5.3.2·导数研究极值与最值【寒假预习讲义】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.3.2·导数研究极值与最值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：函数的极值 1.知识点1：函数极值的定义 设函数在点附近有定义，对附近所有（）①若，则是的极大值，是极大值点②若，则是的极小值，是极小值点极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点 易错辨析：①混淆“极值”与“极值点”，误将称为极大值或称为极值点②认为极值是定义域内的最大或最小值，忽略其局部性质③认为极大值一定大于极小值，实则同一函数极大值可能小于极小值④忽略，误将纳入比较范围 重点记忆：①极值是函数值，极值点是自变量的值，二者不可混淆②极值是局部性质，仅对比极值点附近函数值③极值点必在函数定义域内 常考结论：①，极大值（极大值点），极小值（极小值点）②一次函数（）无极值③二次函数（）仅有一个极值，为极小值，为极大值，极值点 2.知识点2：极值点的判定条件（一阶导数法） 设函数在处可导且附近有定义，极值点判定条件如下①必要条件：若是极值点，则②充分条件：若，且两侧符号变化，则是极值点-时，时，是极大值点-时，时，是极小值点 易错辨析：①误将当作极值点充分条件（如，，非极值点）②忽略可导前提，认为所有极值点都满足（如，是极小值点但不存在）③仅看，不判断两侧导数符号④误判导数符号变化，将同侧符号当作异侧 重点记忆：①可导极值点导数必为0，导数为0点未必是极值点②判定极值点核心：导数为0（或不可导）+两侧导数符号变化，二者缺一不可 常考结论：①驻点定义：满足的点②极值点仅两种可能：驻点或不可导点（不存在但有定义）③，是驻点非极值点；，是不可导点且为极值点 3.知识点3：二阶导数判定函数极值 设函数在处二阶可导，且，则①若，则是极大值点，是极大值②若，则是极小值点，是极小值③若，二阶导数法无法判定，需用一阶导数符号变化法 易错辨析：①忽略“二阶可导”和“”前提，直接用二阶导数判定②时，误判不是极值点③二阶导数计算错误，或混淆符号与极值类型 重点记忆：①二阶导数法仅适用于二阶可导且的点②极小，极大，换方法③适用于高阶可导函数（如多项式函数） 常考结论：①，，，驻点-，是极大值点-，是极小值点②二次函数，，与开口方向一致，极小，极大 模块二：函数的最值 4.知识点4：函数最值的定义 设函数的定义域为，若存在，对所有①若，则是在上的最大值，是最大值点②若，则是在上的最小值，是最小值点最大值与最小值统称最值 易错辨析：①混淆“极值”与“最值”，认为极值就是最值②认为函数一定有最值，实则无界函数（如在上）无最值③研究最值忽略定义域，误将区间外的点当作最值点④混淆定义域与区间上的最值 重点记忆：①最值是整体性质，极值是局部性质②最值（若存在）唯一，极值可多个③研究最值必先明确定义域（或指定区间） 常考结论：①闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的连续函数不一定有②一次函数（）在闭区间上的最值在端点取得③二次函数（）在上仅有一个极值，也是最值 5.知识点5：利用导数求函数最值的步骤 连续函数在区间上求最值步骤①求的定义域，明确区间②求，化简后求驻点及不存在但有定义的点（可疑最值点）③筛选出区间内的可疑最值点④计算区间内可疑最值点及端点（闭区间算端点，开区间不算）的函数值⑤比较函数值，最大为最大值，最小为最小值 易错辨析：①省略求定义域，可疑点超出定义域②遗漏可疑最值点（如不可导点）③闭区间遗漏端点函数值计算，开区间误算端点④筛选可疑点错误，纳入区间外的点⑤函数值计算错误 重点记忆：①闭区间必算端点，开区间不算；无界开区间可能无最值②可疑最值点仅包括驻点和不可导点③步骤规范可直接用于答题 常考结论：①在上，可疑点，端点，，，，最大值2，最小值-2②函数在上单调递增，最值在闭区间端点（右大左小）；单调递减则相反③多项式函数在闭区间上的最值，必在驻点或端点取得 6.知识点6：极值与最值的区别与联系 ①联系：闭区间上的最值，必是区间内极值或端点函数值；极值可能是最值②区别：-性质：极值局部，最值整体-个数：极值可多个，最值（若存在）各一个-范围：极值在区间内部，最值可在内部或端点-大小：极大值不一定大于极小值，最大值一定大于最小值（均存在时） 易错辨析：①认为极值一定是最值②认为最值一定是极值③认为极大值一定大于最小值④误将端点函数值当作极值 重点记忆：①极值看局部，最值看整体；极值在内部，最值可端点②闭区间最值：区间内极值或端点函数值③求最值先找极值，再结合端点判断 常考结论：①函数在闭区间上单调，最值仅在端点取得，无区间内极值②区间内仅有一个极值点，该点必为区间最值点③“是极值点”与“ 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：极值与极值点的概念辨析】 （24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 （24-25高二下·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）经典例题2例题 （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) （24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论不正确的是（    ）小试牛刀2 A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【多选题】（24-25高三上·河北邢台·月考）下列函数中，恰有2个极值点的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：导函数图像与极值极值点的关系】 【多选题】（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 （25-26高二上·浙江杭州·期末）定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）经典例题2例题    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【多选题】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）小试牛刀1    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 （25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ）小试牛刀3 A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【题型3：求已知函数的极值极值点】 （2026高三·北京·专题练习）已知函数.经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； （2026高三·北京·专题练习）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. （25-26高三上·湖北随州·期末）函数的极大值点为（   ）小试牛刀1 A．0 B． C． D． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的极值. 【题型4：由极值极值点求参数】 （25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数．经典例题2例题 (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． （25-26高三上·广西河池·期末）若是函数的极值点，则的极小值为 .小试牛刀1 （2026·辽宁辽阳·一模）已知函数.小试牛刀2 (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. （25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）若函数的极小值点为，则的极小值为 .小试牛刀3 【题型5：求函数的最值（不含参数）】 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数.经典例题1例题 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的极值和最值 （浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题）已知函数．经典例题2例题 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知函数.小试牛刀1 (1)求的导数． (2)求在区间上的最大值和最小值． （2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数．小试牛刀2 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及最小值． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数，，若成立，则的最小值为 ．小试牛刀3 【题型6：由函数的最值求参数】 （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ．经典例题1例题 （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． （2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.小试牛刀3 (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【B·能力提升题型】 【题型1：由极值点个数求参数】 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．经典例题1例题 【多选题】（2026·湖南永州·一模）已知函数有三个极值点，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. （25-26高三上·云南昭通·期末）设为实数，函数.小试牛刀2 (1)若曲线过点，求的值； (2)当时，求的最小值； (3)若恰有两个极值点，求的取值范围. （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：极值点偏移问题】 （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，.经典例题1例题 (1)求a的取值范围； (2)证明：. （2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，且，求证：.经典例题2例题 （24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数.小试牛刀1 (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. （24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． （2024高三·全国·专题练习）已知函数．小试牛刀3 (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【题型3：函数不等式的恒成立有解问题】 （25-26高三上·甘肃酒泉·期末）若时，，则实数的最大值为 .经典例题1例题 （25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且恒成立，则的最大值为 .经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则的最大值为 ．小试牛刀1 （2026·四川攀枝花·一模）已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为 ．小试牛刀2 （2026高三·全国·专题练习）已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为 小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 3．（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 4．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东德州·期中）若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 8．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 三、填空题 9．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数，则函数的值域为 ． 10．（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则 . 11．（2025·四川·模拟预测）已知函数的极值点为，则 ． 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 13．（24-25高二下·江苏·月考）若函数在上有极值，则实数的取值范围是 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 16．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 四、解答题 17．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 18．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 19．（25-26高三上·江西南昌·月考）设 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴. (1)求的值； (2)求函数 的极值. 20．（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高二数学下学期常考题型归纳 【5.3.2·导数研究极值与最值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 模块一：函数的极值 1.