专题2 平行线中作辅助线的两大技巧 2025-2026学年人教版七年级数学下册精析精练

2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 专题2平行线中作辅助线的两大技巧（解析版） 技巧1 过“拐点”作平行 /B 1猪蹄型： D 1,在2025年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图1为 滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪 杖AB与大腿BC的夹角为40°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为65°，则大腿与小腿的夹角 ∠C的度数为() A 40B 65>E 图1 图2 A.105° B.100° C.90° D.75 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质.过点C作CM‖AB,得到ABICM IDE,推出 LBCE=∠B+∠E,即可求解 【详解】解：过点C作CM‖AB, 40B 2-----------…M D 65>E ~ABI川DE,CMI‖AB, AB CM DE ∴∠B=∠BCM=40°，∠E=∠MCE=65°， ~∠BCE=∠BCM+∠MCE=∠B+∠E, ∠BCE=40°+∠65°=105°. 故选：A. 2.如图，AB∥CD,点O在AB与CD之间，∠A0C=75°，∠C=28°，则∠A=() A B A.47 B.123° C.51.5 D.30° 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质， 过点O作OE∥AB,可得CD∥OE,根据平行线的性质可得∠C=∠COE,即可求出 ∠AOE,再根据OE∥AB得出LA=∠AOE,即可求解. 【详解】解：如图，过点O作OE∥AB, E OE∥AB,AB∥CD, CD∥OE, ∠C=28°， ∴LC0E=28°， ∠A0C=75°， LA0E=75°-28°=47°， OE∥AB, ∠A=47°. 故选：A. 3.如图，4B∥cD,I-<CDE,2-iBE,则EDE:∠DFB为() 3 C D ☒ A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点F作FG∥CD,得∠DFB=∠I+∠2，同理 ∠DEB=LCDE+∠ABE,再求出比值即可. 【详解】解：过点F作FG∥CD, C F A AB∥CD, ∴FG∥CD∥AB, ∠DFG=∠L,∠BFG=∠2， ∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠1+∠2， 同理可得：∠DEB=∠CDE+∠ABE, ~∠1=∠CDE,∠2=∠ABE, 、3 ∴∠1+∠2=∠DFG+∠BFG, ∴∠DEB:∠DFB=(∠CDE+∠ABE):(∠I+∠2)=（∠CDE+∠ABE):∠CDE+∠ABE)=3:L. 故选：B 4.如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1=35°， ∠3=160°，则∠2的度数为】 工作篮四B 13 2 支撑平台 【答案】55 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键， 过点E作EF∥AB,故可得出EF‖CD,再由平行线的性质即可得出结论 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB, 工作篮迎B 3 F-- 支撑平台 C M ×∠3=160°， LBEF=180°-160°=20°， AB∥CD,∠1=35°， .EF CD, .∠MEF=∠1=35°， ∠2=∠BEF+∠MEF=20°+35°=55°. 故答案为：55°. 5.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与 桌面MN平行时，∠DEF=120°，∠BCD=120°，则LCDE的度数」 A B //K D ▣W 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线， 过点D作DG∥AB,过点E作EH∥AB,根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过点D作DG∥AB,过点E作EH∥AB, //I小N G D E DG∥AB,∠BCD=120°， ∴∠CDG=180°-120°=60°， EF⊥MN, ∠MFE=90°， AB∥MN, .AB∥DG∥EH∥MN, ∠HEF=∠MFE=90°， ∠DEF=120°， ∠DEH=∠DEF-∠HEF=30°， GD∥EH, ∴.∠GDE=∠DEH=309 ∠CDE=∠CDG+∠GDE=90°， 故答案为：90 2.铅笔型： 了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板.将 小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，BA⊥AE,CD∥AE,若 ∠ABC=120°，则∠BCD的度数为() B 7777777 图1 图2 A.140 B.150° C.160° D.170° 【答案】B 【分析】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，过点B作BF‖AE,可求得 ∠ABF=90°，进而求出∠CBF=∠ABC-∠ABF=30°，再根据两直线平行，同旁内角互补 求出LBCD. 结合题意以及平行线的判定与性质填空即可 【详解】解：如图2，过点B作BF‖AE, B2------F 图2 ∠ABF+∠EAB=180°， ~AB⊥AE ∠EAB=90°. ∠ABF=180°-90°=90°， ∠ABC=120°， LCBF=∠ABC-∠ABF=120°-90°=30°， CD∥AE, BF∥CD, ∠BCD+∠CBF=180° ÷∠BCD=180°-∠CBF=180°-30°=150°. 故选：B 2.转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可 以有效阻挡淋浴水花外溅等特点，小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题： 如图，AB∥CD,LBAE=LAEC=105°，则∠ECD的度数为() B C D A.155° B.150° C.135o D.75° 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平 行，同旁内角互补”的性质进行角度计算。 【详解】解：如图，过点E作EF‖AB, B ABI‖CD ∴EF CD AB EF, ∠BAE+∠AEF=180° ∠BAE=105°， ∠AEF=180°-105°=75°. ∠AEC=105°， ∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=105°-75°=30°. EF CD, ∠ECD+∠CEF=180°， ÷∠ECD=180°-30°=150°； 故选：B 3.如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行.抽象 成如图所示的几何图形，AB∥EF,若∠A=100°，∠P=135°，则∠E的度数为() A.100° B.1150 C.125° D.135° 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定 过点P作PC∥AB,则AB∥EF∥PC,根据平行线的性质可得∠E+∠EPC=I80°， ∠A+∠APC=180°，据此先求出∠APC的度数，再求出∠EPC的度数，即可得到答案。 【详解】解：如图所示，过点P作PC∥AB, E AB∥EF, AB∥EF∥PC, ∠E+∠EPC=180°，∠A+∠APC=180°， ~∠A=100°， ∠APC=80°， ∠APE=135°， ∴∠EPC=∠APE-∠APC=55°， ∠E=180°-55°=125°， 故选：C. 4.图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若AB与BC的 夹角为105°，∠1=55°，则∠2的度数为 图1 图2 【答案】130 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点B作BD∥a,利用平行线的性质与判定即可求解 【详解】解：如图，过点B作BD∥a, a∥b,BD∥a, BD∥b,∠ABD=∠1， ∠2+∠DBC=180°， AB与BC的夹角为105°，∠1=55°， ÷∠ABC=105°，∠ABD=∠1=55°， ∠DBC=∠ABC-∠ABD=50°， ∠2=180°-∠DBC=130°， 故答案为：130°. 5.某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型.己知AB垂直于水平地面AE, 当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水 平状态上升(CD与AE始终平行)，在该运动过程中，∠ABC+LC的度数始终等于 B F 【答案】270% 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键。 根据题意，结合图形，得到LBAE+LABG=180°，再利用两直线平行，同旁内角互补，得 到∠C+∠CBG=180°，则LBAE+∠ABC+∠C=360°，最后 ∠ABC+∠C=360°-∠BAE=270°. 【详解】解：如图，过点B作BG‖AE, C D B 77 .∠BAE+∠ABG=180° BA⊥AE, ∠BAE=90°， AE∥CD, ∴BG∥CD, ÷LC+∠CBG=180°， LBAE+∠ABG+∠CBG+LC=∠BAE+LABC+LC=360°. ∴∠ABC+∠C=360°-∠BAE=270°. 故答案为：270°. 6.【感知】如图①，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、 CD之间的一点，连接PE、PF,过点P作PQ//AB,如果∠AEP=45°，∠CFP=60°，则 ZEPF=_'. 【探究】如图②，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD 之间的一点，连接PE、PF,请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理 由. 【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC,点P 是射线OM上一动点，且不与点A、B、O重合，若∠ADP=a,∠BCP=B,用含a、的代 数式表示∠CPD. (1)当点P在线段OB上时，∠CPD= (2)当点P在线段AB上时，∠CPD= (3)当点P在射线AM上时，∠CPD= A E B M N /D ① ② ③ 【答案】【感知】105；【探究】∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由见详解；【应用】(1)O-B; (2)+B;(3)β-a. 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键， (1)首先根据平行线的性质求出∠EPQ=45,∠QPF=60°，然后求和即可： (2)过点P作PQ∥AB∥CD,根据平行线的性质得到∠EPQ=∠AEP,∠QPF=∠CFP, 即可得到∠AEP与∠CFP、∠EPF之间的数量关系： (3)根据题意分点P在线段BO上，点P在线段AB上和点P在射线AM上三种情况讨论， 求出∠DPQ=∠ADP=a,∠CPQ=∠BCP=B,然后根据角的和差求解即可. 【详解】解：P2‖AB‖CD,∠AEP=45°，∠CFP=60, .∠EPQ=∠AEP=45°，∠QPF=∠CFP=60°， LEPF=LEPQ+∠QPF=105, 故答案为：105°： 2025-2026学年人教版七年级数学下精析精练 专题2 平行线中作辅助线的两大技巧 1猪蹄型： 1．在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 4．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 5．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 2. 铅笔型： 1．如图1，高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 5．某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 6．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 7．问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 3. 外错型： 1．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 4．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 5．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 6．已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 4. 综合型 1．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 2．思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 3．（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 4．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 5．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 拐点问题解题技巧 按照上面分析的方法，在拐点C处作平行线，通过构造特殊类角，利用平行线的性质解决问题， 1 .如图，已知，于点，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)与平行吗？请说明理由； (3)连接，若，且，求的度数． 2．如图，，.试说明：. 3．在螳螂的示意图中，，，， ____ 4．如图，直线，，，则的度数是 ． 5．如图，．若要使，则的度数应为多少？ 技巧2 作截线 技巧1 过“拐点”作平行线 学科网（北京）股份有限公司 $