奥数思维：重叠问题（专项训练）-2025-2026学年三年级下册数学苏教版

小学三年级奥数思维专项训练 重叠问题 （附解题思路） 方法简析： 重叠问题是奥数中容斥原理的基础应用题型，核心是解决两个或多个集合之间有部分元素相互交叉、重复计算的问题，简单说就是：当把几个部分的数量加起来时，重复的部分被多算了，需要把多算的次数减掉，才能得到实际的总数量。 解答重叠问题的应用题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出示意图，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次?明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。 1.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数是第4个，从右数是第3个，从前数是第5个，从后数是第6个。做操的同学共有多少人? 2.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数、从后数、从左数还是从右数都是第3个。共有多少个同学跳舞? 3.为庆祝六一，同学们排成每行人数相同的鲜花队。小华的位置从左数是第2个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第5个。鲜花队共有多少人? 4.三（1）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。小梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个，从左数、从右数都是第3个。三（1）班共有学生多少人? 5.把两块一样长的木板如下图这样钉在一起，使其成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米。这两块木板各长多少厘米? 6.把两段一样长的纸条黏合在一起，使其成了一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。原来两段纸条各长多少厘米? 7.把两块同样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。这两块木板各长多少厘米? 8.学校进行卫生大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能掸掉日光灯上的灰尘，小明想了个好主意，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。木棒有多长? 9.一次数学测试，全班36人中做对第一道题的有21人，做对第二道题的有18人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有几人? 10.三(1)班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一项比赛。已知参加赛跑的学生有36人，参加跳绳的学生有 38人。两项比赛都参加的学生有几人? 11.两块相同的木板各长75厘米，如下图所示钉成一块长 130厘米的木板。中间重合部分的长度是多少厘米? 12.三(5)班有42名同学，会下象棋的同学有21名，会下围棋的同学有17名，两种棋都不会下的同学有10名。两种棋都会下的同学有多少名? 13.三(1)班订《数学报》的学生有32人，订《阅读报》的学生有30人，两种报纸都订的学生有10人，全班学生每人至少订一种报纸。三(1)班有学生多少人? 14.三(4)班做完语文作业的学生有37人，做完数学作业的学生有42人，两种作业都做完的学生有31人，每人至少做完一种作业。三(4)班共有学生多少人? 15.两块木板各长90厘米，如下图这样钉成一块木板，中间重合部分的长度是15厘米。这块钉在一起的木板总长多少厘米? 16.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的小朋友有78人，带水果的小朋友有77人，要求矿泉水和水果每人至少带一种。既带矿“泉水又带水果的小朋友有多少人? 17.三(1)班有学生50人，参加学校绘画比赛的学生有20人，既参加绘画比赛又参加摄影比赛的学生有12人，两项比赛都没参加的学生有10人。参加摄影比赛的学生有多少人? 18.三(2)班有学生46人，做对第一道思考题的学生有29人，两道思考题都做对的学生有5人，两道思考题都做错的学生有5人。做对第二道思考题的学生有多少人? 19.三(2)班有学生46人，在一次测验中，做对第一道思考题的学生有29人，做对第二道思考题的学生有17人，两道思考题都做错的学生有5人。两道思考题都做对的学生有几人? 20.三(5)班有43人上美术课，有2人没带画笔，带蜡笔的有25人，带水彩笔的有23人。两种笔都带的有多少人? 解题思路 1.可根据题意画图，由图可知，小明的位置从左数是第4个，从右数是第3个，说明横行有4+3-1=6人；从前数是第5个，从后数是第6个，即竖行有5+6-1=10人。所以做操的同学共有6×10=60人。列式如下： 4+3-1=6（人） 5+6-1=10（人） 6×10=60（人） 答：做操的同学共有60人。 2.本题需根据小红的位置求出每行每列的人数，再用每行人数乘每列人数得出总人数。 每行人数：小红从左数是第3个，左边有2人；从右数是第3个，右边有2人。每列人数为左边的人数加上小红自己再加上右边的人数，即：2+1+2=5（人）。 每列人数：小红从前数是第3个，说明她前面有2人；从后数是第3个，说明她后面有2人。每行人数为前面的人数加上小红自己再加上后面的人数，即：2+1+2=5（人）。 总人数：每行人数乘每列人数，即5×5=25（人）。 3.本题需根据小华的位置求出每行每列的人数，再用每行人数乘每列人数得出鲜花队总人数。 每行人数：小华的位置从左数是第2个，从右数是第4个，所以，每行人数为：1+1+3=5（人） 每列人数：小华的位置从前数是第3个，从后数是第5个，所以，每列人数为：2+1+4=7（人） 总人数：每行人数×每列人数=5×7=35（人） 4. 本题需根据小梅的位置求出每行每列的人数，再用每行人数乘每列人数得出鲜花队总人数。 可根据题意画图，由图可知，小梅的位置从左数是第3个，从右数是第3个，说明横行有3+3-1=5人；从前数是第6个，从后数是第5个，即竖行有6+5-1=10人。所以三（1）班共有学生：5×10=50人。 5.由题意可知，把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的木板长120厘米，钉在一起的长度就是重叠的部分，重叠部分为16厘米，所以这两块木板的总长度会比两块木板原长之和少一个重叠部分（16 厘米）。 即：两块木板原长之和 = 钉成的木板长度 + 重叠部分长度 = 120 + 16 = 136（厘米） 因为两块木板一样长，所以：单块木板长度=136÷2=68（厘米） 6.由题意可知，把两段一样长的纸条黏合在一起，黏合在一起的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。因此，黏合后纸条的总长度比两段纸条原长之和少一个重叠的部分（6厘米）。 即：两段纸条原长之和=黏合后的长度+重叠部分长度 =30+6=36（厘米） 所以，每段原纸条的长度为：36÷2=18（厘米） 7.由题意可知，把两块同样长的木板钉在一起，钉一起后的长度为35厘米，中间重叠部分长11厘米。因此，两块木板钉一起的总长度比两块木板原长之和少一个重叠的部分（11厘米）。 即：两块木板的原长之和=两块木板钉后的长度+重叠部分 =35+11=46（厘米） 所以，每块木板的原长为：46÷2=23（厘米） 8. 由题意可知，鸡毛掸子和木棒绑在一起后的长度为180厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。 可得，鸡毛掸子和木棒的总长度=180+20=200厘米， 因此，木棒的长度=总长度-鸡毛掸子的长度 =200-85=115（厘米） 即：木棒的长度为115厘米。 9.根据题意，画出右下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做对第一道题和做对第二道题的人数加起来得21+18=39。这39人比全班总人数36多出了39-36=3人，这多出的3人既在做对第一道题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。列式如下： 21+18-36=3（人） 因此，两道题都做对的有3人。 10.本题需先计算参加赛跑和跳绳的总人数，再用总人数减去班级实际人数，既可得到两项比赛都参加的人数。 由题意可知，参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人， 将两者相加可得：36+38=74（人） 班级总人数为55人，而参加两项比赛的总人数为74人，多出的部分是因为部分学生两项比赛都参加了，被重复计算了一次。 因此，两项运动都参加的人数=参加两项比赛的总人数-班级实际人数， 即可得到：74-55=19（人） 因此，两项运动都参加的人数为19人。 11.由题意可知，两块木板各长 75 厘米， 所以两块木板的总长度为：75+75=150厘米 重合部分的长度=两块木板的总长度-钉一起后的长度 =150-130 =20厘米 即：中间重合部分的长度为20厘米。 12.由题意可知：全班一共 42 人，两种都不会的有 10 人。 则会下棋的人数=全班总人数-两种都不会的人数 =42-10=32人 即：会下棋（至少会一种）的人数为32人。 由题意可知：会象棋 + 会围棋的总人数=21+17=38人 即：既会象棋又会围棋的人数为38人。 所以两种棋都会下的人数=两种棋都会下的人数-至少会下一种棋的人数 =38-32=6人 即：两种棋都会下的人数为6人。 13. 由题意可知：订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两样都订的学生有10人。 即：当把订两种报的人加起来时，中间重叠（两样都订的学生）的10人被算了2次，所以要减掉1次，才是全班总人数。 因此，全班总人数=订《数学报》的人数+订《阅读报》的人数-重叠部分人数 =32+30-10 =52人 即全班总人数为52人。 14.由题意可知：做完语文作业的学生有37人，做完数学作业的学生有42人，两种作业都做完的学生有31人，每人至少做完一种作业。 所以，班级总人数=做完语文作业学生人数+做完数学作业学生人数-两种作业都做完的人数 =37+42-31 =48人 即：班级总人数为48人。 15.由题意可知：两块木板各长90厘米，将它们钉成一块木板，中间重合部分长15厘米 因此，钉在一起木板总长=两块木板的长度和-重合部分的长度 =180-15 =165厘米 即：钉一起后的木板总长为165厘米。 16.由题意可知：三年级参加春游的小朋友有107人，其中带矿泉水的小朋友有78人，带水果的小朋友有77人，要求矿泉水和水果每人至少带一种。 则：两样都带的学生人数=带矿泉水的学生人数+带水果的学生人数-年级总人数 =78+77-107 =48人 即两样都带的学生人数为48人。 17.由题意可知：班级总人数50人，参加绘画比赛的有20人，既参加绘画又参加摄影比赛的有12人，两项比赛都没参加的有10人。 先求： “至少参加一项比赛”的人数=班级总人数-两项都没参加的人数 =50-10=40人 由此可得关系式： 参加绘画比赛人数+参加摄影比赛人数-两项都参加的人数=至少参加一项比赛的人数 根据题意可得出式子： 参加绘画比赛人数+参加摄影比赛人数-两项都没参加人数=至少参加一项比赛人数 即： 20+参加摄影人数-12=40 所以参加摄影比赛人数=40+12-20=32人 即：参加摄影比赛的人数为32人。 18.由题意可知：班级总人数为46人，做对第一道题的人数为29人，两道思考题都做对的人数为5人，两道思考题都做错的有5人 求作对第二道思考题的人数，先算出“至少做对一题”的人数 至少做对一题的人数=班级总人数-两道都做错的人数 =46-5=41人 依据题意可得出： 做对第一题人数 + 做对第二题人数 − 两题都做对人数 = 至少做对一题人数 即：29+做对第二题人数-5=41 所以，做对第二题人数=41+5-29=17人 19.由题意可知：班级总人数46人，做对第一道思考题的有29人，做对第二道思考题的有17人，两道题都做错的有5人 求两道都做对的人数，先求“至少做对一题”的人数。即： 至少做对一题的人数=班级总人数-两道题都做错的人数 =46-5=41人 依据题意可得式子： 两道题都做对的人数=做对第一道题的人数+做对第二道题的人数-至少做对一题的人数 =29+17-41 =5人 即：两题都做对的人数为5人。 20.由题意可知：43人上美术课，有2人没带画笔，带蜡笔的有25人，带水彩笔的有23人 求两种笔都带的人数，需先算带了笔的人数： 带笔的人数=上课人数-没带笔的人数 =43-2 =41人 接下来求两种笔都带的人数： 两种笔都带的人数=带蜡笔人数+带水彩笔的人数-带笔的人数 =25+23-41 =7人 即：两种笔都带的人数为7人。 学科网（北京）股份有限公司 $