知识点1：函数极值的定义 设函数在点附近有定义，对附近所有（）①若，则是的极大值，是极大值点②若，则是的极小值，是极小值点极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点 易错辨析：①混淆“极值”与“极值点”，误将称为极大值或称为极值点②认为极值是定义域内的最大或最小值，忽略其局部性质③认为极大值一定大于极小值，实则同一函数极大值可能小于极小值④忽略，误将纳入比较范围 重点记忆：①极值是函数值，极值点是自变量的值，二者不可混淆②极值是局部性质，仅对比极值点附近函数值③极值点必在函数定义域内 常考结论：①，极大值（极大值点），极小值（极小值点）②一次函数（）无极值③二次函数（）仅有一个极值，为极小值，为极大值，极值点 2.知识点2：极值点的判定条件（一阶导数法） 设函数在处可导且附近有定义，极值点判定条件如下①必要条件：若是极值点，则②充分条件：若，且两侧符号变化，则是极值点-时，时，是极大值点-时，时，是极小值点 易错辨析：①误将当作极值点充分条件（如，，非极值点）②忽略可导前提，认为所有极值点都满足（如，是极小值点但不存在）③仅看，不判断两侧导数符号④误判导数符号变化，将同侧符号当作异侧 重点记忆：①可导极值点导数必为0，导数为0点未必是极值点②判定极值点核心：导数为0（或不可导）+两侧导数符号变化，二者缺一不可 常考结论：①驻点定义：满足的点②极值点仅两种可能：驻点或不可导点（不存在但有定义）③，是驻点非极值点；，是不可导点且为极值点 3.知识点3：二阶导数判定函数极值 设函数在处二阶可导，且，则①若，则是极大值点，是极大值②若，则是极小值点，是极小值③若，二阶导数法无法判定，需用一阶导数符号变化法 易错辨析：①忽略“二阶可导”和“”前提，直接用二阶导数判定②时，误判不是极值点③二阶导数计算错误，或混淆符号与极值类型 重点记忆：①二阶导数法仅适用于二阶可导且的点②极小，极大，换方法③适用于高阶可导函数（如多项式函数） 常考结论：①，，，驻点-，是极大值点-，是极小值点②二次函数，，与开口方向一致，极小，极大 模块二：函数的最值 4.知识点4：函数最值的定义 设函数的定义域为，若存在，对所有①若，则是在上的最大值，是最大值点②若，则是在上的最小值，是最小值点最大值与最小值统称最值 易错辨析：①混淆“极值”与“最值”，认为极值就是最值②认为函数一定有最值，实则无界函数（如在上）无最值③研究最值忽略定义域，误将区间外的点当作最值点④混淆定义域与区间上的最值 重点记忆：①最值是整体性质，极值是局部性质②最值（若存在）唯一，极值可多个③研究最值必先明确定义域（或指定区间） 常考结论：①闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的连续函数不一定有②一次函数（）在闭区间上的最值在端点取得③二次函数（）在上仅有一个极值，也是最值 5.知识点5：利用导数求函数最值的步骤 连续函数在区间上求最值步骤①求的定义域，明确区间②求，化简后求驻点及不存在但有定义的点（可疑最值点）③筛选出区间内的可疑最值点④计算区间内可疑最值点及端点（闭区间算端点，开区间不算）的函数值⑤比较函数值，最大为最大值，最小为最小值 易错辨析：①省略求定义域，可疑点超出定义域②遗漏可疑最值点（如不可导点）③闭区间遗漏端点函数值计算，开区间误算端点④筛选可疑点错误，纳入区间外的点⑤函数值计算错误 重点记忆：①闭区间必算端点，开区间不算；无界开区间可能无最值②可疑最值点仅包括驻点和不可导点③步骤规范可直接用于答题 常考结论：①在上，可疑点，端点，，，，最大值2，最小值-2②函数在上单调递增，最值在闭区间端点（右大左小）；单调递减则相反③多项式函数在闭区间上的最值，必在驻点或端点取得 6.知识点6：极值与最值的区别与联系 ①联系：闭区间上的最值，必是区间内极值或端点函数值；极值可能是最值②区别：-性质：极值局部，最值整体-个数：极值可多个，最值（若存在）各一个-范围：极值在区间内部，最值可在内部或端点-大小：极大值不一定大于极小值，最大值一定大于最小值（均存在时） 易错辨析：①认为极值一定是最值②认为最值一定是极值③认为极大值一定大于最小值④误将端点函数值当作极值 重点记忆：①极值看局部，最值看整体；极值在内部，最值可端点②闭区间最值：区间内极值或端点函数值③求最值先找极值，再结合端点判断 常考结论：①函数在闭区间上单调，最值仅在端点取得，无区间内极值②区间内仅有一个极值点，该点必为区间最值点③“是极值点”与“ 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：极值与极值点的概念辨析】 （24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．导数为零的点不一定是极值点 B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值 D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值 【答案】AB 【分析】举例可判断A，结合极值点以及极值的定义，根据导数与极值的关系即可判断B，C，D. 【详解】不妨取，，， 当或时，都有，即不是函数的极值点，A正确； 根据极值的概念，在点附近的左侧，则函数单调递增； 在点附近的右侧，函数单调递减，则为极大值； 在点附近的左侧，则函数单调递减， 在点附近的右侧，函数单调递增，则为极小值， 故B正确，C，D错误 故选：AB （24-25高二下·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）经典例题2例题 （1）函数的极大值一定大于其极小值.( ) （2）导数为0的点一定是极值点.( ) （3）函数一定有极大值和极小值.( ) （4）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.( ) 【答案】 错误 错误 错误 正确 【分析】由导数与极值的关系逐个判断即可. 【详解】函数的极大值不一定大于其极小值，故（1）错误； 导数为0的点不一定是极值点，比如， ，但是不是极值点，故（2）错误； 函数可能有极大值或极小值，也可能没有极值，故（3）错误； 函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.故（4）正确. 故答案为：错误；错误；错误；正确. （24-25高二下·黑龙江鹤岗·期中）已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】函数在点处取得极值的充要条件是：且在点附近的左右两侧异号，由此结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案． 【详解】函数在处可导，推不出函数在点处取得极值； 反之，函数在点处取极值，必有． 故是函数在点处取得极值的必要不充分条件． 故选：B． （24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论不正确的是（    ）小试牛刀2 A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】ABC 【分析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 【详解】选项A：若在上有极大值，则极大值不一定是上的最大值， 可能在端点处取得最大值.判断错误； 选项B：若在上有极小值，则极小值不一定是上的最小值， 可能在端点处取得最小值.判断错误； 选项C：若在上有极大值，则极小值一定不是和时取得. 判断错误； 选项D：若在上连续，则在上存在最大值和最小值.判断正确. 故选： ABC 【多选题】（24-25高三上·河北邢台·月考）下列函数中，恰有2个极值点的有（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数依次求解选项中函数的极值点各式个数，即可得到答案. 【详解】对选项A，由，得. 令，即，，或，. 即有无数个零点，且零点两侧函数值异号， 故有无数个极值点，故A不正确. 由，得. 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故恰有2个极值点，B正确. 由，得. 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故恰有2个极值点，C正确. 由，得. 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故恰有1个极值点，D不正确. 故选：BC 【题型2：导函数图像与极值极值点的关系】 【多选题】（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 【答案】BC 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集．由此可判断A、D项：由图象分析可知，1和3是函数的两个极值点，所以有以及，代入可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理可得到 ，即可判断C项． 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为．又由图象知，函数在处取得极小值， 所以有，故B项正确； 对于C项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则； 当时，单调递减，则． 所以的解集为 ，的解集为． 又为二次函数，根据二次函数的图象可知． 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或． 由图象知，当时，． 又的解集为．所以由可得； 由图象知，当时，． 又的解集为． 所以由可得． 所以，的解集是，故D项错误． 故选：BC． （25-26高二上·浙江杭州·期末）定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）经典例题2例题    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【答案】C 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值． 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 【多选题】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）小试牛刀1    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【分析】由极值点定义及导数符号与函数单调性关系逐项判断. 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D （25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ）小试牛刀3 A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 【题型3：求已知函数的极值极值点】 （2026高三·北京·专题练习）已知函数.经典例题1例题 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； 【详解】（1）由函数，函数的定义域为R， ， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为， 令，则，故在上单调递增， 又，，故存在，使得， 当时，，当时，， 所以时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点. （2026高三·北京·专题练习）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. （25-26高三上·湖北随州·期末）函数的极大值点为（   ）小试牛刀1 A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数 求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值. 【详解】由题意得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极大值点为0． 故选：A. （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数．小试牛刀2 (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数.小试牛刀3 (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与单调性的关系求解即可. 【详解】（1）因为，所以，则，切点为， 切线的斜率为， 因此，的图象在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，由得， 列表如下： - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【题型4：由极值极值点求参数】 （25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B （25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数．经典例题2例题 (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导后，依据、进行讨论即可； （2）在（1）的基础上，求出极大值，并列不等式即可求解． 【详解】（1）， ①当时对任意，，，故恒成立， 因此在上单调递增； ②当时令，即，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减． （2）当时，在单调递增，无极值，不符合题意； 当时，在处取得极大值， 极大值为， 依题意有，解得，所以a的取值范围为． （25-26高三上·广西河池·期末）若是函数的极值点，则的极小值为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】求得，根据，得到，进而求得函数的单调性，结合极值点和极值的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的极值点，可得，解得， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. （2026·辽宁辽阳·一模）已知函数.小试牛刀2 (1)若，求不等式的解集； (2)若在上存在极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据确定的值，此时不等式可化为，设，分析函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集. （2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围. 【详解】（1）由 . 所以. 由 . 设，. 则，. 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立. 即不等式的解集为. （2）因为，. 所以 . 当即时，在上恒成立， 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数在上只有极小值，无极大值； 当即时， 由 或；由 . 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 当即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，无极值； 当即时， 由 或；由 . 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当时，函数在上存在极大值. （25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）若函数的极小值点为，则的极小值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，根据极小值点求得参数的值，从而可求函数的极小值. 【详解】， 因为函数的极小值点为，故即， 故， 当或时，；当时， 故仅在处取得极小值，故的极小值为. 故答案为：. 【题型5：求函数的最值（不含参数）】 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数.经典例题1例题 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的极值和最值 【答案】(1)和； (2)极大值为，极小值为；最大值为，最小值为. 【分析】（1）利用导数知识可得，解不等式，可得单调递增区间； （2）由（1）判断在上的单调性，据此可得极值和最值. 【详解】（1），令， 则的单调递增区间为：和； （2）由（1），令，则在上单调递减. 结合（1），可得在上单调递增，在上单调递减. 则在上的极大值为，极小值为； 又为； 则在上的最大值为，最小值为. （浙江省台州市2025-2026学年第一学期高二期末质量评估数学试题）已知函数．经典例题2例题 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2) 【分析】（1）直接求导即可解决； （2）根据（1）所求的单调区间求解即可． 【详解】（1）， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为， 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为． （25-26高二上·陕西渭南·期末）已知函数.小试牛刀1 (1)求的导数． (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值和最小值分别为. 【分析】（1）利用导数的运算法则求出导数. （2）由（1）确定函数的单调区间并求出最值. 【详解】（1）函数，求导得. （2）由（1）得，， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. （2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数．小试牛刀2 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 【分析】（1）由的解析式，可得及切线的斜率，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）根据的正负可得单调区间，比较极小值与端点处的函数值可得最小值. 【详解】（1）∵， ∴， 又， ∴所求切线方程为：，即. （2）由知的定义域为， ∵， 令，解得或，即的单调递增区间为：和； 令，解得，即的单调递减区间为：， ∵，， ∵，则， 的最小值为． （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数，，若成立，则的最小值为 ．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】令，求出，构造函数利用函数导数求最值即可. 【详解】若成立，由， 设， 则由， ， 所以 设， 所以， 由与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值， 故答案为：. 【题型6：由函数的最值求参数】 （25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： （25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数．经典例题2例题 (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数．小试牛刀1 (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. （2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. （2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.小试牛刀3 (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解； （2）先由题设分析得到，再利用导数工具研究函数的单调性和最值，结合即可求解. 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 【B·能力提升题型】 【题型1：由极值点个数求参数】 （25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 【多选题】（2026·湖南永州·一模）已知函数有三个极值点，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对求导，令得，对求导分析单调性，画出大致图像，由特殊情况进行分类讨论，即可得出选项. 【详解】对函数求导得， 由于，则令，即， 设，则， 当时，，单调递减，趋于时，趋于，趋于时，趋于， 当时，，单调递增，趋于时，趋于， 当时，，单调递减，趋于时，趋于， 则， 由于，由单调性以及图像可得， 若，则，不符合， 若，则，符合题意， 此时， 故ABD正确，C错误， 故选：ABD.    （2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.小试牛刀1 (1)若，求实数的值； (2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，代入即可求解， （2）求导，将问题转化为在上仅有一个不为1的，实数根构造函数由导数求解函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）， ，故 （2）令，则在上有且仅有两个实数根， 由于，所以在上仅有一个实数根，则在上仅有一个不为1的实数根， 令则， 当时， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减， 且 而故 （25-26高三上·云南昭通·期末）设为实数，函数.小试牛刀2 (1)若曲线过点，求的值； (2)当时，求的最小值； (3)若恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质，运用二次求导法进行求解即可； （3）根据极值的定义，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为曲线过点， 所以，即. 又因为，所以或. （2）当时，， 所以. 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增. 又因为 ， 所以，，单调递减， ，，单调递增， 所以. （3）， 由（2）解答可知在上单调递减，在上单调递增， 且，. 若恰有两个极值点，则即， 所以的取值范围为. （25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出当时，方程无解或解为，根据导数即可求解． 【详解】由题可知，，， 因为是唯一的极值点， 所以当时，无解或解为， 设，则， 令，解得， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，所以，所以， 故选：A． 【题型2：极值点偏移问题】 （2025高二·全国·专题练习）已知函数有两个零点，.经典例题1例题 (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的符号来确定函数单调性（要根据导函数零点来分类），即可求解； （2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，利用导数判断其单调性，即可证明． 【详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． （2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个极值点，且，求证：.经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】由极值点处导数值为0得到，构造函数，研究其单调性，得到，构造函数，研究其单调性，得到，最后再次结合单调性即可求证. 【详解】，， 令，得， 令，则，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 从而． 因为，，在上单调递减， 所以，即. （24-25高二下·江苏扬州·月考）已知函数，，是自然对数的底数.小试牛刀1 (1)讨论函数的极值； (2)当时，若，（其中）满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解； （2）分析得只需证明，构造函数（），利用导数即可得证. 【详解】（1）求导得， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 此时极大值，无极小值. 综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值. （2）当时， ， 在单调递增，在单调递减， 又且， ∴要证，即证， 即证，即证， 设（）， ， ∴在单调递增，又， ∴，又， ∴，∴. （24-25高二下·河北邯郸·月考）已知函数．小试牛刀2 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． （2024高三·全国·专题练习）已知函数．小试牛刀3 (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 【题型3：函数不等式的恒成立有解问题】 （25-26高三上·甘肃酒泉·期末）若时，，则实数的最大值为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. （25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且恒成立，则的最大值为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最值，最后根据最值求出的最大值. 【详解】令，因为恒成立， 所以恒成立， 对求导得：， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，，不满足； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以， 即； 则， 令， 则， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即的最大值为. 故答案为： （2025高三·全国·专题练习）已知函数，若恒成立，则的最大值为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】先排除的情况（通过分析极限趋势说明不满足）；再对的情况，分析的单调区间与最大值，得到的约束关系；最后构造函数分析其单调区间，求得的最大值. 【详解】若，当时，，故； 同时，因此， 此时，不满足恒成立. ，，当时，，， 也不满足恒成立，因此仅需考虑的情况. 的定义域需满足，即，即， ，令，解得，此时，符合定义域. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故在处取得最大值为， 由得，整理得. 由，得.构造函数（），， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故在处取得最大值为 . 故答案为： （2026·四川攀枝花·一模）已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】问题即恒成立，通过讨论确定，则，令，构造函数利用导数求最大值. 【详解】的图象不在轴上方，即恒成立. 若，当时，，，所以，不合题意； 若，则，当时，，不合题意； 所以，且当时，由可得；当时，由可得， 又是增函数，所以当时，，即， 所以，令，则， 设，则，令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 故答案为：. （2026高三·全国·专题练习）已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为 小试牛刀3 【答案】 【分析】方法一：先对函数求导，再分类讨论导数的正负号并判断函数的最小值，只要最小值非负即可；方法二：先求不等式成立的必要性，得，再验证充分性，利用不等式放缩得恒成立可得结果. 【详解】方法一：函数，，在上单调递增.令，解得. ①当时，.对任意， 有， 故在上单调递增.所以， 符合题意. ②当时，.在上，， 函数单调递减；在上， 函数单调递增. 故在处取得极小值，也是最小值： 令， 则， 所以在上单调递减，故，即， 不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 方法二： 先证必要性：因为在上恒成立，且，所以必须有. 求导得， 故， 解得.结合已知， 得. 再验证充分性：当时，对任意，利用不等式 (当时等号仅在处成立)，证明如下： 令，，所以在单调递增， 所以恒成立，即恒成立(当时等号仅在处成立). 故有 在恒成立. 故的取值范围为. 故答案为：. 课后过关检测 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先依题意分离参数，再构造函数并探讨其最值，进而即可求出的取值范围． 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则 ， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 2．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 3．（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 4．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解. 【详解】由可得， 当时，，此时在单调递增，无极值， 当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增， 结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为， 则，即，有， 当在单调递减，当在单调递增， 故是的极小值点，故，则，解得， 综上可得， 故选：C 5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知关于的方程有三个不相同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分离参数和分析函数的单调性、极值最值即可得. 【详解】由方程，得，且.令. ①当时，，所以，， 令，得，即. 当时，，； 当时，，； 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值， ，当. ②当时，，， 所以在单调递增，且，. 因方程有三个不相同的实根，所以函数与有三个不同的交点，如图： 所以. 故选：A. 6．（25-26高三上·山东德州·期中）若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值、由函数图像的交点个数得的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点， 函数的定义域为， ， 令，解得：， 当时，，得在区间上单调递减； 当时，，得在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，极小值为， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图像： 由图像可得当时，交点为个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图像与的图像有两个交点， 则由图可知：实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 8．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．过点且与曲线相切的直线有且只有一条 【答案】ACD 【分析】利用极值点的性质可得方程组求出，可判断A，再利用不等式放缩，结合单调性可判断BC，最后利用导数的几何意义去判断D. 【详解】求导得，则， 解得，，此时， 由于，，，， 所以满足在处取得极大值，则，故A正确； 则， 因为当时，， 所以在和上单调递增， 又因为当时，， 所以在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 当时，，则，故C正确； 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以 ， 整理得：，解得， 所以过点且与曲线相切的直线有且只有一条，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 显然当时，，因此，， 所以当时，， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增，， 显然，当时，， 当时，，当时，， 所以当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 10．（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性可知结果. 【详解】，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以. 故答案为： 11．（2025·四川·模拟预测）已知函数的极值点为，则 ． 【答案】 【分析】求导，判断函数的单调性并结合极值点的定义判断. 【详解】由，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，即. 故答案为：. 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在处取得极大值，则 . 【答案】/ 【分析】根据极值与极值点的定义可得解. 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏·月考）若函数在上有极值，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意函数在区间上有极值等价于在该区间上有解，通过分析方程解的存在条件，即可确定参数的取值范围. 【详解】因为，， 函数在上有极值，则在有解，即. 时，，则，则. 时，，，不能说明函数在上有极值，所以； 时，，，不能说明函数在上有极值，所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出导函数，由题意必有两个相异实根，利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由求导得 ． 因为函数在上既有极大值也有极小值， 所以必有两个相异实根，即， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为： 15．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 16．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，根据切点坐标可得结果； （2）求导后，根据正负可得函数单调性，进而确定最大值为. 【详解】（1）当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. （2）， 的定义域为，， ，，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，. 19．（25-26高三上·江西南昌·月考）设 ，曲线 在点 处的切线垂直于 轴. (1)求的值； (2)求函数 的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值 ，无极小值. 【分析】（1）由，即可求解； （2）由，确定单调区间即可求解. 【详解】（1）， 由题可知 ， ; （2）由 (1) 知， ， 当 时， 在单调递增， 当 时， 在单调递减， 故有极大值 ，无极小值. 20．（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【答案】(1) (2)极大值点为2，极小值点为 【分析】（1）对函数求导，代入极值使导函数等于0，求实数，最后验证. （2）代入第一问，对函数求导，令导函数等于0，根据单调性验证极值. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 因为在点处取得极值， 所以，所以，解得， 当时，，， 当时，，当时，， 所以为函数的极值点，满足题意，， 所以. （2）由（1）可知，，则， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 故的极大值点为2，极小值点为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $