教考衔接一 集合与常用逻辑用语、不等式学案-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学 教考衔接 教材命题点探源 -供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用- 教考衔接一 集合与常用逻辑用语、不等式 - 高考命题 解读 - 核心考点 五年考情 考点1.判断元素与集合的关系 2022 全国乙卷 考点2.集合元素互异性的应用 2023 全国乙卷 考点3.根据集合的包含关系求参数 2023 新课标 II 卷 考点4.交集的概念及运算 2025 全国二卷;2024 全国甲卷; 2024 新高考全国 I 卷;2023 新课标 I 卷; 2022 新高考全国 I 卷;2022 新高考全国 II 卷; 2022 全国甲卷;2022 全国乙卷; 2021 新高考全国 I 卷;2021 全国甲卷; 2021 全国乙卷 考点5.补集的概念及运算 2025 全国一卷 考点6.集合的交并补混合运算 2024 全国甲卷;2023 全国甲卷;2023 全国乙卷;2022 全国甲卷;2021 新高考全国 II 卷; 2021 全国乙卷 考点7.判断命题的真假 2024 新课标 II 卷;2021 全国乙卷 考点8.充分条件和必要条件的判断与探求 2024 全国甲卷 考点9.判断命题的必要不充分条件 2023 全国甲卷;2021 全国甲卷 考点10.判断命题的充要条件 2023 新课标 I 卷 【命题解读】(考前必看) 1.集合是高考的必考内容,一般以选择题的形式出现,试题较为简单,属于送分题,命题的热点为集合的基本运算,常结合一元二次不等式的解法进行考查. 2.高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广,主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断,全称量词命题、存在量词命题的否定,题目难度中等或偏下,以选择题或填空题为主. 3.高考在不等式部分的命题点有: (1)不等式的性质及应用,不等式常与函数相结合; (2)不等式的解法,常与集合的基本运算相结合; (3)利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大,常与其他知识相结合. 练教材-必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P14习题1.3 T1)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B. 【解析】因为B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},A={x|2≤x<4},所以A∪B={x|x≥2},A∩B={x|3≤x<4}. 【教材母题2】 (人教B版必修第一册P21习题1-1B T5)已知A={x||x|<3},B={x∈N|x2<11},求A∩B. 【解析】因为A={x||x|<3}={x|-3<x<3},B={x∈N|x2<11}={0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2}. 【 衔接高考】 (1)(2025 全国二卷)已知集合则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,故. (2)(2024 新高考 卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【答案】A 【解析】因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0},故选A. (3)(2022 新高考 卷)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( ) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. 【答案】D 【解析】因为M={x|<4},所以M={x|0≤x<16};因为N={x|3x≥1},所以N=,所以M∩N=, 故选D. (4)(2022 新高考 卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( ) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 【答案】B 【解析】由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,所以B={x|0≤x≤2},所以A∩B={1,2},故选B. (5)(2020 新高考 卷)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 【答案】C 【解析】A∪B=∪=.故选C. 【教材母题3】 (人教A版必修第一册P9练习 T3)判断下列两个集合之间的关系: (1)A={x|x<0},B={x|x<1}; (2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N}; (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}. 【解析】 (1)A⫋B;(2)B⫋A;(3)A=B. 【 衔接高考】 (1)(2021 全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( ) A. B.S C.T D.Z 【答案】C 【解析】解法一:在集合T中,令n=k(k∈Z),则t=4n+1=2(2k)+1(k∈Z),而集合S中,s=2n+1(n∈Z),所以必有T⊆S,所以S∩T=T,故选C. 解法二:S={…,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-3,1,5,…},观察可知,T⊆S,所以S∩T=T,故选C. (2)(2023 全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=( ) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D. 【答案】A. 【解析】集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A. 【教材母题4】(人教A版必修第一册P14习题1.3 T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB). 【解析】因为A∪B={x|2<x<10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.因为A∩B={x|3≤x<7},所以∁R(A∩B)={x|x<3或x≥7}.因为A={x|3≤x<7},所以∁RA={x|x<3或x≥7},(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.因为B={x|2<x<10},所以∁RB={x|x≤2或x≥10},所以A∪(∁RB)={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}. 【教材母题5】 (人教B版必修第一册P19 例4)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B). 【解析】不难看出U={0,1,2,3,4,5,6,7},A={0,1,2},B={1,2,3},因此∁UA={3,4,5,6,7},∁UB={0,4,5,6,7}, (∁UA)∪(∁UB)={0,3,4,5,6,7},∁U(A∩B)={0,3,4,5,6,7}. 【 衔接高考】 (1)(2025 全国一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素个数为 ( ) A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C. 【解析】由描述法给出的定义可知U={1,2,3,4,5,6,7,8},因为A={1,3,5},所以∁UA={2,4,6,7,8},从而∁UA中元素的个数为5.因此正确选项是C. (2)(2025 天津高考)已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由,则,集合,故 故选D. (3)(2024 全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=( ) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 【答案】D 【解析】B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D. (4)(2023 全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=( ) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 【答案】A 【解析】因为M∪N={x|x<2},所以∁U(M∪N)={x|x≥2},故选A. (5)(2023 全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=( ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 【答案】A 【解析】由题意知,∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}. (6)(2021 新高考 卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=( ) A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3} 【答案】B 【解析】由题设可得∁UB={1,5,6},故A∩(∁UB)={1,6}. 【教材母题6】 (人教A版必修第一册P9习题1.2 T5) (1)设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b的值; (2)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由于P=Q,所以a=-1,且-b=1,故a-b=0. (2)如图所示,因为B⊆A,所以a≥2. 【 新题预测】 (1)(2025 江西模拟)已知集合,,,则中的元素个数至少为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由中元素的互异性,得,即且,而,则当且时,与均互异,因此中至少有元素,取,此时,有4个元素,∴ 中的元素个数至少为4个.故选C. (2)(2026 重庆模拟)已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由,可得,解得,所以,由,可得,又,所以,所以实数 的取值范围是.故选A. 【教材母题7】 (人教A版必修第一册P35 T9)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【解析】若A∪B=A,则B⊆A,所以a+2=3或a+2=a2,解得a=-1或1或2.因为a=-1或1时,不满足集合元素的互异性,所以a=2,所以存在实数a=2,使得A∪B=A. 【教材母题8】 (人教B版必修第一册P22习题1-1C T1)已知集合A={1,3,m},B={m2,1},且A∪B=A,求m的值. 【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,所以m2=3或m2=m,所以m= 或m=0或m=1,当m=1时,A={1,3,1},不符合元素的互异性,所以m= 或m=0. 【 衔接高考】 (2023 新高考 卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( ) A.2 B.1 C. D.-1 【答案】B 【解析】依题意,有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B; 当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. 【 新题预测】 (1)(2026 江西萍乡模拟)已知集合,,,若集合C有3个真子集,则实数m的值可能为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为有3个真子集,所以中有2个元素,故中有两个元素, 故且,则,解得且.故选C. (2)(2026 湖南长沙模拟)已知集合,若,则的可能取值组成的集合为 _ . 【答案】 【解析】,∴.∴当时,;当时,;当时,, ∴的值为0,1,,∴的值为. 【教材母题9】 (人教A版必修第一册P23习题1.4 T6)设a,b,c分别是 ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果 ABC为直角三角形,那么有a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么 ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,a2+b2=c2是 ABC为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c分别给出 ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【解析】 (1) ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2, 证明如下:必要性,在 ABC中,∠C是锐角,故由余弦定理得cos C=>0,则a2+b2-c2>0,即a2+b2>c2. 充分性:由余弦定理可知cos C=,因为a2+b2>c2,所以cos C>0,所以0<C<,又a≤b≤c,所以A,B∈,即 ABC是锐角三角形. (2) ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.同理可以证明. 【 衔接高考】 (2023 新高考 卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】若{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+d,所以=a1+(n-1) ,所以-=a1+(n+1-1) -=,为常数,所以为等差数列,即甲 乙;若为等差数列,设其公差为t, 则=+(n-1)t=a1+(n-1)t,所以Sn=na1+n(n-1)t,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=na1+n(n-1)t-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)t]=a1+2(n-1)t, 当n=1时,a1=S1也满足上式,所以an=a1+2(n-1)t(n∈N*),所以an+1-an=a1+2(n+1-1)t-[a1+2(n-1) t]=2t,为常数, 所以{an}为等差数列,即甲 乙.所以甲是乙的充要条件,故选C. 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P34 T5)已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假: (1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;( ) (2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;( ) (3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;( ) (4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4)√ 【解析】 (1)当b<a<0时,a2<b2,假命题;(2)当a2>b2时,得a<b<0或a>b>0,假命题; (3)当c=0时,由a>b无法推出ac2>bc2,假命题;(4)当ac2>bc2时,c2>0,a>b,真命题. 【 衔接高考】 (1)(2025 天津高考)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.充分性:当x=0时,sin 0=0,故充分性成立;必要性:当sin 2x=0时,2x=k ,k∈Z,即x=,k∈Z,故必要性不成立,故“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件. (2)(2024 全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( ) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 【答案】C 【解析】a⊥b x2+x+2x=0 x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件,x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确.a∥b 2x+2=x2 x2-2x-2=0 x=1 ,故B,D错误. (3)(2025 北京高考)已知函数的定义域为D,则“的值域为”是“对任意,存在,使得”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为,则对任意,一定存在,使得, 取,则,充分性成立;取,,则对任意,一定存在,使得,取,则,但此时函数的值域为,必要性不成立; 所以“的值域为”是“对任意,存在,使得”的充分不必要条件.故选A. 【教材母题11】 (人教A版必修第一册P35 T6)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假: (1)任意实数的平方大于或等于0; (2)对任意实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称; (3)存在整数x,y,使得2x+4y=3; (4)存在一个无理数,它的立方是有理数. 【解析】(1)∀x∈R,x2≥0,真命题;(2)∀a∈R,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称,真命题; (3)∃x∈Z,y∈Z,2x+4y=3,假命题,理由:2x+4y=2(x+2y)为偶数;(4)∃x∈R为无理数,x的立方是有理数,真命题,例如x=,x3=2. 【 衔接高考】 (2024 新高考 卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( ) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题 【答案】B 【解析】因为∀x∈R,|x+1|≥0,所以命题p为假命题,所以 p为真命题.因为x3=x,所以x3-x=0,所以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0或x=1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q为真命题,所以 q为假命题,所以 p和q都是真命题,故选B. 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P57 T4)求下列不等式的解集: (1)14-4x2≥x; (2)x2-14x+45≤0; (3)x2+6x+10>0; (4)x(x+2)>x(3-x)+1. 【解析】 (1)由14-4x2≥x得4x2+x-14≤0,所以(x+2)(4x-7)≤0,所以-2≤x≤,所以不等式14-4x2≥x的解集为{x|-2≤x≤}. (2)因为x2-14x+45≤0,所以(x-5)(x-9)≤0,所以5≤x≤9,所以不等式x2-14x+45≤0的解集为{x|5≤x≤9}. (3)因为x2+6x+10>0,所以(x+3)2+1>0,所以x∈R,所以不等式x2+6x+10>0的解集为R. (4)由x(x+2)>x(3-x)+1得2x2-x-1>0,所以(2x+1)(x-1)>0, 所以x>1或x<-,所以不等式x(x+2)>x(3-x)+1的解集为. 【 衔接高考】 (1)(2023 新高考 卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 【答案】C 【解析】因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C. (2)(2025 全国二卷)不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】即为即,故,故解集为,故选C. (3)(2025 上海高考)不等式的解集为 . 【答案】 【解析】原不等式转化为,解得,则其解集为. 【教材母题13】(湘教版必修第一册P39 例5)设a,b为正数,证明下列不等式: (1)a+≥2; (2)+≥2. 【证明】 (1)因为a,均为正数,由基本不等式,得a+≥2=2,当且仅当a=,即a=1时等号成立,所以原不等式成立. (2)因为a,b为正数,所以,也为正数,由基本不等式,得+≥2=2,当且仅当=,即a=b时等号成立, 所以原不等式成立. 【 衔接高考】 (1)(2021 全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( ) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 【答案】C 【解析】选项A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1时,y取得最小值,且ymin=3,所以选项A不符合题意; 选项B,因为y=|sin x|+≥2=4,所以y≥4,当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号,但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2不可能成立,因此可知y>4,所以选项B不符合题意;选项C,因为y=2x+22-x≥2=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,即x=1时取等号,所以ymin=4,所以选项C符合题意; (2)(2025 上海高考)设,则的最小值为 . 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解析】易知,当且仅当,即时取得最小值. 【教材母题14】 (人教A版必修第一册P58 T6)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx-<0,对一切实数x都成立. 【解析】令y=2kx2+kx-,由题意得k≠0.因为y<0恒成立,所以开口向下,抛物线与x轴无交点,所以解得-3<k<0,故所求k的取值范围为(-3,0). 【 衔接高考】 (2025 天津高考)若,对,均有恒成立,则的最小值为_. 【答案】 【分析】先设,根据不等式的形式,为了消可以取,得到,验证时,是否可以取到,进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【解析】设,原题转化为求的最小值,原不等式可化为对任意的,,不妨代入,得,得, 当时,原不等式可化为,即, 观察可知,当时,对一定成立,当且仅当取等号, 此时,,说明时,均可取到,满足题意,故的最小值为. 【 新题预测】 (2026 江西模拟)已知对任意的,不等式恒成立,则的取值集合为 . 【答案】 【解析】当时,由,可得对任意的恒成立,即对任意的恒成立,此时不存在;当时,由对任意的恒成立,作出的大致图象,如图所示: 由题意可知,又是整数,所以或或.故答案为. 【教材母题15】 (人教A版必修第一册P58T 10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗? 【解析】若按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n kg,两次购物的平均价格为=;若按第二种策略购物,第一次花m元钱,能购 kg物品,第二次仍花m元钱,能购 kg物品,两次购物的平均价格为=.比较两次购物的平均价格:-=-==≥0, 所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济. 推广:一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济. 【教材母题16】 (人教A版必修第一册P58 T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围. 【解析】因为a,b>0,所以a+b≥2,所以ab=a+b+3≥2+3,所以ab-2-3≥0,所以(+1)(-3)≥0.因为+1>0,所以-3≥0,所以ab≥9,当且仅当a=b,即a=b=3时,ab取得最小值9,故ab的取值范围是[9,+∞). 【 衔接高考】 (多选)(2022 新高考 卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【答案】BC 【解析】因为ab≤≤(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3,解得-2≤x+y≤2, 当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y= 1时取等号,所以C正确;因为x2+y2-xy=1变形为+y2=1, 设x-=cos ,y=sin ,所以x=cos +sin ,y=sin ,因此x2+y2=cos2 +sin2 +sin cos =1+sin 2 -cos 2 +=+sin∈,所以当x=,y=-时,x2+y2=,但是x2+y2≥1不成立,所以D错误. 【 新题预测】 (多选)(2026 山东青岛模拟)若实数a>0,b>0,且ab=a+b+8,则下列结论正确的是( ) A.a+b≤8 B.ab≥16 C.a+3b≥4+6 D.≥ 【答案】BCD 【解析】对于选项A,由a+b+8=ab≤,当且仅当a=b时等号成立,不妨设a+b=t, 则t2-4t-32≥0,解得t≥8或t≤-4,因为a>0,b>0,则a+b≥8,故A项错误; 对于选项B,由ab-8=a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立, 不妨设=s,则s2-2s-8≥0,解得s≥4或s≤-2,因为s>0,则s≥4,即ab≥16,故B项正确; 对于选项C,由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8,则b-1>0,且a=, 则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2=4+6, 当且仅当=3(b-1),即b=+1,a=3+1时取等号,a+3b有最小值4+6,故C项正确; 对于选项D,由ab=a+b+8可得ab-a-b+1=9,即(a-1)(b-1)=9,且a-1>0,b-1>0, 则≥2,当且仅当时等号成立,由解得 即当且仅当a=,b=7时,有最小值,故D项正确. 读教材-玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔与集合论》,得出如下结论: 结论1:把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数. 结论2:一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 结论3:对于有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 结论4:有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如 A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…}, 我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n和正偶数2n之间的一个函数关系,而且还是“一一对应”的函数关系,得到集合A和集合B元素个数一样多. 【教材母题16】 (人教A版必修第一册P35 T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【解析】解法一:设参加游泳、田径和球类的学生分别形成集合A,B,C.由题意得card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∩B)=3,card(A∩B∩C)=0,card(A∩C)=3,card(A∪B∪C)=28. 由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C), 得card(B∩C)=15+8+14-3-3+0-28=3,所以card(B∪C)=card(B)+card(C)-card(B∩C)=8+14-3=19, 所以只参加游泳一项比赛的人数为card(A∪B∪C)-card(B∪C)=28-19=9. 解法二 如图所示. 设同时参加田径和球类比赛的有x人,则28=15+8+14-3-3-x,解得x=3, 即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人. 【 衔接高考】 (2020 新高考 卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A.62% B.56% C.46% D.42% 【答案】C 【解析】解法一:用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选C. 法二 设该中学学生人数为n,喜欢足球的学生形成集合A,喜欢游泳的学生形成集合B,则 card(A∪B)=0.96n,card(A)=0.6n,card(B)=0.82n,因为card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), 所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=0.6n+0.82n-0.96n=0.46n,故选C. 【 新题预测】 【新高考 项目式】(2026 上饶模拟)某校校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛,全校共有37名同学提交了作品进行参赛,有20人提交了楷书作品,有14人提交了隶书作品,有16人提交了行书作品,同时提交楷书作品和隶书作品的有4人,同时提交楷书作品和行书作品的有5人,同时提交隶书作品和行书作品的有6人,则同时提交三种作品的有( ) A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【答案】 C 【解析】选.设同时提交三种作品的有 人,集合 为提交了楷书作品的人,集合 为提交了隶书作品的人,集合 为提交了行书作品的人. 方法一:如图所示,则,解得. 方法二:由三元容斥原理,可得,解得. 【阅读2】阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A版必修第一册P24),如下结论: 结论1:三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p q” “ p q”. 结论2:三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似, 即:“q r” “ r q”,“q r” “ q r”. 【 新题预测】 给定两个命题p,q, p是q的必要不充分条件,则p是 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由q p且 p q可得p q且 q p,所以p是 q的充分不必要条件. 研教材-深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P8例1 练习T1拓展) n元集合A={a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 【证明】在此仅证明子集个数为2n个.在此子集中:不含元素的集合,有个;有1个元素的集合,有个;有2个元素的集合,有个;……有k个元素的集合,有个;……有n个元素的集合,有个.故集合A子集的个数为+++…++…+=2n. 【 新题预测】 (2026 唐山模拟)已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x=3n,n∈Z},则A∩B的子集个数是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 【答案】C 【解析】由题意得,A∩B={-3,0,3},则A∩B的子集有23=8个. 【探究2】(人教A版必修第一册P13练习T3拓展) 德摩根定律:①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)(“交之补”等于“补之并”).②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)(“并之补”等于“补之交”) 证明:借助Venn图来证明: ①如图所示, 由图可得:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). ②如图所示, 由图可得:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 【 新题预测】 (2026 佛山模拟)已知集合A={x|x>2},B={x|x<1},则(∁RA)∩(∁RB)=( ) A. B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.R 【答案】 C 解析 由于A={x|x>2},B={x|x<1},故A∪B={x|x<1或x>2},所以(∁RA)∩(∁RB)=∁R(A∪B)={x|1≤x≤2}. 【探究3】 (人教A版必修第一册P43T10)糖水不等式 【教材母题18】(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),再添加m克水(m>0),糖水甜度变淡了.下面式子可以说明这一事实的是( ) A.< B.> C.< D.< 【答案】A. 【解析】向糖水溶液中加入m克水,糖水的浓度变为,此时浓度变小,糖水变淡,即<.故选A. 糖水不等式:已知b>a>0,m>0,则>. 【证明】因为b>a,所以-==>0,故>. 【推论】(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有: (1)logba<log(b+m)(a+m); (2)logab>log(a+m)(b+m). 【证明】因为b>a>1,m>0,所以lg b>lg a>0,由糖水不等式,得logba=<==log(b+m) =log(b+m)<log(b+m)(a+m),即logba<log(b+m)(a+m),logab=>= =log(a+m)>log(a+m)(b+m). 【 衔接高考】 (1)(2022 全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( ) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 【答案】A 【解析】解法一(糖水不等式) 由已知条件9m=10,可得m=log910=>==lg >lg 11,即m>lg 11,所以a>10lg 11-11=0,即a>0.又m=<==log8<log89,即m<log89,所以b<-9=0,即b<0.综上,a>0>b.故选A. 解法二(利用对数型糖水不等式)因为9m=10,所以m=log910.在上述推论中,取a=9,b=10, 可得m=log910>log1011=lg 11,且m=log910<log89.所以a=10m-11>10lg 11-11=0,b=8m-9<-9=0, 即a>0>b,选A. (2)(2020 全国 卷)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】a=log53=<==log8<log85=b,即a<b.a=log53=<==log13<log138=c,即a<c. 根据选项应用排除法,选A. 【探究4】(人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 【解析】将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直角边的长分别为a,b(a≠b),那么正方形的边长为,则4个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2+b2,由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和,即可得到不等式a2+b2>2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a2+b2=2ab, 综上,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 【 衔接高考】 (2021 浙江高考)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为,小正方形的面积为,则_. 【答案】25. 【解析】由题意可得,大正方形的边长为:,则其面积为:, 小正方形的面积:,从而. 【探究5】 (人教A版必修第一册P45)如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 提示:如题图,可证 ACD∽ DCB,因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为≤.显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a=b时,上述不等式的等号成立. 【 衔接高考】 (2025 北京高考)已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】选C.对于A,当时,,故A错误;对于BD,取,此时,,故BD错误;对于C,由基本不等式可得,故选C. 【探究6】(人教A版必修第一册P46练习T1、T2拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,其中,,和分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数. 【证明】如图,AB是圆O的直径,OF⊥AB,CE⊥OD,AC=a,BC=b, 则DE===≤CD=≤OD=≤CF===. 【 衔接高考】 (多选题)(2020 新高考 卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( ) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 【答案】ABD 【解析】因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,即有ab≤. 对于A,由≥=,得a2+b2≥,故A正确;对于B,2a-b=22a-1= 22a,因为a>0,所以22a>1,即2a-b>,故B正确;对于C,log2a+log2b=log2ab≤log2=-2,故C错误;对于D,在≤中,把a换成,b换成,得≤=, 所以+≤,故D正确.综上可知,正确的选项为ABD. 【探究7】 (人教A版必修第二册P37T16拓展)柯西不等式 (1)一般形式:设ai,bi∈R,i=1,2,…,n,则 ≥(ibi)2,当且仅当ai=0或bi=kai(k为常数),等号成立. 证明 构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(+…+)x2+2(a1b1+…+anbn)x+(+…+), 易知f(x)≥0恒成立,故 ≤0,即4(a1b1+…+anbn)2-4(+…+)(+…+)≤0, 即(ibi)2≤ .当且仅当aix+bi=0,即ai=0或bi=kai(k为常数),等号成立. (2)二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.当且仅当ad=bc时,等号成立. 【 新题预测】 (1)(2026 河北保定模拟)实数x,y满足3x2+4y2=12,则z=2x+y的最小值是( ) A.-5 B.-6 C.3 D.4 【答案】A 【解析】∵实数x,y满足3x2+4y2=12,∴=1,∴(16+9)≥, 即-5≤2x+y≤5,当且仅当3x=8y,即当时,左边取等号,当时,右边取等号, ∴z=2x+y的最小值是-5. (2)(2026 盘锦模拟)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由|a b|≤|a||b|得到(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a+b=5,则+的最大值为( ) A.18 B.9 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因为(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),令x1=,y1=1,x2=,y2=,又a≥0,b≥0,a+b=5,所以(+)2=( +1 )2≤[()2+12] (a+1+b+3)=27,当且仅当 =1 ,即a=5,b=0时等号成立,即+≤3,故选D. 16 / 17 学科网(北京)股份有限公司 $ 2026年高考数学·教考衔接 教材命题点探源 -----------------------------------供2026高考备考二轮、三轮复习及考前使用----------------------------- 教考衔接一 集合与常用逻辑用语、不等式 --------------------------■高考命题·解读■----------------------------- 核心考点 五年考情 考点1.判断元素与集合的关系 2022·全国乙卷 考点2.集合元素互异性的应用 2023·全国乙卷 考点3.根据集合的包含关系求参数 2023·新课标 II 卷 考点4.交集的概念及运算 2025·全国二卷；2024·全国甲卷； 2024·新高考全国 I 卷；2023·新课标 I 卷； 2022·新高考全国 I 卷；2022 新高考全国 II 卷； 2022·全国甲卷；2022·全国乙卷； 2021·新高考全国 I 卷；2021 全国甲卷； 2021·全国乙卷 考点5.补集的概念及运算 2025·全国一卷 考点6.集合的交并补混合运算 2024·全国甲卷；2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；2022·全国甲卷；2021 新高考全国 II 卷； 2021·全国乙卷 考点7.判断命题的真假 2024·新课标 II 卷；2021·全国乙卷 考点8.充分条件和必要条件的判断与探求 2024·全国甲卷 考点9.判断命题的必要不充分条件 2023·全国甲卷；2021·全国甲卷 考点10.判断命题的充要条件 2023·新课标 I 卷 🎯【命题解读】（考前必看） 1.集合是高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的热点为集合的基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查. 2.高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填空题为主. 3.高考在不等式部分的命题点有： （1）不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合； （2）不等式的解法，常与集合的基本运算相结合； （3）利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大，常与其他知识相结合.　　　　　　　　　　　　　　　　 🎯练教材-----必刷经典母题 【教材母题1】 (人教A版必修第一册P14习题1.3·T1)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B. 【教材母题2】 (人教B版必修第一册P21习题1-1B·T5)已知A={x||x|<3},B={x∈N|x2<11},求A∩B. 【🚀衔接高考】 （1）（2025·全国二卷）已知集合则（   ） A． B． C． D． （2）(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} （3）(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. （4）(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=(　　) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} （5）(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=(　　) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 【教材母题3】 (人教A版必修第一册P9练习·T3)判断下列两个集合之间的关系: （1）A={x|x<0}，B={x|x<1}； （2）A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6z,z∈N}； （3）A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m,m∈N+}. 【🚀衔接高考】 （1）(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(　　) A.⌀ B.S C.T D.Z （2）(2021·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=( 　) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 【教材母题4】(人教A版必修第一册P14习题1.3·T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB). 【教材母题5】 (人教B版必修第一册P19·例4)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B). 【🚀衔接高考】 （1）（2025·全国一卷）已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为 (　　) A．0 B．3 C．5 D．8 （2）（2025·天津高考）已知集合，则（     ） A． B． C． D． （3）(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} （4）(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN （5）(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=(　　) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U （6）(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=(　　) A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3} 【教材母题6】 (人教A版必修第一册P9习题1.2·T5) （1）设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b的值; （2）已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a的取值范围. 【🚀新题预测】 （1）（2026·江西模拟）已知集合，，，则中的元素个数至少为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（2026·重庆模拟）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【教材母题7】 (人教A版必修第一册P35·T9)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【教材母题8】 (人教B版必修第一册P22习题1-1C·T1)已知集合A={1,3,m},B={m2,1},且A∪B=A,求m的值. 【🚀衔接高考】 (2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　 　) A.2 B.1 C. D.-1 【🚀新题预测】 （1）（2026·江西萍乡模拟）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南长沙模拟）已知集合，若，则的可能取值组成的集合为 ______ ． 【教材母题9】 (人教A版必修第一册P23习题1.4·T6)设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么有a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,a2+b2=c2是△ABC为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明. 【🚀衔接高考】 (2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【教材母题10】 (人教A版必修第一册P34·T5)已知a,b,c是实数,判断下列命题的真假: （1）“a>b”是“a2>b2”的充分条件;(　　) （2）“a>b”是“a2>b2”的必要条件;(　　) （3）“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;(　　) （4）“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.(　　) 【🚀衔接高考】 （1）(2025·天津高考)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 （3）（2025·北京高考）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【教材母题11】 (人教A版必修第一册P35·T6)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假: （1）任意实数的平方大于或等于0; （2）对任意实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称; （3）存在整数x,y,使得2x+4y=3; （4）存在一个无理数,它的立方是有理数. 【🚀衔接高考】 (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(　　) A.p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 【教材母题12】 (人教A版必修第一册P57·T4)求下列不等式的解集: （1）14-4x2≥x （2）x2-14x+45≤0 （3）x2+6x+10>0 （4）x(x+2)>x(3-x)+1. 【🚀衔接高考】 （1）(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} （2）（2025·全国二卷）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·上海高考）不等式的解集为 ． 【教材母题13】(湘教版必修第一册P39·例5)设a,b为正数,证明下列不等式: （1）a+≥2 （2）+≥2. 【🚀衔接高考】 （1）(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ （2）（2025·上海高考）设，则的最小值为 ． 【教材母题14】 (人教A版必修第一册P58·T6)当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx-<0,对一切实数x都成立. 【🚀衔接高考】 （2025·天津高考）若，对，均有恒成立，则的最小值为___________. 【🚀新题预测】 （2026·江西模拟）已知对任意的，不等式恒成立，则的取值集合为 . 【教材母题15】 (人教A版必修第一册P58T·10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗? 【教材母题16】 (人教A版必修第一册P58·T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围. 【🚀衔接高考】 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【🚀新题预测】 (多选)(2026·山东青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是(　　) A.a＋b≤8 B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6 D.≥ 🎯读教材-----玩味阅读材料 【阅读1】通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔与集合论》,得出如下结论: 结论1：把含有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数. 结论2：一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 结论3：对于有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C). 结论4：有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如 A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…}, 我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n和正偶数2n之间的一个函数关系,而且还是“一一对应”的函数关系,得到集合A和集合B元素个数一样多. 【教材母题17】 (人教A版必修第一册P35·T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【🚀衔接高考】 (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 【🚀新题预测】 【新高考·项目式】（2026·上饶模拟）某校校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，全校共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【阅读2】阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A版必修第一册P24),如下结论: 结论1：三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p⇒q”⇏“¬p⇒¬q”. 结论2：三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,即:“q⇒r”⇒“¬r⇒¬q”,“q⇒r” ⇏“¬q⇒¬r”. 【🚀新题预测】 给定两个命题p,q, ¬p是q的必要不充分条件,则p是¬q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 🎯研教材-----深度探究思考 【探究1】 (人教A版必修第一册P8例1·练习T1拓展) n元集合A={a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个. 【🚀新题预测】 （2026·唐山模拟）已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x=3n,n∈Z},则A∩B的子集个数是(　　) A.3 B.6 C.8 D.9 【探究2】(人教A版必修第一册P13练习T3拓展) 德摩根定律. 德摩根定律:①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)(“交之补”等于“补之并”). ②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)(“并之补”等于“补之交”) 【🚀新题预测】 (2026·佛山模拟)已知集合A={x|x>2},B={x|x<1},则(∁RA)∩(∁RB)=(　　) A.⌀ B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.R 【探究3】 (人教A版必修第一册P43T10)糖水不等式 【教材母题18】已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ 糖水不等式：已知b>a>0,m>0,则>. 【推论】(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有: （1）logba<log(b+m)(a+m); （2）logab>log(a+m)(b+m). 【🚀衔接高考】 （1）(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则(　　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a （2）(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 【探究4】(人教A版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 【🚀衔接高考】 （2021·浙江高考）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________. 【探究5】 (人教A版必修第一册P45)如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 【🚀衔接高考】 （2025·北京高考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【探究6】(人教A版必修第一册P46练习T1、T2拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,其中,,和分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数. 【🚀衔接高考】 （多选题）(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 【探究7】 (人教A版必修第二册P37T16拓展)柯西不等式 （1）一般形式:设ai,bi∈R,i=1,2,…,n,则·≥(ibi)2,当且仅当ai=0或bi=kai(k为常数),等号成立. 证明　构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(+…+)x2+2(a1b1+…+anbn)x+(+…+), 易知f(x)≥0恒成立,故Δ≤0,即4(a1b1+…+anbn)2-4(+…+)(+…+)≤0, 即(ibi)2≤·.当且仅当aix+bi=0,即ai=0或bi=kai(k为常数),等号成立. （2）二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.当且仅当ad=bc时,等号成立. 【🚀新题预测】 （1）（2026·河北保定模拟）实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－5 B.－6 C.3 D.4 （2）(2026·盘锦模拟)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a+b=5,则+的最大值为(　　) A.18 B.9 C.2 D.3 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $