平面向量的数量积及坐标运算专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 例2．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ） A．12 B． C．20 D． 例3．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 例4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为 . 例5．（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则 ． 例6．（25-26高三上·辽宁·月考）已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则 . 例7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 例8．（25-26高一上·云南·期末）已知向量，满足，且向量与的夹角为． (1)若向量与向量共线，求k的值； (2)求． 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 变式4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面向量为单位向量，若，则 ． 变式5．（25-26高三上·海南海口·月考）已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则 ． 变式6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 变式7．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 变式8．（25-26高二上·河南漯河·月考）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·山东德州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（25-26高三上·天津南开·期末）已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 例5．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 例6．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 例7．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求的取值范围． 例8．（25-26高二上·湖南湘潭·月考）在平面直角坐标系中，设向量，，． (1)若，求的值； (2)设，且，求的值． 变式1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽·月考）已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式4．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则 ． 变式5．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 变式6．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 变式7．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 变式8．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知 (1)若，求实数的值； (2)若，且、、三点共线，求实数的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 考点一 平面向量的数量积 例1．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 例2．（25-26高三上·云南昭通·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【详解】. 故选:B. 例3．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 例4．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知平面向量满足，且不等式对任意实数都成立，则的值为 . 【答案】2 【详解】对不等式两边同时平方得 ， 将代入后整理得. 令，则对任意实数都成立， 所以的图象开口向上，且， 即，即，解得，即. 故答案为：2. 例5．（2026·云南大理·二模）已知向量，满足，且，，则 ． 【答案】1 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. 例6．（25-26高三上·辽宁·月考）已知向量的夹角为，若，且在上的投影向量为，则 . 【答案】 【详解】由及在上的投影向量为，得， 则，解得，因此，即， 所以. 故答案为：. 例7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 例8．（25-26高一上·云南·期末）已知向量，满足，且向量与的夹角为． (1)若向量与向量共线，求k的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为向量与向量共线，则存在实数， 使得， 所以，解得． （2）因为，，且向量与的夹角为， 所以， 则. 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 变式2．（2026·广东茂名·一模）向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，    则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 变式3．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知空间单位向量的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为， 则， 所以. 故选：A. 变式4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面向量为单位向量，若，则 ． 【答案】 【详解】平面向量为单位向量，， ，，， ，，，， . 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·海南海口·月考）已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则 ． 【答案】/0.25 【详解】    由正三角形性质可知， 为等边三角形的重心， 则 ，故 ，， 所以 ． 故答案为： 变式6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 变式7．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 变式8．（25-26高二上·河南漯河·月考）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1)证明详见解析. (2) 【详解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·山东德州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 当时，因为，所以不成立， 当时，因为，所以成立， 因此由不一定能推出. 当时，则有，此时， 所以由能推出， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例2．（25-26高三上·天津南开·期末）已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为向量， ， 若与夹角为锐角，等价于，解得且， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 例3．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，所以，所以. 故选：D. 例4．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，，的夹角为锐角， 所以且，解得且， 即的取值范围是. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题设， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 例6．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 例7．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，两边平方得, 展开并消去和，得 计算 令，解得. （2）夹角为钝角需同时满足： ，即；与不反向共线. 若反向共线，设存在使，则 代入得（此时，反向共线），排除. 故的取值范围为 例8．（25-26高二上·湖南湘潭·月考）在平面直角坐标系中，设向量，，． (1)若，求的值； (2)设，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）因为，，， 所以，，． 因为，所以，即， 所以，即． （2）由题，则， 所以，又，， 所以，即，整理得， 所以或，所以或. 变式1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知向量，若与的夹角不超过，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取，    因为与的夹角不超过， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是， 故选：A 变式2．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 变式3．（25-26高三上·安徽·月考）已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意知向量， 则， 故选：A. 变式4．（2026·重庆·一模）已知向量，若，则 ． 【答案】5 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 变式5．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 变式6．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 故答案为：. 变式7．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，向量，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，即，故. . （2），整理得， 即，变形为，故. 因，则，解得， 即. 变式8．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知 (1)若，求实数的值； (2)若，且、、三点共线，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得， 故的值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $