2026年中考数学一轮专项练习 专题05：不等式与不等式组

专题05：不等式与不等式组-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．两个不等式的解集在数轴上表示如图，则这两个不等式组成的不等式组的解集是（　　） A．或 B． C． D． 2．已知a＜b，下列四个不等式中，不正确的是（　　） A．2a＜2b B．﹣2a＜﹣2b C．a+2＜b+2 D．a﹣2＜b﹣2 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．不等式组 的解集在数轴上表示为 A． B． C． D． 5．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2≤x＜3 D．﹣2＜x≤3 6． 把一筐梨分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个同学能分到梨，但最多分3个.设有x个学生，依题意可列不等式组为(　　) A． B． C． D． 7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（　　） A．若a2>0，则a>0 B．若a2>a，则a>0 C．若a<0，则a2>a D．若a<1，则a2<a 9．已知，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．公司计划用不超过500万元的资金购买单价分别为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有（　　）种 A．5 B．6 C．7 D．8 11．下列说法不一定成立的是（　　） A．若a>b，则a+c>b+c B．若a+c>b+c，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b 12．老张从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与a和b的大小无关 13．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 14．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（　　） A．n≤m B．n≤ C．n≤ D．n≤ 二、填空题 15．关于x的不等式组 的解集是　 　. 16．若，则　 　． 17．若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为　 　. 18．不等式组的整数解有 　 　个． 19．若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是　 　． 20．如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为　 　． 21．我市中学生足球比赛，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分. 某校足球队共比赛11场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于25分，则该校足球队获胜的场次最少是　 　场. 22．若关于 的不等式组 .只有4个整数解，则 的取值范围是　 　. 23．若关于x的不等式恰有三个整数解，则，实数a的取值范围是　 　． 24．若关于y的不等式组的解集为，且关于x的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　． 三、解答题 25．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来． 26．解不等式组 27．我校将在3月29日组织八年级学生外出春游，要拍照合影，如果每张彩色底片需要0.57元，冲印一张照片需要0.35元，每人预订一张，平均每人出钱不超过0.45元，那么参加合影的同学至少有多少人？ 28．已知实数a是不等于3的常数，解不等式组 ，并依据a的取值情况写出其解集． 29．【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题． 【解决问题】解：，． ，，． ，， 同理，得． 由，得， 的取值范围是． 【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围； （2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示． 30．若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）．我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是________阶不等式；是________阶不等式组； （2）若关于x的不等式组是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组的正整数解有，，，，…，其中…．如果是（）阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，请求出m的值以及p的取值范围． 31．深化理解： 新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞， 即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+ ，则＜x＞=n； 反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣ ≤x＜n+ ． 例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，… 试解决下列问题： （1）填空：①＜π＞=　 　（π为圆周率）； ②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为　 　． （2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围． （3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数x的值． 32．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A，B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：由数轴可得：不等式组的解集为-3<x≤1. 故答案为：B. 【分析】根据<、≤向左画，>、≥向右画，≤、≥处为实心点，<、>处为空心圈可得不等式组的解集. 2．【答案】B 【解析】【解答】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变得： ∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b； 不正确的是﹣2a＜﹣2b. 故本题选B. 【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变得B正确；由不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变得A正确；由不等式两边加或减同一个数，不等号的方向不改变得CD正确. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故答案为：C． 【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解： ， 由①得： ， 由②得： ， 则不等式组的解集为 ， 在数轴上表示为： 故答案为：A. 【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等即可判断得出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】由图可知：﹣2＜x≤3． 故答案为：D． 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 若每人分6个，则最后一个同学能分到梨，但最多分3个. ∴最后一个同学最少分一个，最多分三个， ∴， 故答案为：A. 【分析】 设有x个学生，由每人分4个，则剩下3个可得梨的总个数为(4x+3)，由每人分6个，则最后一个同学分到梨的个数为：4x+3-6(x-1)，由“ 最后一个同学能分到梨，但最多分3个 ”可列出不等式组. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：解不等式4-x≥3，得：x≤1， 解不等式3x-1＞-10，得：x＞-3， 则不等式组的解集为-3＜x≤1， 故答案为：D. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到；确定不等式组的解集，继而得出答案． 8．【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质依次分析各项即可判断。 A、若a2>0，则a≠0，故本选项错误； B、若a2>a，则a>1或a<0，故本选项错误； C、a<0，则a2>a，本选项正确； D、若a=0，则a2=a，故本选项错误； 故选C. 【点评】解答本题的关键是掌握不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， A、，A不符合题意； B、m+2无法判定正负，B不符合题意； C、a-2与b-3无法判断大小，C不符合题意； D、，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：设购乙种设备y台，依题意得： 2≤y≤32/7 ∵ y为整数， ∴y=2，3，4 当y=2时，购买甲种设备3，4，5，6 当y=3时 ，购买甲种设备3，4 当y=4时，购买甲种设备3 故不同的购买方式共有7种． 故应选：C. 【分析】设购买乙种设备y台，根据购买两种设备的资金不超过500万元，乙种设备至少买2套，列出不等式组，求解得出其正整数解，进而得出购买方案。 11．【答案】C 【解析】【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故A不符合题意； B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故B不符合题意； C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故C符合题意； D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故D不符合题意。 故应选：C． 【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号方向不变 ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都除以同一个负数，不等号方向改变 ；不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；就可以一一判断。 12．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：3a+2b>5×， ∴6a+4b>5a+5b， ∴a>b. 故答案为：A. 【分析】先求出用平均每条a元买三条鱼和平均每条b元买两条鱼的金额总和，再求出以每条 元的价格把鱼全部卖出的金额总和，根据赔钱的结果再列不等式，最后将不等式化简整理即可得出结果. 13．【答案】C 【解析】【解答】解： 解不等式得： 解不等式得： 当时，则， 当时，则，不等式组无解 故答案为：C. 【分析】先分别解不等式得出两个不同的解集，因为不等式组的解集为，所以要分类讨论，即当或时，则可分别联立关于的不等式组，现分别解不等式组即可. 14．【答案】B 【解析】【解答】设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0， 则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0， 去括号得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0， 整理得：100n+mn≤100m， 故n≤ ． 故答案为：B． 【分析】标价比成本价高m%可表示为a（1+m%），降价n%可表示为a（1+m%）（1﹣n%），不亏本可表示为a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，去括号整理得n的不等式n≤ ． 15．【答案】 【解析】【解答】解：因为 ，则 ，则可得解集是 . 故答案为： 。 【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据大小小大取中间即可得出该不等式组的解集。 16．【答案】< 【解析】【解答】解：∵ ∴＜． 故答案为＜． 【分析】根据不等式的性质求解． 17．【答案】3 【解析】【解答】解：3m－2x<5的解集为： ，因为解集是x>2，则 . 故答案：3. 【分析】首先将m作为常数，解出不等式的解集，然后结合题干即可列出方程，求解即可. 18．【答案】4 【解析】【解答】解： 由①得x＞-2， 由②得x＜3， ∴该不等式组的解集为-2＜x＜3， ∴该不等式组的整数解为-1、0、1、2，共4个. 故答案为：4. 【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再找出解集范围内的整数解的个数即可. 19．【答案】a≥7 【解析】分别解两个不等式得到x≤7和x＞a，由于大大小小找不到，所以a≥7．本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 20．【答案】 【解析】【解答】解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止， ∴ 解，得； 解，得 ∴不等式组的解集为 故答案为： 【分析】先根据“结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止”得到，进而解不等式组即可求解。 21．【答案】8 【解析】【解答】解：设该校足球队获胜的场次为x场，则平局为（11﹣x﹣1）场， 由题意可得：3x+（11﹣x﹣1）≥25， 解得：x≥7.5， 则该校足球队获胜的场次最少是8场. 故答案为：8. 【分析】设该校足球队获胜的场次为x场，则平局为10﹣x场，根据题意列出关于x的不等式求解即可. 22．【答案】 【解析】【解答】解： 由①得： ， 由②得： ＞ 关于 的不等式组 有解， 不等式组的解集为 不等式组只有4个整数解， 故答案为： 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集和4个整数解得出关于a的不等式，再求出解集即可． 23．【答案】或 【解析】【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有三个，即可确定a的范围。 24．【答案】19 【解析】【解答】解：由题意得， 由①得y≤-4， 由②得y＜a+3， ∵关于y的不等式组的解集为， ∴a+3＞-4， ∴a＞-7， 解得， ∵关于x的分式方程 的解是非负整数， ∴11-a为3的倍数，且， ∴满足条件的整数a的值为-4，-1，5，8，11， ∴所有满足条件的整数a的值之和是19， 故答案为：19 【分析】先解不等式组，进而根据不等式组的解集结合题意即可得到a＞-7，再解分式方程，进而结合a的取值范围和题意即可求解。 25．【答案】解： ， 解①得：x≥﹣3， 解②得：x＜2． 不等式组的解集是：﹣3≤x＜2 【解析】【分析】先分别求得两个不等式的解集，再在数轴上表示出两个解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集. 26．【答案】解：解不等式①，得 解不等式②，得 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 所以原不等式组的解集是． 【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。 27．【答案】解：设参加合影的同学的至少有x人，根据题意得： 0.57+0.35x≤0.45x， 解得x≥5.7． 则至少6人参加合影； 答：参加合影的同学的同学至少有6人． 【解析】【分析】设参加合影的同学的至少有x人，根据每人花费不超过0.45元，然后列出不等式为0.57+0.35x≤0.45x，求出它的解即可． 28．【答案】解： 解①得：x≤3，解②得：x＜a， ∵实数a是不等于3的常数， ∴当a＞3时，不等式组的解集为x≤3； 当a＜3时，不等式组的解集为x＜a. 【解析】【分析】分别解出两个不等式，再根据实数a是不等于3的常数，分两种情况进行讨论：①当a＞3时，②当a＜3时，然后确定出不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 29．【答案】解：（1）∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． 解：（2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，① 同理，得，② 由①+②，得， ∴的取值范围是． 【解析】【分析】（1）根据题设中的计算方法，仿照题设中的例子，运算求解，即可得到答案； （2）仿照题设中例子，确定不等式有解集时a的取值范围，当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解，即可得到答案． 30．【答案】（1）0，1 （2）解：关于的不等式组是4阶不等式组， 关于的不等式组有4个正整数解，即有4个正整数解， ∴， ∴； （3）解：根据题意得，是正整数，且有个正整数解， ，， ． 故答案为：，. 【解析】【解答】（1）解：不等式有0个正整数解，因此是0阶不等式； 不等式组的解集为，这个不等式组有1个正整数解，因此不等式组是1阶不等式； 故答案为：0，1. 【分析】（1）利用不等式的性质及不等式的计算方法求出答案，再根据“n阶不等式（组）”的定义求解即可； （2）先求出不等式组的解集，再结合“有4个正整数解”求出a的取值范围即可； （3）根据“是正整数，且有个正整数解”可得，，再求出m的值即可. （1）不等式有0个正整数解，因此是0阶不等式； 不等式组的解集为，这个不等式组有1个正整数解，因此不等式组是1阶不等式； 故答案为：0，1； （2）关于的不等式组是4阶不等式组， 关于的不等式组有4个正整数解，即有4个正整数解， ∴；即； （3）由题意得，是正整数，且有个正整数解， ，， ． 31．【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5 （2）解：解不等式组得：﹣1≤x＜a＞， 由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2， 故1.5≤a≤2.5 （3）解：∵x≥0， x为整数， 设 x=k，k为整数，则x= k， ∴＜ k＞=k， ∴k﹣ ≤ k＜k+ ，k≥o， ∴0≤k≤2， ∴k=0，1，2， 则x=0， ， 【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞=3； 故答案为：3， ②∵＜x﹣1＞=3， ∴2.5≤x﹣1＜3.5 ∴3.5≤x＜4.5； 故答案为：3.5≤x＜4.5； 【分析】(1)根据题意“四舍五入”即可求解。 (2)首先解不等式组，再根据题意求出a的取值范围。 (3)根据题意得x≥0， x为整数，设 x=k且k为整数，等量代换求出k值，从而求出x的值。 32．【答案】解：设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节，由题意，得： 解得28≤x≤30． 因为x为整数，所以x只能取28，29，30． 相应地（50﹣x）的值为22，21，20． 所以共有三种调运方案： 第一种调运方案：用A型货厢28节，B型货厢22节； 第二种调运方案：用A型货厢29节，B型货厢21节； 第三种调运方案：用A型货厢30节，用B型货厢20节 【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，货车可挂A，B两种不同规格的货厢50节，得到不等式，由都为整数，得到​共有三种调运方案. 学科网（北京）股份有限公司 $