表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 表面积与体积问题 外接球问题 内切球问题 考点一 表面积与体积问题 例1．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为， 球的表面积为，圆柱的表面积为， 所以，，所以． 故选：B. 例2．（2026·新疆·模拟预测）如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故扇形的面积为， 阴影部分的面积为，， 故扇形的面积为，解得，故， 故，， 设阴影部分所围成的圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，，解得，， 故， 阴影部分所围成的圆台的上底面面积为，下底面面积为， 所以阴影部分所围成的圆台体积为. 故选：A 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设正四棱锥的底面边长为，因为注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 所以注水四棱台的上底边长为，体积， 设注水四棱锥的水面高度为，底面边长为，则，所以， 所以注水四棱锥部分的体积， 因为，即，解得， 故选：A. 例4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 【答案】640 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 例5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 因为 ， 则 ，则 ， 不妨取平面的法向量为， 则点到平面的距离为 ， 当且仅当时取“=”， 又， 所以，即三棱锥的体积的最大值为， 又因为 为 的中点，则， 所以多面体 的体积的最大值为. 故答案为：. 例6．（2026·辽宁大连·模拟预测）三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为 . 【答案】 【详解】由题意画出棱锥的图形，，； 取的中点分别为，则平面，所以平面， ， 所以， 令， 当在单调递增， 当在单调递减， 故当时，体积取得最大值． 故答案为： 变式1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 【答案】D 【详解】设正三棱柱的内切球的半径为 ，由题意可知，解得， 设正三棱柱的底面边长为 ，高为 ，内切球的球心位于棱柱的几何中心， 由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为 ，且等于半径 ，则， 球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为 ， 由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于 ， 则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成， 两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为 ， 所以总表面积为 故选：D 变式2．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面半径为，则由题意可得，，则， 则该圆锥的体积为. 故选：A 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，所以斜高为，高为， 设底面中心为, 的中点为，如图，截面中，设为球与平面的切点，则在上，且. 设球的半径为,则, 因为，所以，所以, 所以，即. 设球与球相切于点，则，设球的半径为， 同理可得，所以，故小球的体积为. 故选：A 变式4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为 【答案】/ 【详解】依题意，圆锥的内接正四棱台的下底面正方形是圆的内接正方形， 上底面正方形的四个顶点在侧面上，该正四棱台的对角面所在平面截圆锥得其轴截面正， ，由正四棱台的上、下底面面积比为，得， 则，令圆锥的轴交正四棱台上底面于，则，而， 则正四棱台的高，该正四棱台的体积为. 故答案为：    变式5．（2026·山东济南·一模）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 . 【答案】. 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥的体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 变式6．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 . 【答案】 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 考点二 外接球问题 例1．（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为，体积为高， 设球的半径为，由图可得，解得， 故球的表面积的最小值为 故选：C    例2．（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 例3．（2026·河北·一模）已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正四棱柱底面，故底面积为，体积为128，得高，    以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 与相交于点，有，与相交于点，有， 由，得为靠近的四等分点，有， 同理，有，，， 下底面是边长为8的正方形，中心， 上底面是边长为2的正方形，中心， 中心连线垂直于底面，故四棱台为正四棱台。 四棱台的外接球球心在直线上，设球心坐标为， 由球心到和距离相等， 有，解得， 外接球半径的平方，表面积. 故选：D. 例4．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边，为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】如图，为直角三角形，且，， ，. 设（），过点作，交直线于点，则.    在中，由正弦定理，得 ， . . 当平面平面时，三棱锥的高最大，为. . 设. ， ，则. . 在区间上单调递增， . ，当时取等号， 此时取得最大值，最大值为. 此时，且两两互相垂直. 三棱锥的外接球的直径为， 表面积为. 故答案为. 例5．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： 例6．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】先通过面面平行确定点 的轨迹为线段 ，再将三棱锥外接球表面积的最小值，转化为 外接圆半径的最小值，最后利用正弦定理，当 时 最小，从而求出外接球表面积最小值. 【详解】 连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 ， 在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小， 则只需 外接圆的半径 最小， 在 中，由正弦定理得， 又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 ， 所以三棱锥 外接球半径的最小值为， 三棱锥 外接球表面积的最小值为 . 故答案为：. 变式1．（2026·广东肇庆·模拟预测）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 变式2．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 变式3．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接， 由，，，可得，， 过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且， 所以， 设正四棱台外接球的球心为，半径为， 由对称性可知球心在直线上， 若球心在线段上，则，此时无正数解， 所以球心在的延长线上，则， 即，解得， 所以， 所以该外接球的表面积为， 故选：B 变式4．（2025·云南·一模）在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题可将几何体补形为长方体，如下图所示： 对棱，且对棱中点分别满足， 所以该长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为， 则， 所以外接球的半径，即四面体的外接球半径为， 因此，该四面体外接球的表面积． 故答案为： 变式5．（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 变式6．（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 【答案】 【详解】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径， 设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，， 则，，故二面角的平面角为. 设，，，，， 则，，又，， 则， 又，，解得，即球的表面积为. 故答案为：. 考点三 内切球问题 例1．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以，    由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 例2．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 例3．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A 例4．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 ． 【答案】 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： 例5．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 . 【答案】/ 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 例6．（24-25高三上·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【答案】64 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 变式1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意作图如下，点为内切球的圆心，点为圆锥底面圆的圆心，点为切点，由已知条件可知， 内切球的表面积为，即，而， 在中，，则圆锥的高， 在中，，则圆锥的底面半径， 所以圆锥的体积.    故选：B. 变式2．（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令球的半径为，由球的体积为，得，解得， 记对角线交点为，由对称性得位于一条直线上，设正方体棱长为， 在中，，， 在中，，则，解得， 在中，，解得， 四棱锥是一个底面边长为6，高为9，侧棱长为的正四棱锥，斜高， 四棱锥的表面积， 设四棱锥的内切球半径为，则， 即，解得，则， 所以四棱锥的内切球的表面积为. 故选：B 变式3．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 变式4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为 ． 【答案】 【详解】根据题意，当球与和相切，且与母线相切时，球半径的最大， 轴截面图如下，是边长为的等比三角形， 所以内切球的半径，设球的半径为，球的半径为， ， ， 则，， ，， 则， ， 即. 故答案为：. 变式5．（24-25高一下·广东·月考）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为 【答案】 【详解】如图：因为圆柱的高为2，且球O内切于圆柱， 所以球O的半径，故球O的体积. 设过点D的圆柱的轴截面为ABCD，过点O在平面ABCD内作，垂足为G，如图： 易知，，，由勾股定理可得， 因为与相似，所以，即， 设O到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为， 因为平面DEF，当平面DEF时，取最大值OG，即， 所以， 所以平面DEF截得球的截面面积最小值为. 故答案为：；. 变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 【答案】 【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为， 设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高， 球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心， 又正四面体边长为，所以， 所以，如图，在中，， 连接，由，解得， 连接，又由， 所以球的表面积为， 故答案为：.    2 学科网（北京）股份有限公司 $表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 表面积与体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 表面积与体积问题 外接球问题 内切球问题 考点一 表面积与体积问题 例1．（2026·湖北荆门·模拟预测）“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（    ）    A．， B． C．， D． 例2．（2026·新疆·模拟预测）如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，向一个高为4且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为2时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置时，水面高度为（    ） A． B． C． D．3 例4．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为 ． 例5．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，正方体 棱长为2， 为 的中点， 为空间中的点，且满足 ，则多面体 体积的最大值为 . 例6．（2026·辽宁大连·模拟预测）三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为 . 变式1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（   ） A．108 B．108 C．162 D． 变式2．（2026·山东泰安·一模）已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在一个底面边长为4，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为（    ）． A． B． C． D． 变式4．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为 变式5．（2026·山东济南·一模）已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 . 变式6．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 . 考点二 外接球问题 例1．（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 例2．（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北·一模）已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边，为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 . 例5．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 例6．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ． 变式1．（2026·广东肇庆·模拟预测）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 变式3．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2025·云南·一模）在四面体中，已知点分别为棱的中点，且．若，则四面体外接球的表面积为 ． 变式5．（2025·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 变式6．（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 考点三 内切球问题 例1．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 例3．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 例4．（25-26高二上·广东肇庆·期中）一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 ． 例5．（24-25高三上·安徽六安·期中）已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 . 例6．（24-25高三上·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 变式1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 变式4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）在底面半径为及轴截面为正三角形的圆锥中放置内切球，在球的上面放一个与球和圆锥侧面均相切的球，再在和之间放入一个球，则球半径的最大值为 ． 变式5．（24-25高一下·广东·月考）已知EF为圆柱的下底面圆的一条直径，D为上底面圆上任意一点，，球O内切于圆柱，则球O的体积为 ，平面DEF截球O所得截面面积的最小值为 变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为 (用表示) 2 学科网（北京）股份有限公司 $