ． 14．2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 16．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【题型5.利用平行线间距离解决问题】 17．如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 18．如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 19．如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 解答题 20．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【题型6.利用菱形的性质证明】 21．菱形有 条对称轴． 22．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为 ． 解答题 24．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【题型7.证明四边形是菱形】 25．在中，对角线和相交于点，若，则该一定是 （填：矩形或正方形或菱形）． 26．学习矩形之后，老师给同学们出了一道题，有下列四个条件：①；②；③；④．从中选一个作为补充条件，使平行四边形为矩形，现有下列四种选法，正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 27．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，重叠部分构成四边形，且，则四边形的周长为 ． 28．如图，已知，，嘉淇利用尺规作出如下四边形，M，G分别是对角线，边上的动点，关于下面两个结论，结论I：四边形为菱形；结论II：的最小值是，判断正确的是（   ） A． 结论I、II都对 B．结论I、II都不对 C．只有结论I对 D．只有结论II对 【题型8.添一条件是四边形是菱形】 29．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）． 30．如图，在四边形中，，，则下列结论中不正确的是（   ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是菱形 31．如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 解答题 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【题型9.由菱形的性质与判定求角度】 33．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则 34．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交， 于点E，F，连接，．若 则 ． 【题型10.由菱形的性质与判定求线段长】 36．请写出命题“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题： ，逆命题是一个 （填真命题或假命题）． 37．如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 38．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 解答题 39．四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【题型11.由菱形的性质与判定求面积】 40．如图，在菱形中，对角线，则的面积为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 41．如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ． 42．如图，平行四边形的两条对角线、相交于点O，，，，则四边形是的周长为（   ） A．24 B．16 C．20 D．12 解答题 43．在中，，为的中点，过点作．为上的一点，且，连接，． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $