2026年中考数学一轮专项练习 专题04：方程与方程组

专题04：方程与方程组-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+ ＝3 D．x﹣5y＝6 2．已知关于x的方程(k-2)x|k|-1+5=3k是一元一次方程，则k等于（　　） A．±2 B．1 C．-2 D．2 3．已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣3=0 一个根为 3，则另一个根为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣6 4．用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值为（　　） A．-1 B．1 C．2 D．5 6．根据等式的性质，下列变形正确的是（　　） A．由-x＝y，得x＝2y B．由3x＝2x＋2，得x＝2 C．由2x－3＝3x，得x＝3 D．由3x－5＝7，得3x＝7－5 7．若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了120个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为（　　） A． B． C． D． 9．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．则原方程组的解（　　） A． B． C． D． 10．已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（　　） ①无论取何值，都有；②若，则 ③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．商店同时以60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这两件衣服总的是（　　） A．不赔不赚 B．亏损8元 C．盈利3元 D．亏损3元 12．已知正整数 满足 ，且 ，则下列结论中： ① 是方程的一组解： ②若 ，则方程组有 21 组解： ③若 ，则方程组有 504 组解，其中正确的有 (　　) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 13．已知，，若，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 14．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． 或a>0 D． 或a>0 二、填空题 15．若，则　 　． 16．已知是方程的解，则　 　． 17．方程3x2=5x+2的二次项系数为　 　，一次项系数为　 　. 18．若关于 的分式方程 为常数 有增根， 则增根是　 　. 19．商店将某种商品按原价的九折出售，调价后该商品的利润率是15%，已知这种商品每件的进货价为1800元，则每件商品的原价是　 　元． 20．若关于的方程无解，则的值是　 　. 21．若关于x的一元二次方程x2-kx+k-6=0的一个根为x=0，则实数k的值为　 　． 22．某超市在元旦节期间推出如下优惠方案： （ 1 ）一次性购物不超过100元不享受优惠； （ 2 ）一次性购物超过100元但不超过300元优惠10%； （ 3 ）一次性购物超过300元一律优惠20%． 市民王波在国庆期间两次购物分别付款80元和252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款　 　． 23．一列火车匀速行驶，经过一条长510m的隧道需要25s的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是8s.这列火车的长度为　 　m. 24．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=　 　． 25．随着新冠肺炎疫情逐步得到控制，全国各地各类学校逐渐实行复学.我校为了保证师生能够顺利的复学以及返校后师生的身体健康，早在3月份学校两次同时购进了医用口罩、消毒液两种防疫医用产品，第一次购进医用口罩的包数比消毒液的瓶数多 ，第二次购进医用口罩的包数比第一次购进的医用口罩的数量少 ，结果第二次购买两种医用产品的总数量比第一次购买两种医用产品的总数量多 ，第二次购买的医用口罩、消毒液两种医用产品的总费用比第一次购买的医用口罩、消毒液两种医用产品的总费用少 （假设医用口罩、消毒液两种医用产品的单价不变），则消毒液与医用口罩的单价的比值是　 　. 三、解答题 26．解方程组： 27．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ，“口”和“△”表示被污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是 ，你能帮助他补上“口”和“△”的内容吗？说出你的方法． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 29．王阿姨和李奶奶一起去超市买水果，王阿姨买苹果2千克、香蕉1千克，共花12.8元；李奶奶买苹果1千克，香蕉1.5千克，共花10.8元．求1千克苹果、1千克香蕉各多少元？ 30．某社区决定把一块长 ，宽 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到 ? 31．杭州市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同。 （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 32．某中学要采购一些篮球、图书、文具袋奖励给百科知识竞赛获奖的学生，已知获得三等奖的学生人数是获得二等奖的学生人数的2倍，获得一等奖的学生人数比获得二等奖的学生人数的一半还少5人． （1）设获二等奖的学生有x人，用含x的式子表示获三等奖的学生有　 　人，获一等奖的学生有　 　人． （2）在(1)的条件下，若此次奖励一、二、三等奖学生共有205 人，求获一、二、三等奖的学生各有多少人？ （3）在(1)的条件下．一等奖的奖品为篮球，甲、乙两家商店都标价80元，三等奖的奖品为文具袋，甲、乙两家商店都标价25元．为了招揽顾客，甲说：“我家商品一律九折”；乙说：“购物满2 000 元，则超出的部分打八折”。老师们计算发现，若去甲商店．购买这两种奖品，共花费3 690元，那么若去乙商店购买会花费多少钱？试比较去哪个商店购买更省钱． 33．有一笔钱，可以买甲种物品120件，或可以买乙种物品80件.现用这笔钱买了甲、乙两种物品共90件. 问甲、乙两种物品各买了多少件？ 34．为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数度 执行电价元度 第一档 小于等于部分 第二档 大于且小于等于部分 第三档 大于部分 （1）若一户居民七月份用电度，则需缴电费多少元？ （2）若一户居民某月用电度大于且小于，则需缴电费多少元？用含的代数式表示 （3）某户居民五、六月份共用电度，缴电费元已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于度，问该户居民五、六月份各用电多少度？ 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得B选项中方程是一元二次方程. 故答案为：B. 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.根据一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程要满足三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ (k-2)x|k|-1+5=3k是一元一次方程， ∴， 解得：k=-2. 故答案为：C. 【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，依此列出方程，解之即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设方程的另一根为x， ∵方程x2+mx-3=0一个根为3， ∴3x=-3，解得x=-1，即方程的另一根为-1， 故答案为：B． 【分析】设方程的另一根为x，利用两根之积=3x=-3，求出x的值即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：方程可以变为， 则，，，故D正确. 故答案为：D. 【分析】首先将方程移项整理成一般形式“ax2+bx+c=0”，进而根据a就是二次项系数，b就是一次项系数，c就是常数项，即可得出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解： 方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a）， 将x=2代入，得：6=2（2-a）， 解得a=-1. 故答案为：A. 【分析】给分式方程两边同时乘以x(x-a)，得：3x=2(x-a)，然后将x=2代入就可得到a的值. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A中，，故不符合要求； B中，，故符合要求； C中，，故不符合要求； D中，，故不符合要求； 故答案为：B． 【分析】根据等式的性质对每个选项一一判断即可。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：方程组与方程组的解也相同， 解方程组得：， ∴，解得：； 故答案为：B 【分析】先根据题意解二元一次方程组，进而得到x和y的值，从而即可求解。 8．【答案】A 【解析】【解答】解： 设甲每小时能做个零件 ，则乙每小时能做（35-）个零件， 由题意得： ； 故答案为：A. 【分析】 设甲每小时能做个零件 ，则乙每小时能做（35-）个零件，根据甲做了90个零件和乙做了120个零件所用的时间相等，列出方程即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】把甲得到的解带入第二个方程，得；把乙得到的解带入第一个方程，得； 则得到方程，解得， 故答案为：B. 【分析】将代入4x-by=-4，求出b的值，再将代入ax+5y=10求出a的值，可得原方程组，再求解即可。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确. 故答案为：C. 【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果. 11．【答案】B 【解析】【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏。 【解答】设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.25x=60， 解得：x=48， 类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是-25%y元， 列方程y+（-25%y)=60， 解得：y=80． 那么这两件衣服的进价是x+y=128元，而两件衣服的售价为120元． ∴120-128=-8元， 所以，这两件衣服亏损8元． 故选B. 【点评】本题考查了有理数的混合运算，需注意利润率是相对于进价说的，进价+利润=售价。 12．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵， ∴，， ∴，即是方程的一组解，故①正确； ②∵， ∴整理得：， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或或或或或是方程的解，共6组解， 同理：时有5组解，时有4组解，时有3组解，时有2组解，时有1组解， ∴方程组一共有6+5+4+3+2+1=21组解，故②正确； ③设，其中为正整数， ∴，， ∴，即连续的四个正整数一定是该方程的解， ∵， ∴， 解得：，此时的值与为正整数矛盾，故③错误； 综上所述，正确的有2个， 故答案为：C. 【分析】①将的值代入方程左右两边即可；②将方程整理为，得，再结合条件得到方程解的个数；③设，其中为正整数，求出连续的四个正整数一定是该方程的解，令，求出的值，发现矛盾. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ， ∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：B． 【分析】先求出， ，再求解即可。 14．【答案】C 【解析】【解答】先将原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根. 当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时， ，解得 =-2 ②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0. 综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2. 【分析】先将原方程变形为 ，把当做未知数，分两种情况讨论：①当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出，解方程求出a=-2，②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时，得出，解不等式组求出a>0，即可求解. 15．【答案】±3 【解析】【解答】解： ∴x=±3 故答案为：±3. 【分析】根据绝对值的意义解方程即可． 16．【答案】4 【解析】【解答】解：将代入方程，得，解得k=4. 故答案为：4. 【分析】将解代入方程，转化为关于待求字母的方程求解. 17．【答案】3；-5 【解析】【解答】解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2-5x-2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为-5． 【分析】先把方程化成一般形式，从而可得出答案. 18．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 关于 的分式方程 为常数 有增根 ， ∴x-4=0， ∴x=4. 故答案为：x=4. 【分析】本题考查增根的概念，通过增根的概念求得x=4. 19．【答案】2300 【解析】【解答】设每件商品的原价是x元 根据题意得： ∴ ∴ 故答案为：2300． 【分析】根据题目中的等量关系列出方程，求出答案即可。 20．【答案】或 【解析】【解答】解：方程两边同乘x(x-3)得 ， 整理得，(2m+1)x=-6. ①若整式方程无解，即2m+1=0， ∴m=； ②若分式方程有增根，此时x=， 1）若增根为x=0，即=0，无解，不符合题意，舍去； 2）若增根为x=3，即=3，解得m=； 综上所述，m的值为或， 故填：或. 【分析】分类讨论分式方程无解的两类情形，即整式方程无解及分式方程有增根，逐一讨论解含m的参数方程即可. 21．【答案】6 【解析】【解答】解：将x=0代入x2-kx+k-6=0中，得k-6=0， 解得k=6， 故答案为：6 【分析】根据题意先求出k-6=0，再解方程即可。 22．【答案】316元 【解析】【解答】解：根据方案（3）可知：300×（1﹣20%）=300×80%=240（元），240＜252，可知第二次购物已经超过300元．由此可设如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款x元，根据一次性购买超过300元，可得：x﹣252=80×（1﹣20%），解得：x=316． 故答案为：316元 【分析】先根据方案（3）算出正好300元时的付款，进而可知付款252元已经超出300元，而付款80元实际花费为80元，所以80元优惠20％后所付款与252相加即为应付款. 23．【答案】240 【解析】【解答】设这列货车的长度为xm， 依题意，得： ＝ ， 解得：x＝240. 故答案为：240. 【分析】首先设这列货车的长度为xm，然后根据题意列出方程，即可得解. 24．【答案】10 【解析】【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根， ∴x22+5x2﹣3=0， ∴x22+5x2=3， ∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4， ∴2x1•x2+a=4， ∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根， ∴x1x2=﹣3， ∴2×（﹣3）+a=4， ∴a=10. 故答案为：10. 【分析】根据方程根的定义可把 x2代入方程，变形得x22+5x2=3，把此式代入2x1（x22+6x2﹣3）+a=4可得2x1•x2+a=4，再由根与系数的关系得x1x2=﹣3，从而求出a的值. 25．【答案】 【解析】【解答】解：设第1次购买消毒液的数量为x，购买消毒液的单价为a，口罩的单价为b， 则第1次购买口罩的数量为1.4x，第2次购买口罩的数量为1.4x(1−50%)=0.7x， 第2次购买消毒液的数量为(1.4x+x)(1+50%)−0.7x，由题意得， 0.7bx+2.9ax=(1.4bx+ax)(1−10%)，即2ax=0.56bx， 所以， . 故答案为： . 【分析】设第1次购买消毒液的数量为x，购买消毒液的单价为a，口罩的单价为b，然后表示出第1次购买口罩的数量为1.4x，第2次购买口罩、消毒液的数量，然后表示出相应的总价，列方程求解即可.相应的数量关系如下表： 26．【答案】解： ①×5得：10x−15y=40③， ②×3得：21x−15y=-15④， ④−③得： 解得： 把 代入①得， 解得 所以，方程组的解是 【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，将②×3-①×5即可求得 再把代入①可解得y，计算即可解答. 27．【答案】解：把x=2，y=-1代入两方程， 得3×2-2×（-1）=8，5×2-1=9． ∴被污染的内容是8和9． 【解析】【分析】根据方程组的解的定义，将x=2，y=-1分别代入原方程组的每一个方程，即可求出答案。 28．【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2， ∴Δ＝16m2﹣12m2＝4m2≥0， 则该方程总有两个实数根； （2）解：设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝4m，ab＝3m2， ，即， 两边平方得：（a+b）2﹣4ab＝4， 代入得：16m2﹣12m2＝4，即m2＝1， ∵m＞0， ∴m＝1． 【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案； （2）设方程两个根分别为a，b，则根据题意可得|a﹣b|＝2，a+b＝4m，ab＝3m2，再结合根的判别式即可得出m. 29．【答案】解：设1千克苹果x元，1千克香蕉y元，根据题意，得 解得 答：1千克苹果4.2元，1千克香蕉4.4元． 【解析】【分析】设1千克苹果x元，1千克香蕉y元，根据题意列出方程组求出x、y的值即可。 30．【答案】解：设绿化区宽为y，则由题意得 . 即 列方程： 解得 (舍)， . ∴当 时，活动区的面积达到 【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 31．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：500(1+x)2=720， 解得：x1=0.2=20%，X2=-2.2（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：(y-30）[600-10（y-40）]=10000， 整理，得：y2-130y+4000=0， 解得：y1=80，y2=50， ∵尽可能让顾客得到实惠∴y=50 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元. 【解析】【分析】 （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可． 32．【答案】（1）2x；(-5) （2）解：据题意得 -5+x+ 2x= 205， 解得x=60， -5= -5=25，2x=2×60= 120． 答：获一等奖的学生有25人，获二等奖的学生有60人，获三等奖的学生有120人； （3）解：根据题意得80×0.9(-5)+25×0.9×2x=3690， 解得x=50， -5= -5= 20，2x=2×50= 100． 去乙商店购买所需费用为2000+(80×20+25×100-2 000) ×0.8=3680(元)， 3690元>3680元， 去乙商店购买更省钱， 答：若去乙商店购买，会花费3680元钱，去乙商店购买更省钱． 【解析】【解答】解：（1）设获二等奖的学生有x人，则获三等奖的学生有2x人，获一等奖的学生有(-5)人， 故答案为：2x，(-5)； 【分析】（1）根据获奖人数的关系直接表示即可； （2）根据“ 一、二、三等奖学生共有205 人”列出方程并解之即可； （3）根据“ 购买这两种奖品，共花费3690元”建立方程求解，可求出获奖人数，再求出去乙商店购买所需费用，然后与3690元比较即可. 33．【答案】解：设甲物品买了x件，则乙物品买了（90-x）件． 则 ， 解得 x=30， 答：甲物品买了30件，则乙物品买了60件． 【解析】【分析】设甲物品买了x件，则乙物品买了（90-x）件．根据“这笔钱=买x件甲物品所用的钱+购买(90-x)件乙物品所用的钱”列出方程求解即可。 34．【答案】（1）解：元， 答：需缴电费元； （2）解：元； （3）解：设五月份用电度，则六月份用电度， 分两种情况： 第一种情况：当时，， 解得：，； 第二种情况：当时，，，，无解， 所以，该户居民五月份用电度，六月份用电度． 【解析】【分析】(1)由题意得，用电420度在第三档，则需要缴纳电费0.5×200+0.6×200+0.8（420-400），计算即可. (2)由题意得，用电x度（x大于200且小于400），需交电费0.5×200+0.6（x-200），化简即可. (3)设五月份用电度，则六月份用电（500-x）度，接下来分情况讨论①x≤200；②200＜x＜250，分别求出x即可. 学科网（北京）股份有限公司 $